易拉罐形状和尺寸的最优设计

1、易拉罐形状和尺寸的最优设计 报告人：刘璐 201231208 摘要 易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。 对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。 对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型 ),2(2)(2rrvrdrs 由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：000),(.),(min2hrvhrhrgtshrs 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 对问题三，在易拉罐

2、基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 圆台面积用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=5.07最小。结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 关键词：易拉罐 最优设计 22222229( )()()()vs rrRrRrrrRR 一、问题的提出 每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述问题：1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可

3、口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。2：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。二、基本假设1本文研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，不考虑具体的用料（假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。2易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。3易拉罐的基本构造为“两片罐”。4实际测量允许有一定的误差。

4、(对不同问题的研究再作补充假设)。5. 不考虑压强三模型的假设与求解问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表： 常见易拉罐尺寸（mm） 问题二 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设：在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体；假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍；体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。 2. 符号说明： h：易拉罐的高；r：易拉罐的上下底半径；d：易拉罐金属板的厚度；V：易拉罐的体积；D：易拉罐上下底直径。3问题分析与模型在本问题中，易拉罐的最优设计着眼于每个易拉罐用料最少。因此需要考虑易拉罐的形状、尺寸和厚度，已假设易拉罐顶

5、部厚度是侧面厚度的3倍。 因此一个易拉罐所需材料为：侧面的材料+底面的材料+顶部的材料 即 假设易拉罐的体积V一定 则所需材料为22232(2 )srhdr dr drd hr2vr h2( )2(2 )(0,)vs rrdrrr 模型求解，用微积分方法 令 ，解得 。 讨论当 时， ； 当 时， ； 因此 是 的极小值，而 没有其它极值点， 故 是 的最小值点。 2( )2(4 )vs rdrr( ) 0s r 34vr34vr( )0s r 34vr( )0s r 34v(0,)r34vr ( )s r( )s r 此时，易拉罐的直径 易拉罐的高 4.结果分析 上述模型及其求解得到的结论是

6、：在正圆柱体易拉罐体积一定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，（比例2：1.06），其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统一鲜橙多等其比例都如此。又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。3224vDr23322(4 )4424vvvhrDrv问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚度是其他部分厚度的3倍”。这是由实测数据得到，并认

7、为是易拉罐开口原理（即开口边缘切口，便于拉开），要求顶盖有一定的厚度，现去除此假设，做一般地研究。 1.补充假设：假设易拉罐是一个正圆柱体；假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同（如图2）。2.符号说明： r：易拉罐的半径； h：易拉罐的高； v：易拉罐内体积（容积）； sv：易拉罐所用材料的体积； b：易拉罐除顶盖外的厚度； ：顶盖厚度参数，即顶盖厚度 。3.问题分析与模型由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料b 将上式化简，有 作简化，因为 ，则 很小，所以可将带

8、 的项忽略。 有 记 （v是已知的，即罐容积一定）。 得数学模型 2222sv=( () - r )(h+(1+ )b)+b rrbb r 2223( , )2(1)2(1)(1)sv r hrhbr brbh bb br23,bb23,bb2( , )( , )2(1)sv r hs r hrhbrb2( ,)g r hr hvmin ( , )s r h2( , )0.00g r hr hvstrh 4.模型求解 由约束条件 ，得 ，代入目标函数 令 得 又因为 所以 为最小值点。 又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。2( , )0grhrh v 2vhr22( , ( )(1)vs

9、 r h rbrr322(1)0bsrvr 3242 (1)0(0)vsbrr 3(1)vr 3(1)vr 又由于 则由对问题二的前一解的结论， 得 ， 结论 ： 。 5.结果分析 易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（ ）与我们对355ml可口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。 问题三 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： 在本问题中假设易拉罐如图3所示，即上面是正圆台，下面是正圆柱体。2332(1)()(1)(1)(1)vvvhrrv 4hr4133 2.符号说明 R：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）；r：易拉罐正圆台上底半径；h1：易拉罐正圆柱体高；V

10、1：易拉罐正圆柱体容积；h ：易拉罐正圆台高；V：易拉罐正圆台容积。 3.问题分析与模型 因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱体部分确定。所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。以常见的可口可乐等355ml易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=35ml.于是问题三转化为，已知易拉罐上部正圆台体积V一定，底半径R一定时，其上底半径r和高h为何值（或r与h比例是多少）正圆台的表面积最小，如图4： 求正圆台的面积得模型

11、： 正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积 用数学软件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm）， 得： 当r=1.467cm,h=1.93cm时， 正圆台表面积最小值s=45.07（ ）2222222222222()()1()33()9()()()SrrRhRrVh rrRRVhrrRRvrrRRrrrRR即代 入 有S=2c m结论：常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是：总高度与底直径之比为2：1， 正圆台的高与上底直径之比约为2：3（即h：2r2：3），相应易拉罐上下底直径之比为 。4.结果分析上述结果是不考虑其他因素，仅就易拉罐形状

12、和尺寸变化，考虑其基本用料最省的数学结论，对实际易拉罐的设计有一定参考意义。但上述结果与现今实际的易拉罐尺寸有出入，以可口可乐等355ml易拉罐为例，其r=2.9cm h=1.2cm。我们分析这种差异的原因是易拉罐的实际设计必须要考虑形状和尺寸以外的其他各种因素。加工工艺：可口可乐等铝制易拉罐是“两片”构成（即正圆柱体侧面及底为一部2 :21:2rR分，上密封盖为一部分，分别简称为“罐体”和“封盖”）。将铝材罐体缩口形成上部圆台部分，为了使“封口盖”能扣紧“罐体”。圆台侧面的坡度（斜率）有一定要求（如斜率 0.4），即为了封口盖的工艺要求，易拉罐上部侧面的（坡度）不能过小，（按数学优化计算则）。同样是加工工艺的要求，若r较小，较小，即圆台侧面坡度小，则从圆罐上口“缩口”成圆台形时，此加工也增加难度（如容易起皱）。外形美观：按上述数学