第2章逻辑代数基础湘潭大学数字电路基础

1、祝大家新学期：祝大家新学期： 生活愉快，学习进步！生活愉快，学习进步！数字电子技术基础 材料与光电物理学院 微电子专业 任课教师：余云霞 逻辑代数 逻辑代数逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1847年首先进行系统论述的，也称布尔代数；由于被用在开关电路的分析和设计上，所以又称开关代数。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0 和 1并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。 逻辑运算逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算。 功能描述方法有：1）真值表真值表：即将自变量和

2、因变量（输入变量和输出变量）的所有组合对应的值全部列出来形成的表格。2）逻辑符号逻辑符号：用规定的图形符号来表示。1.与、或、非的定义如图1-1所示，以开关A、B的状态作为条件，闭合表示条件具备，断开表示条件不具备 ；以指示灯Z的状态作为结果，灯亮表示结果发生，灯不亮表示结果不发生。图2-1 指示灯控制电路 与与：只有决定事情发生的全部条件同时具备时，结果才发生，又称逻辑乘。或或：只要决定事情发生的全部条件至少具备一个时，结果就发生，又称逻辑加。非非：条件具备时，结果不发生，条件不具备时，结果一定发生，又称逻辑求反。2与、或、非的真值表表2-1与的真值表表2-2 或的真值表表2-3非的真值表3

3、与、或、非的逻辑运算符号与： “ ” 或者省略。如：Z=AB或者 ；或 ：“+” 。如： Z=A+B；非：变量上方的“ ”表示。如： 。AZBAZ4与、或、非的逻辑符号图2-2 与、或、非的逻辑符号 5复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或与非的逻辑运算符号 ：)()(ABBA或 表2-4 与非的真值表 图2-3 与非的逻辑符号 或非的逻辑运算符号： )( BA图2-4 或非的逻辑符号 表2-5 或非的真值表 与或非的逻辑运算符号是 ：)(CDAB图2-5 与或非的逻辑符号 表2-6 与或非的真值表 异或运算异或运算的定义是输入相异，输出为1；输入相同，输出为0。其逻辑运算符号是 。表2

4、-7 异或的真值表 图2-6 异或的逻辑符号同或运算同或运算的定义是输入相同，输出为1；输入相异，输出为0。其逻辑运算符号是 。表2-8 同或的真值表 图2-7同或的逻辑符号1. 1818个基本公式个基本公式变量和常量之间的运算规则变量和常量之间的运算规则: :重叠律：重叠律：互补律：互补律：交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律：反演律：反演律：还原律：还原律：求反运算：求反运算：AAAAAA011100AAAAAA10AAAAABBAABBACBACBACBACBA CABACBAACABCBABABABABA )().(AA 01102. 若干常用公式ABABAABAABABAA

5、 CABACBCABA ABAABABAA )(;).(ABAA口诀：长中含短口诀：长中含短,留下短。留下短。口诀：口诀： 长中含反长中含反, 去掉反。去掉反。口诀：正负相对口诀：正负相对, 余全完。余全完。说明：说明：两个（或两个以上）变量的两个（或两个以上）变量的与非与非（或非或非）运算等于两个（或两）运算等于两个（或两个以上）变量的个以上）变量的非或非或（非与非与）运算。）运算。德德 摩根定理摩根定理（De Morgan)公式的证明：例如：证明:CABACBCABA CABABCACBACBACBACABAAACBCABACBCABA 11代入定理：在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以

6、一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。反演定理：在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“ 0”变成“1”， “1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作： 。注意：a）运算的优先顺序。b）不是单个变量上的非号应保留不变。Y2.4逻辑代数的基本定理例1-1 试用反演定理求函数式 的反逻辑式。解：对偶式对偶式：在一个逻辑式 中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“ 0”变成“1”， “1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作： 。对偶定理对偶定理：若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。

7、 例1- 2 试求函数式 的对偶式。解： EDCBAYEDCBAYYDY EDCBAYDEDCBAY2.52.5逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.12.5.1逻辑函数逻辑函数：当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之而定，输出变量和输入变量之间是一种函数关系。逻辑函数的表示方法：逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图和卡诺图。2.5.2.逻辑函数的表示方法1.逻辑真值表逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格。列写方法是：a) 找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；b)逻辑赋值。c)列真值表。用真值表证明：1101111100101100001010000

8、0011110110000001010101000000000BCABCBACACAABCABACBCABA 三人表决电路例如三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。 1.逻辑真值表表2-9三人表决电路的逻辑真值表 2.逻辑函数式逻辑函数式逻辑函数式：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称函数式或逻辑式。例如：三人表决电路的逻辑函数式：ABCCABCBABCAY3.逻辑图逻辑图逻辑图：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。三人表决电路的逻辑图：图

9、2-8 三人表决电路的逻辑图4.表示逻辑功能的波形图ABCY000000000000000101111111111111115逻辑函数表示方法之间的相互转换（1）真值表 函数式a)找出真值表中使函数值为1的输入变量取值；b）每个输入变量取值都对应一个乘积项，变量取值为1，用原变量表示，变量取值为0，用反变量表示。c)将这些乘积项相加即可。 （2）函数式 真值表首先在表格左侧将不同输入变量取值依次按递增顺序列出来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到的函数值对应地填在表格右侧即可。（3）函数式 逻辑图将函数式转换成逻辑图的方法：从输入到输出分别用相应的逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即可

10、。（4）逻辑图 函数式将逻辑图转换成函数式的方法：从输入到输出分别用相应的逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可。2.5.3逻辑函数的两种标准形式（1）最小项和的形式最小项：设m为包含n个因子的乘积项，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称m为n变量的一个最小项。n变量共有个 最小项。最小项的编号规则：使最小项m值为1 的输入变量取值所对应的十进制数既为该最小项的编号，记作 。 2nmi表2-11 三变量的最小项编号表最小项的性质最小项的性质：a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1；b)任意两个最小项之积为0；c)全体最小项之和为1；d)具有逻辑相邻性

11、的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。将函数式化成最小项和的形式的方法为将函数式化成最小项和的形式的方法为：该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反变量，展开即可。）（变量型 ABCCBABCAY型）（m 753mmm m 753m）型（， )( 例例2-32-3：写出：写出 的最小项之和式。的最小项之和式。ABCBCACY 最小项之和式最小项之和式为为：ABCBCACBAABCBCAABCCBAABCABCBCAACBBAABCBCACY )()( 解：解：1AA例2-4 将函数式化成最小项和的形式。解： 15,13,10, 9 , 8 , 7 , 5,15131

12、098751015137589mmmmmmmmmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCBADCBABDCBAY（2）最大项积的形式最大项最大项：设M为包含n个因子的和，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称M为n变量的一个最大项。n变量共有 个最大项。最大项的编号规则：使最大项M值为0 的输入变量取值所对应的十进制数既是最大项的编号，记作 Mi 。在一个在一个或与逻辑式或与逻辑式中，若所有的或项均为最大项，则中，若所有的或项均为最大项，则该逻辑式称为该逻辑式称为最大项之积形式最大项之积形式。 n2表2-12 三变

13、量的最大项编号表最大项的性质最大项的性质：a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0；b)任意两个最大项之和为1；c)全体最大项之积为0；d)具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去一个不同因子。将函数式化成最大项积的形式的方法为将函数式化成最大项积的形式的方法为：首先化成最小项和的形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形式。例2-5 将函数式化成最大项积的形式。解： DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAMMMMMMMMMMmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCB

14、ADCBABDCBAY14,12,11, 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 01412116432101015137589（3 3）最小项和最大项的性质）最小项和最大项的性质 n n变量的全部最小项之和恒为变量的全部最小项之和恒为1 1， 全部最大项的之积全部最大项的之积恒为恒为0 0。 任意两个最小项之积恒为任意两个最小项之积恒为0 0，任意两个最大项之和恒，任意两个最大项之和恒等于等于1 1 。 n n变量的每一个最小（大）项有变量的每一个最小（大）项有n n个相邻项（相邻项个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子

15、均相同，又称为相同，又称为逻辑相邻项逻辑相邻项）。）。1120niim1200niiM)(0jimmji)( 1jiMMji imYikkmYikkikkikkMmmYikkm)(iimM)(miiM（4 4）最小项和最大项的关系）最小项和最大项的关系互为反函数互为反函数1 YYk12n LLDmY求反函数求反函数求对偶式求对偶式求最大项之积式求最大项之积式 例例2-62-6已知已知 )15,14,13, 9 , 6 , 4 , 3(),(mDCBAY利用最小项表达式求其反函数和对偶式。利用最小项表达式求其反函数和对偶式。 )12,11,10, 8 , 7 , 5 , 2 , 1 , 0(m

16、)1514139643(i m),(ikk，DCBAY)15,14,13,10, 8 , 7 , 5 , 4 , 3( )3 , 4 , 5 , 7 , 8 ,10,13,14,15( k12),(nmmmYLLDCBAD解：解：例2-7：写出 的最大项之积式。ABCBCACY ) 753(m),(， CBAY解：已知则)()()()( 6 , 4 , 2 , 1 , 0k ),(64210CBACBACBACBACBAMMMMMMCBAYikk）（2.5.4 逻辑函数形式的变换 在电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选用不同逻辑功能类型的器件，还必须将逻辑函数式变换成相应的形式。 逻辑函数式的

17、八种类型与-或式、与非-与非式、或-与非式、或非-或式、与或非式、与非-与式、或-与式、或非-或非式。与或式 与非-与非式：将与或式两次求反，并用一次德摩根定理即可。例2-8 试将函数式 转换成与非-与非式。解：BADBACDY)()()( BADBACDBADBACDBADBACDY与或式 与或非式：先将与或式化成最小项和的形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的或非形式。例2-9 试将函数式 转换成与或非式。解：BACBACYCABCBACBAmmmmmmmmCBABCACBACBACBAABCCCBACBAACBBABACBACY640231572.6 逻辑函数的化简

18、方法2.6.1 公式化简法2.6.2 卡诺图化简法2.6.3奎恩麦克拉斯基化简法（Q-M法）逻辑函数的化简逻辑函数的化简化简要求化简要求 要求1、逻辑表达式最简 (器件最少,速度最快) 要求2、逻辑运算关系统一(器件型号统一)化简目标: 最简与或表达式 乘积项最少且乘积项中变量因子最少。逻辑表达式的类型：与或非，或非逻辑表达式的类型：与或非，或非- -或非，或与，与或，与或非，或与，与或，与非非- -与非与非解：对比可知式1含4个与项，其他3式都只含3个与项，所以式1肯定不是最简；式3、4中各与项都含2个变量，而式2中有一个与项含3个变量。结论：式3、4同为该函数的最简与或表达式。例如，以下4

19、个“与或”表达式是相等的，即他们表示同一函数试判断哪一个试最简“与或”表达式？CABACCBACACBACABACACACBCACBACACBAACBACBCACACBACACACBBACACBCABACBCAZ)4()3()()2() 1 (2.6.1 公式化简法 逻辑函数的公式化简法：逻辑函数的公式化简法：是指熟练运用所学基本公式和常用公式，将一个函数式化成最简形式。 与或式最简形式的标准是：与或式最简形式的标准是：该与或式中包含的乘积项的个数不能再减少，且每个乘积项所包含的因子数也不能再减少。 化简逻辑函数目的：化简逻辑函数目的：消去多余的乘积项和每个乘积项多余的因子，以得到逻辑函数的最

20、简形式。 常用公式化简法：常用公式化简法：并项法、吸收法、消因子法、消项法、配项法。 并项法并项法例如：ABAABBABBAABBCACBABCAABCBAY1CCBACBACBABACABBACBABCAABCCBAY2BABCBACABCBCAABCCBBAY3吸收法： 例如：消因子法： 例如： AABAABABCDABCABY1CABBCDACABCABBCDACABCABY)()()(2BABAAEDCABEDABCABABY1CBACBABACABBACABCBAY2ADCABDCACABDCACABABY3消项法： 和 。例如：配项法： 或 。例如：CAABBCCAABCAABBC

21、DCAABDEABABCCDEFDEABABCY1DBACBACDEDBACBACDEDBABACBAABCDEDBABDACBAABCY2AAA1 AA BACACBBACBACABCBACBCBABACBACABCBCBACBABACBAACBCCBABACBCBBAY1 ABACBCABCCABABCCBAABCBCAABCCABCBABCAY2CADABDCCADABBCEADCBAABDCCADABBCEADCBADBABDCCADABDBCEADCBADABDCCADABDY1.1.卡诺图的构成卡诺图的构成A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AA B BAB AB

22、1010 m0 m1 m2 m3 miABA BA B AB1010 0 1 2 3二二变变量量K K图图 建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面左面（或上面）原数字（或上面）原数字前前增增加加一个一个0 0，对称轴，对称轴右面右面（或下面）原数字（或下面）原数字前前增增加加一个一个1 1。2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图是上下，左右闭合的图形卡诺图是上下，左右闭合的图形。ABC010001111

23、0 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7000111100001 11 1001 2 34 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11ABCDABC0100011110 0 1 2 3 456 7几何相邻几何相邻：一是相接，即紧挨着；一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两端；二是相对，即任意一行或一列的两端；三是相重，即对折起来位置重合。三是相重，即对折起来位置重合。三三变变量量K K图图四四变变量量K K图图2.2.卡诺图描述逻辑函数卡诺图描述逻辑函数 给出真值表给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入

24、Y Y1 1的的项即可。项即可。 A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010101例：例：ABC0100011110 0 0 0 1 010 1ABC0100011110 1 1 1 给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式将逻辑函数的将逻辑函数的最小项最小项在卡诺图上相应的方格中在卡诺图上相应的方格中填填1 1；其余的方格填其余的方格填0(0(或不填或不填) )。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1 1的那些最小项之和。的那些最小项之和。 ),(),(76211mC

25、BAY ),(),(151210974202mDCBAY例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 1 1 1000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 ABCD解：解： 给出逻辑函数一般与或式给出逻辑函数一般与或式确定使每个确定使每个与项为与项为1 1的所有输入变量取值，并在卡诺图上对的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格应方格填填1 1；其余的方格填其余的方格填0(0(或不填或不填) )。也可化为也可化为标准与或式标准与或式，再填入，再填入。 CBACBA),(Y1例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图分

26、别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 111 1解解：A：当：当ABC=1(表示可以为表示可以为0，也，也可以为可以为1)时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应，在卡诺图上对应四个方格四个方格(m4，m5，m6，m7)处填处填1。 )7 , 6 , 5 , 4 , 2( )()(Y1mCBAACCBBACBACB ：当当ABCABC= =1010时该与项为时该与项为1 1，在卡诺，在卡诺图上对应两个方格图上对应两个方格(m(m2 2，m m6 6) )处填处填1 1。ADDCBACBAF2000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 11 1 ABCD D D ：

27、 当当ABCDABCD= =1 1时该与项为时该与项为1 1，对应八个方格对应八个方格(m(m1 1、m m3 3、m m5 5、m m7 7、m m9 9、m m1111、m m1313、m m1515) )处填处填1 1。 ：当当ABCD=ABCD=001001时该与项为时该与项为1 1，对应两个方格对应两个方格(m(m2 2、m m3 3) )处填处填1 1。CBA ：当当ABCDABCD=101=101时该与项为时该与项为1 1，在卡诺图上对应两个方格在卡诺图上对应两个方格(m(m1010、m m1111) )处处填填1 1。CBA解：解：AD AD ：当：当ABCDABCD=1=11

28、 1时该与项为时该与项为1 1，对应四个方格对应四个方格(m9(m9、 m11m11、m13m13、m15)m15)处填处填1 1。某些最小项重复，只需填一次即可。某些最小项重复，只需填一次即可。 给出逻辑函数的最大项之积式标准或与式给出逻辑函数的最大项之积式标准或与式将逻辑函数的将逻辑函数的最大项最大项在卡诺图上相应的方格中在卡诺图上相应的方格中填填0 0（或不填）（或不填）；其余的方格填其余的方格填1 1。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1 1的那些最大项之积。的那些最大项之积。 ),(),(520MCBAY例：用卡诺图描述逻辑函数例：用卡诺图描述逻辑

29、函数ABC0100011110 0 1 0 1 101 1解：解： 给出逻辑函数一般或与式给出逻辑函数一般或与式确定使每个确定使每个或项为或项为0 0的所有输入变量取值，并在卡诺图上对的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格应方格填填0 0；其余的方格填其余的方格填1 1。也可化为也可化为标准或与式标准或与式，再填入。，再填入。 )(),(YCBACBA例：用卡诺图分别描述逻辑函数例：用卡诺图分别描述逻辑函数ABC0100011110 0 0 0 0 101 1解：解：A A：当：当ABCABC=0=0( (表示可以为表示可以为0 0，也，也可以为可以为1)1)时该或项为时该或项为0 0，在卡诺图上对，在卡诺图上对应四个方格应四个方格(m(m0 0，m m1 1，m m2 2，m m3 3) )处填处填0 0。 )5 , 3 , 2 , 1 , 0()7 , 6 , 4()(YMmCBA ：当当ABCABC= =0101时该与项为时该与项为0 0，在卡，在卡诺图上对应两个方格诺图上对应两个方格(m(m1 1，m m5 5) )处填处填0 0。)B(C3.用卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简步骤：1)将函数化为最小项之和的形式；2）画出表示该逻辑函数的卡诺图；3）找出可以合并的最小项；4）选取化简后的乘积项，选择原则选择原则为：