分析中国数学教育的重要生长的路径

1、分析中国数学教育的重要生长的路径如何促进中国数学教育的深入开展?对此可以分别围绕当务之急、重要生长点与更高追求做出具体分析.本文主要集中于这样一个论点:数学教师的“三项根本功与数学教育的“三维目标可以成为中国数学教育的重要生长点,特别是除去对于教师专业成长的直接涵义以外,这直接关系到了如何进一步落实与发扬新一轮数学课程改革所取得的成绩,也即真正超越“知识与技能的学习,从而到达更高的开展水平.1.这是人们在当前的一项共识:就数学教师的专业成长而言,相对于纯粹的数学知识与一般性的教学法知识而言,“学科内容教学法知识(pedagogical content knowledge,简记为PCK)是更为重

2、要的,因为,这不仅可以被看成这两者(以及学习心理学理论)的必要整合,也因落实到了具体的教学内容而对于一线教师就更加易学、易用,从而就在一定程度上有利于改变教育领域中长期存在的理论研究严重脱离教学实践的弊病.当然,对于所说的“学科内容教学法知识又可从多个不同角度更为深入地去进行研究(对此可见文1).在此要强调的是,上述的开展集中地反映了这样一种认识:无论就数学教育的理论研究或是一线教师的专业成长而言,都应切实立足实际的教学活动,并应更加突出数学学习与教学活动的特殊性.后者事实上也正是笔者提出数学教师“三项根本功的一个根本立场,这就是指,尽管数学教师作为教师队伍的一员,同样应当具备一般教师所应具有

3、的根本素养和根本技能,如对于学生与教学工作的高度热爱、较好的普通话水准等,又因为数学构成了数学教学的具体内容,从而数学教师也应具备一定的数学素养和数学能力,如对于数学美的欣赏、一定的计算能力与解题能力等,但是,除去上述这些分别源自“教育与“数学的普遍性要求以外,数学教师还应具备一些特殊的素养或能力,后者可被看成数学教育“专业化的必然要求.这主要包括:第一,善于举例;第二,善于提问;第三,善于比拟与优化.由于笔者已专门撰文对“数学教师的三项根本功进行了论述2,在此就仅限于从更为深入的角度指明这样两点:第一,所说的“三项根本功都可被看成数学教育特殊性的集中反映.首先,“举例的重要性显然是由数学的高

4、度抽象性直接决定的,后者又不仅表现于数学概念都是抽象思维的产物,也表现于这样一个事实:数学中的“问题和“方法事实上都应被看成一种“模式,从而在此最为重要的就是如何处理好特殊与一般之间的关系.其次,数学教师之所以应当特别重视“提问,那么是因为“问题提出与“问题解决正是数学活动最为根本的形式之一,而且,这又是“问题恰当性的一个主要涵义,即是否较好地表达了相应的数学思维,也即是“专业的问题解决者会向自己提出的那些问题.(巴拉布与达菲语)最后,思维的不断优化事实上也正是数学开展的一个重要特点,即其不仅包括了“横向的扩展,更是指“纵向的开展:“它必须重新组织、重新认识,有时甚至要与以前的知识和思考模式真

5、正决裂.(安提卡语)第二,对于“三项根本功我们又不应理解成单纯的技能,恰恰相反,就只有从深层次的数学教学思想和教育思想去进行分析,我们才能真正理解它们的精髓与意义.(1)“善于举例的主要意义是有利于“理解学习.也正是从这一立场出发,我们在教学中就不应局限于如何能够针对具体的教学内容选择适当的“例子,而应更加重视如何很好地去处理数学的形式方面与非形式方面之间的关系.例如,从后一角度去分析,除去适当的举例以外,概念的教学显然还涉及更多的方面,即如何能将数学概念的学习与具体运作很好地联系起来,如何帮助学生开展相应的视觉形象与数学直觉等(更为一般地说,我们在此就涉及所谓的“多元表征理论.对此可参见文3

6、).另外,对于不同的年级我们也应有不同的重点和要求.例如,如果说“善于举例主要是针对中学高年级而言的,即是如何通过适当的举例帮助学生较好地理解抽象的数学概念,包括逐步开展起与严格定义相适应的概念意象;那么,在中学的低年级阶段我们就应更加重视如何帮助学生由已有的经验或实例逐步过渡到严格的数学定义,我们并应清楚地看到这里事实上涉及两种不同的思维方式:“隐喻性思维(描述性定义)与“文本性思维(建构性定义),后者并就是“数学化的本质所在,也即是一个建构(或者说重新建构)的活动.(2)上面已经提及,“善于提问的根本意义之一即是有利于学生学会数学地思维.正因为此,教师在教学中不仅应很好发挥自身的示范作用,

7、而且也应通过对课堂上所出现的各种问题的及时评价在有意识地去做出引导.容易想到,这些做法直接关系到了学生提出问题能力的培养.更为一般地说,我们又应清楚地看到“问题情境的创设对于数学教学的特殊重要性:这直接关系到了如何能够很好地调动学生的好奇心和探究精神,而后者那么又可以被看成学生数学学习的根本动力(详见文4).当然,对于所说的“问题情境我们不应局限于具体的生活情境,也不应将此简单地等同于真正的数学研究活动,恰恰相反,我们应当根据学生的实际情况与具体的教学内容和情境对“问题的恰当性做出分析.最后,由于“问题正是数学学习活动的主要载体之一,因此,这事实上就可被看成教师的教学活动是否真正超出“知识和技

8、能的学习并到达了更高水准的一个具体标志,后者即是指,学生的学习活动是否局限于简单意义上的“问题解决,特别是,不仅他们所思考的“问题不应局限于原来的问题.其最终所获得的“解答也不应局限于原先问题的解答(这方面的一个范例可见文5).另外,这又可被看成这方面的一个首要目标,即是应当帮助学生逐步养成这样一种思维习惯:“求取解答并继续前进(舍费尔德语),这也就是指,我们不应满足于具体解答的获得,并应致力于以此为根底提出新的问题,特别是,由教师给出问题逐步过渡到由学生自己提出问题.(3)相对于前两者而言,“善于比拟与优化应当说更为直接地涉及数学教育的这样一个目标,即是帮助学生养成一定的“情感、态度与价值观

9、,或者更为恰当地说,即是充分发挥数学的文化价值.值得指出的是,在一些学者看来,我们可以从后一角度更为深入地去理解数学学习活动的本质:这在很大程度上即可被看成“进入某种特定文化的过程(毕晓普语).当然,后者在此主要是指“数学文化,我们应从更为广泛的角度去理解这里所说的“进入.例如,除去方法的改良与结论的推广以外,“语言的变化也应被看成“数学文化的又一具体涵义.具体地说,除去由“非数学语言向纯粹的“数学语言的过渡以外,我们又应看到词语的扩展、功能的强化(更加精确、强大,以及由单纯的交流过渡到论证的功能),直至语言根本性质的变化(“非个性化“客观化与“标准化,(欧内斯特语),等等.显然,从上述的角度

10、去分析,我们也可更为深入地认识“优化对于数学学习的特殊重要性,这就是指,正如先前关于数学思维开展性质的分析所已说明的,与数学学习直接相关的“情感、态度与价值观的养成主要的也是一个后天的过程,其中必定包含一定的冲突和“顺应的过程.也正因为此,我们在教学中就应特别重视如何能够使得“优化成为学生的自觉行为,特别是,除去“比拟这样一个环节以外,我们还应清楚地看到“总结与反思在这一方面的重要作用.又由于比拟、总结和反思、优化等可被看成一般性学习活动的主要环节,因此,这也就从又一角度更为清楚地说明了数学教学的这样一个意义,即是有利于学生学会学习.(对此例可见文6)2.上面的分析显然说明:为了改良教学,我们

11、不应仅仅关注具体的教学方法或教学模式,而还应当联系教育目标更为深入地去进行思考.更为具体地说,上面所提到的“帮助学生学会数学地思维和“数学的文化价值显然就是与“数学教育的三维目标直接相联系的.以下就对后者做出进一步的分析论述.首先,能否在上述两个方面取得切实进展,直接关系到了这样一个根本性的教育思想的落实,即是由“知识的传承向“以学生的开展为本的重要转变.例如,从后一角度去分析,我们就应对上面所提到的关于如何判断教师的教学活动是否超出了“知识和技能的学习这一问题做出更为全面的分析,后者即是指,我们不仅应当注意分析教师在教学中是否较好地做到了“帮助学生学会数学地思维,而且也应十分关注这一教学活动

12、是否表达出了对于“帮助学生养成适当的情感、态度和价值观的高度关注.其次,从同一角度去分析,这显然就可被看成新一轮数学课程改革的一个重要奉献,即是明确提出了数学教育的“三维目标,从而为我国数学教育的深入开展指明了努力方向.然而,应当强调的是,上述的思想并非全新的创造,因为,即使就我国而言,在新一轮课程改革实施以前就已存在这方面的积极实践.例如,早在20世纪80年代我国的中学数学教育界就已开始了用数学方法论,也即数学思想方法的分析带动具体数学知识内容教学的积极探索,而其根本指导思想就是希望帮助学生学会数学地思维(对此例可见文7).另外,就充分发挥数学的文化价值而言,我们那么又可以特别提及高等院校的

13、这样一项工作,即是“数学文化课程的建设8.当然,就整体而言我们又可明显地看到开展的不平衡性;另外,笔者在此之所以要对先前的开展做出回忆,主要是为了说明这样一个认识:为了能在上述方面取得切实进展,特别是使之真正成为中国数学教育的普遍特征,还有很长的路要走,我们更应不断增强自身在这一方面的自觉性,包括通过认真地总结与深入反思清楚认识已取得的成绩与缺乏之外,什么又是进一步工作的关键.为了清楚地说明问题,在此还可特别提及这样一个事实:“数学教学应当努力做到理解学习(或者说意义学习),在当前已经成为一种常识,但在20世纪4050年代却可说是数学教育领域的一个全新论题,因为当时的主流倾向(至少就英美等西方

14、国家而言)即是认为数学学习的主要任务就是牢牢记住教师所提到的各种算法,并按教师的示范“正确地加以应用,也即不应出现任何计算的错误或程序的混乱,等等.由此可见,如果采用现代的语言,当时的数学学习就完全是一种“机械学习或“无意义的学习.也正是基于上述的认识,人们就常常将W. Brownett在1947年发表的?意义在算术教学中的地位?9称为数学教育理论研究中的一篇“经典论文,因为从历史的角度看,这一文章曾对促成上述的观念转变发挥了十分重要的作用.另外,考虑到即使在今天数学教育领域中也仍然可以经常看到所说的“机械学习,人们做出以下的断言也就无足为奇了:“所有学习数学教育的人都应学习这一文章,这不仅因

15、为它的历史奉献,而且也因为它与现今的情况直接相关.(Lindquist语)在笔者看来,在此应特别注意W. Brownett在这一文章中所提到的以下一些问题,因为,这就直接关系到了相关的努力是否具有较大的自觉性:(1)理解对于算术学习是否真的不可或缺?(2)所提倡的意义对于学生的学习而言是否太难了?(3)意义的教学是否会占用太多时间,以致影响到其他一些更为重要的方面的学习?(4)假定意义是可以学习的,什么是它们的实际功能,它们是否真的有用,又是否会对思维的有效性产生一定的干扰?(文9第11页)进而,只需稍作变动,我们显然就可将这些问题直接转移到目前的论题.例如,就“帮助学生学会数学地思维而言,我

16、们就应具体地去思考:这一目标是否真的很重要?特别是,这究竟是指数学思维本身的价值,还是指其对于数学知识和技能的学习(乃至应对考试)具有一定的作用?又,这一目标是否真的可行?特别是,这对于中小学学生而言是否太难了,又是否会占用太多的教学时间从而影响到其他内容的学习?等等.应当强调的是,在此所需要的并非纯理论性的解答,而是源自教学实践的切身体验,因为只有这样,所谓的“三维目标才会真正成为一线教师的自觉追求!就后一方面的具体工作而言,笔者特别强调这样几点:第一,这正是我们在当前所面临的一个紧迫任务,即是应对所说的“数学思维与“情感、态度和价值观做出清楚界定,并应依据学生的认知开展水平对此做出合理定位

17、.例如,从数学教育的角度看,我们究竟应当如何去理解这里所说的“情感、态度与价值观?过去10年在这方面应当说有一定进步,特别是,人们现已逐步建立起了这样的共识:与认识上的“泛化,以及外插、简单组合等做法相对照,我们在教学中应当更加突出数学自身的文化韵味,并应努力实现“由外而内的重要转变(这方面的一个实例可见文10).但从总体上说,我们的认识仍有进一步深化的必要,或者说,还有很多的工作要做.事实上,在笔者看来,与“帮助学生养成一定情感、态度与价值观相比拟,“充分发挥数学的文化价值应当说是一个更为恰当的主张.当然,我们在此仍然应对“什么是数学的文化价值“什么是数学文化以及“应当如何从事数学教育的文化

18、研究等问题做出深入研究.文4就是这方面的一个具体工作.除此以外,我们又应特别提及着名数学教育家毕晓普的这样一篇论文:?文化情境中的数学教育?11,因为,这不仅明确地强调了数学的文化相关性,更以“西方数学为直接对象对数学对于整体性社会文化的影响进行了具体分析.具体地说,按照毕晓普的观点,如果说“观念“情感“社会和“技术等要素即可被看成整体性文化最为重要的一些表征,那么,数学作为一种符号技术对于现代西方社会的影响就主要表达于“控制“客观主义与“神秘性这样几个特征,后者就是与上述的“情感“观念与“社会直接相对应的.显然,毕晓普的这一论述正是对于与数学学习直接相关的“情感、态度与价值观的一个具体界定,

19、我们并可以为背景更为深入地去从事“数学文化的研究.例如,在笔者看来,如果说一定的行为方式与思维方式可以被看成“数学文化的显性成分,那么,一定的价值观念就是后者的核心所在,这集中地表达于数学的“理性精神.就“帮助学生学会数学思维而言我们也应明确强调“清楚界定、合理定位的重要性,这就是指,我们不仅应当清楚地指明在根底教育阶段究竟应当帮助学生学会哪些数学思维,并应依据学生的认知开展水平对此做出适当定位,也即具体落实到中小学的各个学段或年级.第二,就当前而言,我们应特别强调加强学习的重要性,特别是,与单纯的理论学习相比拟,我们又应更加重视理论的应用与具体案例的分析.因为,无论是就“帮助学生学会数学思维

20、还是“充分发挥数学的文化功能而言,教师本身的示范作用与感染力量都是最为重要的,而又只有通过理论的应用,特别是具体案例的分析,我们才能获得这方面的切身体验,从而也才能更为深刻地认识落实“数学教育三维目标的重要性,并使之真正成为主体的自觉行动.例如,这事实上也就是笔者提出以下建议的一个主要依据:“数学思维的学习,不应求全,而应求用.另外,由于教学智慧主要地即可被看成一种“实践性智慧,“借助于案例去进行思维又是后者的主要特征1,因此,这也就从又一角度更为清楚地说明了加强案例分析的重要性,特别是,积极实践根底之上的认真总结与积极反思更可被看成一线教师专业成长的根本途径.第三,作为高度自觉性的又一重要表

21、现,我们应当超出个人的开展并从社会进步的角度更为深刻地去理解数学学习的意义,从而自觉地承当起数学教师所应承当的社会责任;另外,我们还应善于从辩证的角度去进行分析和思考问题,特别是,在充分肯定数学思维与“数学文化的积极意义的同时,也应清楚地看到它们的局限性与缺乏之处.首先,依据数学在东西方文化中的不同地位我们即可清楚地看到充分发挥数学的文化价值对于中国的特殊重要性.具体地说,这正是西方文明的一个重要特征,即是“数学理性在其中占据了主导的地位;与此相对照,由于东方文化主要是一种“儒家文化,也即特别重视伦理道德,数学在古代中国就始终处于无足轻重的地位,也即仅仅被看成是一种实用技艺,后者那么又直接造成

22、了“理性精神在中国传统文化中的匮乏.更为一般地说,如果说在西方文化中数学与理性精神在很大程度上可以被看成处于互相强化的状态,那么,在古代中国这两者就陷入了一种恶性循环:由于在古代中国长期占据主导地位的是所谓的“有机的自然观,后者突出地强调了内省式的“悟性,因此,数学的认识功能在古代中国就始终未能得到清楚认识和有效发挥;进而,又正由于数学的认识功能未能得到充分发挥,所说的“有机的自然观也就始终未能得到有力的冲击.综上可见,齐民友先生的以下论述就是很有道理的,这更可被看成中国数学教师所应自觉承当的一个社会责任与历史责任:“历史已经证明,而且将继续证明,一个没有相当兴旺的数学文化的国家是注定要衰落的

23、,一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.(文12第1213页)课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,

24、使文章增色添辉。上面的论述显然也已说明:相对于纯粹的工具作用而言,我们应当更加重视数学的文化价值,包括积极地促成这样一种生活态度的养成,即是努力超越世俗并追求更高层次上的快乐与人生价值.例如,在笔者看来,这也正是以下论述的主要意义所在:“我从孩子们的日记中看到他们分析事理的能力愈来愈强;从课堂中听到他们使用的词汇愈来愈清晰有理;从同学的互动中感觉到容忍与爱心的滋生,一切的一切,让我觉得不只是与他们共同讨论数学而已,重要的是培养一个会做理性批判思考、会主动学习、会容忍异己欣赏别人以及有世界观的国民.(文13第21页)其次,在充分肯定数学的文化价值的同时,我们又应看到后者也有一定的局限性.例如,毕晓普在上述“经典论文中提到这样一个论点:由于现行的数学教育主要突出了“数学文化的这样三个特征:“控制“客观主义和“神秘性,因此,这就是数学教育深