线性代数：特征值4-1矩阵的特征值与特征向量

1、1第四章第四章2 本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及实二次本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及实二次型的理论。型的理论。 3设设A是是一一个个n阶阶方方阵阵，如如果果存存在在一一个个数数 ，以以及及一一个个非非零零n维维列列向向量量 ，使使得得 第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义定义说明说明 A则则称称 为为矩矩阵阵A的的特特征征值值，而而 称称为为矩矩阵阵A的的属属于于特特征征值值 的的特特征征向向量量。 1 1、特征值问题是针对、特征值问题是针对方阵方阵而言的；而言的；2 2、特征向量必须是、特征向量必须是非零非零向量；向量；3 3、特征向量既依赖于矩阵、特征向量

2、既依赖于矩阵A，又依赖于特征值又依赖于特征值 . 一、特征值与特征向量的基本概念一、特征值与特征向量的基本概念4一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：设设 是是同同时时属属于于特特征征值值1 和和2 的的特特征征向向量量， 即即 1 A， 2 A， )(21 而而. 21 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 A,)( AE即要求齐次线性方程组即要求齐次线性方程组 )(AE有非零解，有非零解，即方程即方程0 AE 的根就是矩阵的根就是矩阵A的特征值，的特征值，相应非零解即为特征向量。相应非零解即为特征向量。5,21222211121

3、1nnnnnnaaaaaaaaa 次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0 AE ,次次多多项项式式的的它它是是n AEf )(记记称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式， 为矩阵为矩阵A的的特征方程特征方程。矩阵矩阵A的特征值，即为特征方程的根。的特征值，即为特征方程的根。6计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：1 1、求求特特征征方方程程0 AE 的的全全部部根根，即即为为矩矩阵阵A的的全全部部特特征征值值； 2 2、对每一特征值、对每一特征值i ，求解齐次线性方程组，求解齐次线性方程组 它它的的全全部部非非零零解解向向量量即即为

4、为矩矩阵阵A的的属属于于特特征征值值i 的的全全部部特特征征向向量量。 xAEi)(7例例1 设设,120010112 A求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解120010112 AE,0)1)(1)(2( 所以所以A的特征值为的特征值为 .1, 1, 2321 8120010112 AE.1, 1, 2321 ，对对21 1200301102AE,000100110 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为,)0,0,1(1T 因因此此属属于于特特征征值值21 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(111 kk ； 9120010112 AE.1, 1, 23

5、21 ，对对12 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为,)1,1,0(2T 因因此此属属于于特特征征值值12 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(222 kk ； 220000113AE,000110113 10120010112 AE.1, 1, 2321 ，对对13 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为,)1,0,1(3T 因因此此属属于于特特征征值值13 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(333 kk 。 020020111AE,000010111 11例例2解解314020112 AE,0)1()2(2 所以所以A的特征值为的特征值

6、为 .1),(221 二重根二重根设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。,314020112 A12314020112 AE.1),(221 二重根二重根，对对21 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为,)4,0,1(1T 因因此此属属于于特特征征值值21 的的全全部部特特征征向向量量为为 1140001142AE,000000114 ,)1,1,0(2T 212211,(kkkk 不不全全为为零零) )；AE.1),(221 二重根二重根，对对12 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为,)1,0,1(3T

7、因因此此属属于于特特征征值值12 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(333 kk . . 414030111AE,000010111 14 nnnnaaaaaa00022211211 nnnnaaaaaa212221110000 n 00000021 对角阵、上三角阵对角阵、上三角阵、下三角阵，下三角阵，它们的特征值它们的特征值即即为为主对角元。主对角元。 15三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 性质性质1 1( (1 1) ) 设设 是是矩矩阵阵A的的属属于于特特征征值值0 的的特特征征向向量量， 则则对对任任意意常常数数0 k， k也也是是A的的属属于于0 的的特特征

8、征向向量量； ( (2 2) ) 若若 ,都都是是A的的属属于于特特征征值值0的的特特征征向向量量， 则则 lk ),(不不全全为为零零lk也也是是A的的属属于于0 的的特特征征向向量量。 证证 A)( kA)( Ak )(k . )( k AA,)( lkA lAkA lk . )( lk (2) 可推广到多个特征向量可推广到多个特征向量.16 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。线性无关。 性质性质2 2属于不同特征值的特征向量线性无关。属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况只证两个特征向量的情况.证证, A, A,

9、, 则则 )( lkA )()( AlAk , lk( (1 1) ) ( (2 2) )消消去去 , ,得得 ,)( l,0 设设 lk， (1)(2),0 l代入代入(1),(1),得得 ,0 k证证得得 ,线线性性无无关关. . 推广推广17性质性质3 3矩矩阵阵A与与它它的的转转置置TA有有相相同同的的特特征征值值。 证证TAE TAE)( ,AE 说说明明A与与TA有有相相同同的的特特征征多多项项式式, , 从而有相同的特征值从而有相同的特征值.注意注意: :尽尽管管A和和TA的的特特征征值值相相同同，但但一一般般它它们们的的特特征征向向量量是是不不同同的的。 18性质性质4 4设设

10、0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量，则则 证证( (1 1) ) 0 k是是kA的的特特征征值值（k是是任任意意常常数数） ； ( (2 2) ) m0 是是mA的的特特征征值值（m是是正正整整数数） ； ( (3 3) ) 当当A可可逆逆时时, ,00 , ,10 是是1 A的的特特征征值值. . 且且 仍然是矩阵仍然是矩阵kA、mA、1 A的相应于特征值的相应于特征值0 k、m0 、10 的特征向量。的特征向量。 0 A(2)()( 0 AAA )(0 A , )(00 ，即即 202 A,303 A重复这个过程重复这个过程, 可得可得,.0 mmA 1

11、9性质性质4 4设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量，则则 证证( (1 1) ) 0 k是是kA的的特特征征值值（k是是任任意意常常数数） ； ( (2 2) ) m0 是是mA的的特特征征值值（m是是正正整整数数） ； ( (3 3) ) 当当A可可逆逆时时, ,00 , ,10 是是1 A的的特特征征值值. . 且且 仍然是矩阵仍然是矩阵kA、mA、1 A的相应于特征值的相应于特征值0 k、m0 、10 的特征向量。的特征向量。 0 A(3)()( 011 AAA,10 A, 10 A即即. 101 A20例例3设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值

12、， 是是相相应应的的特特征征向向量量, , ,)(10ssxaxaaxp 多项式多项式则则)(0 p是是矩矩阵阵多多项项式式)(Ap的的特特征征值值， 仍仍为为相相应应的的特特征征向向量量。 证略证略例如例如, ,矩阵矩阵A的有一个特征值为的有一个特征值为2,2,则则 EAA323 有一个特征值有一个特征值 7.例例4证证 A, 22 A而而AA 2， 2， ,)( 2 ,0 2 .1 0 或或幂等矩阵幂等矩阵若若AA 2, ,则则A的的特特征征值值为为0 0 或或1 1。 21例例3设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量, , ,)(10ssxaxaaxp

13、 多项式多项式则则)(0 p是是矩矩阵阵多多项项式式)(Ap的的特特征征值值， 仍仍为为相相应应的的特特征征向向量量。 证略证略例如例如, ,矩阵矩阵A的有一个特征值为的有一个特征值为2,2,则则 EAA323 有一个特征值有一个特征值 7.例例4幂等矩阵幂等矩阵练习练习:若若EA 2, ,则则A的的特特征征值值为为1 或或1 。 若若AA 2, ,则则A的的特特征征值值为为0 0 或或1 1。 22若若矩矩阵阵A可可逆逆，且且特特征征值值为为s ,21，求求A的的伴伴随随矩矩阵阵 A的的特特征征值值。 例例5解解EAAA , 1 AAA由性质由性质4,4, A的的特特征征值值为为 ., 2

14、, 1 ,niAi 23四、特征多项式的性质四、特征多项式的性质 n阶矩阵阶矩阵)(ijaA 的特征多项式的特征多项式 nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)( 的的最最高高次次项项必必在在 )()(2211nnaaa 中出现中出现,其其余余的的项项 的的次次数数最最高高是是2 n， 故有故有,)()(12211 nnnnaaaf 而而常数项常数项,)1()0(AAfn 所以所以.) 1()()(12211Aaaafnnnnn 24.) 1()()(12211Aaaafnnnnn 另一方面另一方面, ,设矩阵设矩阵A的特征值是的特征值是s ,21, ,则则 )()()(21nf ,)1()(21121nnnnn 比较系数得比较系数得性质性质4 4; )1(11 niiiniia . )2(1 niiA niiia1称称为为A的的迹迹，