弯曲切应力15

1、5.3 弯曲切应力弯曲切应力5.3.1 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁图示一矩形截面梁受任图示一矩形截面梁受任意横向载荷作用。意横向载荷作用。q(x)F1F21用横截面用横截面m-m, n-n从梁中截从梁中截取取dx微段微段 。两横截面上均有。两横截面上均有剪力和弯矩。剪力和弯矩。dxxmmnn弯矩产生弯矩产生正应力正应力, 剪力产生剪力产生切应力切应力。FSM+dMMFSnmmn假设：假设： 横截面上距中性轴等远的横截面上距中性轴等远的各点处各点处切应力切应力大小相等。大小相等。 各点的切应力方向均与各点的切应力方向均与截截面侧边平行面侧边平行。对于狭长矩形

2、截面对于狭长矩形截面, 横截面上侧横截面上侧边各点处的切应力必与侧边平边各点处的切应力必与侧边平行行, 在对称弯曲情况下在对称弯曲情况下, 对称轴对称轴y处的切应力必沿处的切应力必沿y方向方向, 且且狭长狭长矩形截面上切应力沿截面宽度矩形截面上切应力沿截面宽度的变化不可能大的变化不可能大。ybzh/2yFS两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上。所以两截面上到中性轴距离相等的点到中性轴距离相等的点(用用y表示表示)的正应的正应力也不等。力也不等。zM yI正应力正应力( ( ) )分布图分布图nmmnyFSM+dMMFSnmmnmnnmohbdxyzmmyABA1B1n2假想

3、地从梁微段上假想地从梁微段上截出体积元素截出体积元素 mB1 xyzxomnmABA1B13 体积元素体积元素mB1在两端在两端面面 mA1, nB1上两个上两个法向内力不等。法向内力不等。F *N1F *N2yzxomnmABA1B1F *N1F *N2*1N11ddAAzMyFAAI*N221(d)ddAAzMMFAyAI式中式中 为面积为面积A*(图图b)对中性轴对中性轴z的静的静矩；矩； A*为横截面上距中性轴为横截面上距中性轴z为为y的横线的横线AA1以以下部分的面积。下部分的面积。*d1*AzAyS*1dAzMyAI*1ddAzMMyAI*zzMSI*dzzMMSI4在纵截面在纵截

4、面AB1上必有上必有沿沿x方向的切应力方向的切应力t t ,产生dFS。mnnmohbdxyzmmyABA1B1nxyzxomnmABA1B1F *N1F *N2t0 xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF 即ddsFbxtbISFbISxMzzzz*S*ddt得*N1zzMFSI*N2dzzMMFSIyzxomnmABA1B1F *N1F *N2dFS由t在在AB1面上有切应力面上有切应力t t。根椐切应力互等定理根椐切应力互等定理, 在横截面上在横截面上也应有也应有切切应力应力t t。mnnmohbdxyzmmnxyzxomnmABA1B1F *N1F *N2dFSyABA1B1t

5、 tt tt tt t5横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y的任意点的任意点, 其切应力其切应力t t 的计算公式的计算公式:*SzzFSbItmnnmohbdxyzmmyABA1B1nx5.3.1 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力*SzzFSbItIz 整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩b 所求点矩形截面的宽度所求点矩形截面的宽度Sz* 过求切应力的点作与中过求切应力的点作与中性轴平行的直线性轴平行的直线, 该横线以下部该横线以下部分面积对中性轴的静矩分面积对中性轴的静矩t t 其方向与剪切力其方向与剪切力FS的方向一致的方向一致byzA*h/2对于矩形截面梁，对于矩

6、形截面梁，横截面上的横截面上的切应力切应力t t 沿截面高度的变化情沿截面高度的变化情况由部分面积的静矩况由部分面积的静矩Sz*与坐标与坐标y之间的关系反映。之间的关系反映。*1dzCASy AAy()()/222hhbyy22S()24zFhyItybzA*h/2SF22S()24zFhyIt切应力沿截面高度按抛物线规律变化。切应力沿截面高度按抛物线规律变化。当当y0时时, 即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处, 切应力达到切应力达到最大值。最大值。当当yh/2时时, 即即在横截面上距中在横截面上距中性轴最远处性轴最远处, 切应切应力力t t0。SF22S()24zFhyIt22SSSmax

7、3382812zFFFhhbhIbhtSmax32FAtAbh是矩形截面的面积。是矩形截面的面积。5.3.1 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力二、工字形截面梁横截面上的切应力二、工字形截面梁横截面上的切应力*SzzFSI dt假设腹板上求应力的点到中性轴的距离为假设腹板上求应力的点到中性轴的距离为y Sz* 距中性轴为距中性轴为y的横的横线以下部分截面的面积线以下部分截面的面积对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。d 腹板的厚度腹板的厚度2222*00()()824zhbdhhyS2222S00()()824zFhbdhhyI dtzyOt tmaxt tmaxt tmin腹板上的切应力沿腹板腹

8、板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律高度按二次抛物线规律变化。变化。2222S00()()824zFhbdhhyI dtzyOt tmaxt tmaxt tmin腹板上腹板上最大切应力也在中性最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。的最大切应力。22S0max()88zFhbhbdI dt22Smin0()8zFbhhI dt腹板上腹板上最小切应力发生在最小切应力发生在腹腹板和翼缘的交点处板和翼缘的交点处。 t tmax与与t tmin实际上相差不大实际上相差不大, 所以所以, 可以可以认为在腹板上切应力大致是均匀分布的。认为在腹板上切应力大致是均匀分

9、布的。横截面上的剪力横截面上的剪力FS的绝大部分（的绝大部分（9095）为腹板所负担。为腹板所负担。5.3.1 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力S0Fdht 这样这样, 就可用腹板的就可用腹板的截面面积除剪力截面面积除剪力FS, 近似近似地得出腹板内的切应力。地得出腹板内的切应力。补充补充: 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行翼缘横截面上平行于剪力于剪力FS的切应力在其的切应力在其上、下边缘处为零上、下边缘处为零(因为因为翼缘的上、下表面无切翼缘的上、下表面无切应力应力)，可见翼缘横截面，可见翼缘横截面上其它各处上其它各处平行于平行于FS的的切应力不可能很大，故切应力不可能很大

10、，故可不予考虑可不予考虑。 但是，如果从长为但是，如果从长为dx的的梁微段中用铅垂的纵截面在梁微段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会缘自由边在内的分离体就会发现，铅垂的纵截面上必有发现，铅垂的纵截面上必有由切应力由切应力t t1构成的合力。构成的合力。*N1*N2SdFFFhdxA*自由边1t1t*1NF*2NF根据根据 可得出可得出xFdd1St 从而由切应力互等定理可从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为知，翼缘横截面上距自由边为h h 处有处有水平切应力水平切应力t t1，而且它，而且它是随是随h h 按线性规律变化的。按

11、线性规律变化的。hhthIFhIFISFzzzz2 22SS*S1hdxA*自由边1t1t*1NF*2NF5.3.1 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力*三、圆截面梁三、圆截面梁*3SSSmax4/124(/64)3zzF SF dFI bddAt 对于圆截面梁对于圆截面梁, 由由切应力互等定理可知切应力互等定理可知, 在截面边缘上各点处切在截面边缘上各点处切应力应力t t的方向必与圆周的方向必与圆周相切。中性轴上各点处相切。中性轴上各点处切应力最大。切应力最大。SF*4. 薄壁圆环形截面梁薄壁圆环形截面梁 对于薄壁环形截面梁，对于薄壁环形截面梁，环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半，环的平均

12、半径为径为r0，由于由于 r0 故可假设：故可假设：（a）横截面上切应力的大）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；小沿壁厚无变化；（b）切应力的方向与圆周相切。）切应力的方向与圆周相切。式中式中 A=2 r0 横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为AFSmax2 t tzyr0SF5.3.2 弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件 梁除满足正应力强度外梁除满足正应力强度外, 还需满足切还需满足切应力强度。应力强度。 等直梁的最大切应力一般在最大剪力等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处所在横截面的中性轴上各点处, 这些点的这些点的正应力

13、正应力 = 0, 略去纵截面上的挤压应力后略去纵截面上的挤压应力后, 最大切应力所在的各点均可看作是处于最大切应力所在的各点均可看作是处于纯纯剪切应力状态剪切应力状态。仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式, 即即梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为式中式中: t t 为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。max tt*Smaxmax zzFSI bt特殊情况特殊情况：在选择梁的截面时：在选择梁的截面时, 通常先按正应通常先按正应力 选 出 截 面力 选 出 截 面 , 再 按 切 应 力 进 行 强 度 校再 按 切 应 力 进 行

14、 强 度 校核！核！5.3.2 弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况u梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而FS较大时，要较大时，要校核切应力；校核切应力；u铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；应力；u胶合缝的抗剪能力较差，胶合缝的抗剪能力较差，要校核切应力。要校核切应力。P例例1 一一吊车梁吊车梁设备如图设备如图所示。起重量所示。起重量(包含电包含电葫芦自重葫芦自重)P = 30 kN。跨长跨长l5 m。吊

15、车大梁。吊车大梁AB由由20a工字钢制成。工字钢制成。其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力 170 MPa, 许用弯曲许用弯曲切应力切应力t t 100 MPa , 试校核梁的强度。试校核梁的强度。解解:吊车梁可简化为简支梁。吊车梁可简化为简支梁。 5 mABPx由型钢表查得由型钢表查得20a工字钢的工字钢的所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为3237 cmzW 3maxmax637.5 10237 10158 MPazMW 170 MPa, t t100 MPa所以梁的弯曲正应力强度足够。所以梁的弯曲正应力强度足够。因载荷是移动的因载荷是移动的, 力力P在在何处时弯矩最大何处时弯矩最大?一一

16、 正应力强度校核正应力强度校核PM图图37.5 kNm中点中点5 mABPx二二 切应力强度校核切应力强度校核在计算最大切应力时在计算最大切应力时, 何时最何时最危险？危险？P5 mABPFS图图FS maxFBFA查型钢表中查型钢表中20a号工字号工字钢钢, 有有d = 7 mmSmax30 kNAFFP*max17.2 cmzzIS 170 MPa, t t100 MPa载荷载荷P在紧靠任一支座在紧靠任一支座, 例如例如支座支座A处处, 因为此时该支座的因为此时该支座的支反力最大支反力最大, 而梁的剪力也就而梁的剪力也就最大。最大。以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的。以上两方面的

17、强度条件都满足，所以此梁是安全的。据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度P5 mABPFS图图FS maxFBFA*SmaxmaxSmaxmax*maxzzzzFSFI dIdSt32330 1017.2 107 10 624.9 10 Pa24.9 MPa t 170 MPa, t t100 MPa所以梁的弯曲切应力强度足够。所以梁的弯曲切应力强度足够。例例2 悬臂梁由三块木板粘接而成，悬臂梁由三块木板粘接而成，l=1 m。胶合面的许可切应力为胶合面的许可切应力为0.34 MPa，木材，木材的的 10 MPa, t t =1 MPa，求许可载荷。，求许可载荷。Fl100505050z许

18、可切应力为许可切应力为0.34 MPa，木材的，木材的 10 MPa, t t =1 MPa 21maxmax6bhlFWMz2.按正应力强度条件计算许按正应力强度条件计算许可载荷可载荷 SF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF Fl100505050z解：解：1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图SF FM Fl maxS23232F /AF /bhtttt3.按切应力强度条件计算许按切应力强度条件计算许可载荷可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhFt tFl100505050z 10 MPa, t t =1

19、MPa gZZSbhFbbhhbFbISFt tt t 341233323*g4.按胶合面强度条件计算许可载荷按胶合面强度条件计算许可载荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhFt t5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzSF F习题分析 5-22例例4 一简支梁受四个集中载荷一简支梁受四个集中载荷F1120 kN, F230 kN, F340 kN, F412 kN。此梁由两根槽。此梁由两根槽钢组成钢组成, 已知梁的许用应力已知梁的许用应力 170 MPa

20、, t t 100 MPa。试选择槽钢型号。试选择槽钢型号。zyOBA400F1F4F2F3400700300600解解: : 支座反力为支座反力为FA = 138 kN, FB = 64 kN FAFBBA400F1F4F2F340070030060013818125264FAFB作剪力和弯矩图作剪力和弯矩图FS max = 138 kNMmax = 62.4 kNmFS图图62.455.25438.4M图图由正应力强度条由正应力强度条件选择槽钢型号件选择槽钢型号此梁所需要的抗此梁所需要的抗弯截面系数为弯截面系数为3max66362.4 10 170 10367 10mZMWF1120 kN

21、, F230 kN, F340 kN, F412 kNFA = 138 kN, FB = 64 kN 每一槽钢所需要的抗弯截面系数为每一槽钢所需要的抗弯截面系数为从型钢表中选用从型钢表中选用20a号槽钢号槽钢, 其抗弯截面系数为其抗弯截面系数为小于所需小于所需Wz。但当此梁选用两根。但当此梁选用两根20a号槽钢时号槽钢时, 梁的最大正应力为梁的最大正应力为6633367 10183.5 10m183.5cm2ZW3178cmZW 超过许用正应力约超过许用正应力约3% , 在工程上是允许的。在工程上是允许的。 6max662400175 10 Pa170MPa2 178 10zyOMmax =

22、62.4 kNm校核最大切应力校核最大切应力Smax138 kNF*max373 100 50100 11100 11 737104000 mm2z查得查得20a号槽钢的号槽钢的Iz=1780 cm4。 每一根槽钢分担的最大剪力为每一根槽钢分担的最大剪力为3Smax/2138000/269 10 NF *44Smaxmaxmax56.9 101.04 101.78 100.00757.6 MPa100 MPazzFSI dtt所以所以20a号槽钢满足切应力强度条件。号槽钢满足切应力强度条件。 170 MPa, t t 100 MPa例例5 对于图中的吊车大对于图中的吊车大梁，现因移动载荷梁，现因移动载荷F增增加到加到50 kN，故在，故在20a号号工字钢梁的中段用两块工字钢梁的中段用两块横截面为横截面为120 mm 10 mm而长度而长度2.2 m的钢板的钢板加强，横截面尺寸如图加强，横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正所示。已知许用弯曲正应力应力 152 MPa, 许许用切应力用切应力t t95 MPa。试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。200z220120102.2mF解：加强后的梁是阶解：加强后的梁是阶梯状变截面梁。所以梯状变截面梁。所以要校核要校核F移至未加强的梁段在截移至未加强的梁段在截面突变处的正应力面突变处的正应力F靠近支座时靠