高中数学基本不等式复习课件新人教A版选修

1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 不等式定理及其重要变形不等式定理及其重要变形：),(222Rbaabba2baab2)2(ba),(Rba（定理）重要不等式（定理）重要不等式（推论）基本不等式（又叫均值不等式）（推论）基本不等式（又叫均值不等式）ab代数意义：代数意义：ab 如果把如果把 看做是两正数看做是两正数a、b的等差中项的等差中项, 看做是两正数看做是两正数a、b 的的等比中项等比中项, 那么均值不等式可叙述为那么均值不等式可叙述为: 两两个正数的个正数的等差中项等差中项不小于它们的不

2、小于它们的等比中项等比中项.2ba几何意义：几何意义： 均值不等式的几何解释是均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦半径不小于半弦. 结构特点：结构特点： 均值不等式的左式为和均值不等式的左式为和结构结构, 右式为积的形式右式为积的形式, 该不等式表明两该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系正数的和与两正数的积之间的大小关系, 运用该不等式可作运用该不等式可作和与积之间的不等变和与积之间的不等变换换.abab二、公式的拓展二、公式的拓展abbaab22222baba),(Rba当且仅当当且仅当a=b时时“=”成立成立),(222Rbaabbaabba4)(2222)()(2baba

3、（1）abcaccbba8)()(三、公式的应用（一）三、公式的应用（一）证明不等式证明不等式（2）1 cba已知已知8) 11)(11)(11(cba求证求证（以下各式中的字母都表示正数）（以下各式中的字母都表示正数） 1:3cba。已知31cabcab求证：1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222证明：证明：cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意注意:本题条件本题条件a,b,c为实数为实数法解不等式法解不等式求证:a+ac+c+3b(a+b+c) 0 证明: 原式=a+(c+3b)

4、a+(c+3b+3bc) 0 设f(a)= a+(c+3b)a+(c+3b+3bc) = (c+3b)-4(c+3b+3bc) =-3(c+b) f(a) 0 (当且仅当-b=c=a取等号)四、公式的应用（二）四、公式的应用（二）求函数的最值求函数的最值（2） 已知已知 是正数，是正数， （定值），（定值）， 求求 的最小值；的最小值； yx,yxSxy已知已知 是正数，是正数， （定值），（定值）， 求求 的最大值；的最大值； yx,Pyxxy（1）一正二一正二定三相定三相等等和定积最大和定积最大积定和最小积定和最小已知已知 ，求函数，求函数 的最大值；的最大值； 310 x)31 (xxy

5、（3）已知已知 是正数，满足是正数，满足 ， 求求 的最小值；的最小值； yx,（4）yx1112 yx创造条件创造条件注意取等号的条件注意取等号的条件（3 3 ）已知：）已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；00 x x31，1-3x

6、1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法配凑成和成配凑成和成定值定值（4 4）已知正数）已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错

7、因：错因：解：解：（4 4）已知正数）已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值正解：正解：223当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而222221yx即此时即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23“1”代换法代换法特别警示特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次最值，则要考虑多次“”（或者（或者“”）中取）中取“=”=”成立的诸条件是否相容。成立的诸条件

8、是否相容。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。1121.abRabab1.已知 ，且，求的最小值12211,222)11()2(221221,babababbaaRba，解法一：.2411,1222)11)(2(11,12的的最最小小值值为为、及及解解法法二二：由由baababbababaRbaba （5）错题辨析）错题辨析. 6911211,31, 12,1211babababaabba又成立时，当且仅当解法三：正确解法一正确解法一“1”代换法代换法.1112的的最最小小值值，求求，且且，已已知知babaRba （5 5

9、）已知正数）已知正数a a、b b满足满足a+2b=1a+2b=1，求，求ba11的最小值的最小值正解：正解：223当且仅当当且仅当baab2即即:ba2时取时取“=”号号122baba而222221ab即此时即此时223minzba11bbaaba22baab23“1”的代换五五：公式应用（三）解决实际问题例例3. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？APBHba例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？:,PxPHAPHBP

10、H解 设学生 距黑板 米黑板上下边缘与学生的水平视线的夹角分别为其中则学生看黑板的视角为,tan,tan由此可得由xbxa2tantanan1tantatn1ababxxababxxx,tan,22最大时当且仅当因为abxabxabxxabx,为锐角由于,最大此时.ab即学生距墙壁时看黑板的视角最大问问 题题 与与 思思 考考4。某种商品准备两次提价。某种商品准备两次提价, 有三种方案有三种方案: 第一次提价第一次提价 m, 第二次提价第二次提价 n ; 第一次提价第一次提价 n, 第二次提价第二次提价 m ; 两次均提价两次均提价 .A.试问哪种方案提价后的价格高试问哪种方案提价后的价格高?

11、2nm 设原价为设原价为M元元, 令令a = m, b = n, 则则按三种方案提价后的价格分别为按三种方案提价后的价格分别为:A. (1+a)(1+b)M =(1+a+b+ab)MC. (1+ )2 M =1+a+b+ M2ba2)2(ba只需比较只需比较 ab 与与 的大小的大小.2)2(ba042)2(222babaabba易知易知B. (1+b)(1+a)M =(1+a+b+ab)M5.5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为容积为 , ,深为深为3m3m，如果池底每平，如果池底每平方方米的造价为米的造价为150150元，池壁每平方米的造价为元

12、，池壁每平方米的造价为120120元，问怎样设计水池才能使造价最低，元，问怎样设计水池才能使造价最低，最低造价是多少元？最低造价是多少元？34800 m问问 题题 与与 思思 考考实际问题实际问题抽象概括抽象概括引入变量引入变量数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原还原说明说明推推 理理演演 算算建立目标函数建立目标函数均值不等式均值不等式2 2、解应用题思路、解应用题思路反思研究反思研究1 1、设、设 且且a+b=3,a+b=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,2 2、设则的最大值为、设则的最大值为_。, 12, 0, 022baba21 ba、设

13、、设 满足满足 ，且，且 则则 的最大值是（的最大值是（ ）yx,404 yx0, 0 yxyx lglg A、40 B、10 C、4 D、224423（）（）各项或各因式为各项或各因式为正正（）（）和或积为和或积为定值定值（）（）各项或各因式能取得各项或各因式能取得相等的值相等的值，必要时作适当变形，必要时作适当变形，以满足上述前提，即以满足上述前提，即“一正二定三相等一正二定三相等”、二元均值不等式具有将、二元均值不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积积式式”转转化为化为“和式和式”的的放缩功能放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，创设应用均值不等式的条件，合理拆分项合理拆分项或或配凑因式配凑因式是常是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使