概率论与数理统计+连续型随机变量

1、 波松分布是一种可以用来描述和分析随机地波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位空间或发生在单位空间或 时间里的时间里的稀有事件稀有事件的概率分的概率分布。要观察到这类事件，样本含量布。要观察到这类事件，样本含量 n 必须很大必须很大 。 在生物、医学研究中，服从波松分布的随机在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量是常见的。如，变量是常见的。如， 一定畜群中某种患病率很一定畜群中某种患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数，低的非传染性疾病患病数或死亡数， 畜群中遗畜群中遗传的畸形怪胎数，传的畸形怪胎数， 每升饮水中大肠杆菌数，计每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，数器小方格

2、中血球数， 单位空间中某些野生动单位空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分布的。物或昆虫数等，都是服从波松分布的。 概率论与数理统计概率论与数理统计泊松分布的定义泊松分布的定义 ).(,!,PXX.kkekXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取0210210 概率论与数理统计概率论与数理统计v例例1111 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地每年撰写此类文章的篇

3、数服从泊松分布P(6),那么明年至多有一篇此类文章的概率是多少？概率论与数理统计概率论与数理统计泊松定理泊松定理 ekkXPknpppCkXPpnBXknnnknnknknn!lim,lim)(),(有有则则对对任任意意非非负负整整数数且且满满足足设设01概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计二项分布与二项分布与Poisson近似的比较近似的比较 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面的表告诉我们上面的表告诉我们概率论与数理统计概率论与数理统计例例12 12 (人寿保险问题)设有10,00010,000个人参加了人寿保险,每年保费200200

4、元，死亡赔偿金100,000100,000元。若他们的死亡率为0.0010.001,求保险公司获利不少于500,000500,000元的概率是多少? 保险公司的收入是 10000200=2000000 元元解解 设X表示这一年内的死亡人数,则(10000,0.001)XB概率论与数理统计概率论与数理统计 保险公司这一年里赔出100000X 元.假定 2000000-100000X500000,即X 15.由泊松定理，得由泊松定理，得10000 0.00110,PX1510150100.951.!kkek1510000100000(15)0.001(1 0.001)0.9513.kkkkP XC

5、概率论与数理统计概率论与数理统计v例例13 13 设厂里有8080台同类型设备，各台工作相互独立的，每台设备发生故障的概率都是0.010.01，且每个工人同时只能维修一台设备。现要配备工人共同负责维护8080台设备，问至少需要几个维修工人才能以9595以上的概率保证设备发生故障可得到及时修理？概率论与数理统计概率论与数理统计v问题问题2.1 2005年全国新生婴儿大约19,000,000，如何描述他们的体重? x/PxO46 758 9 10图ax/PxO46 758 9 10b图x( )p xO46 758 9 10图c 密度函数密度函数概率论与数理统计概率论与数理统计vx轴表示体重（单位：

6、500g),y轴表示单位长度上的频率。v称X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量连续型随机变量，如果对任意的ab ，都有(1) ( )0f x ()( )baP aXbf x dxv密度函数f(x)有两条基本性质：(2)( )1.f x dx概率论与数理统计概率论与数理统计v连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布列的性质非常相似，但是，密度函数不是密度函数不是概率！概率！x( )p xO46 758 9 10图cv对于连续随机变量X，有()( )0.aaP Xaf x dx概率论与数理统计概率论与数理统计v例例1 1 设X是连续型随机变量，其密度函数为3,01;( )0,Axxf

7、x其他。求常数A的值。概率论与数理统计概率论与数理统计v例例2 2 连续型随机变量X的密度函数为,0;( )0,xexf x其他。 求 (1)常数 ; 概率论与数理统计概率论与数理统计1 1(, )2 2(2)X落在区间 内的概率。v例例3 3 已知随机变量X的密度函数为,01;( )2,12;0,xxf xxx其他。1322XP().求概率论与数理统计概率论与数理统计v称函数 为随机变量X的分分布函数布函数，记为X( )F xP Xx( ).F xv对任意随机变量X，都有()( )( ).F aXbF bF av对连续型随机变量X，其分布函数为( )()( ).xF xPXxf t dt 概

8、率论与数理统计概率论与数理统计v若f(x)在x处连续，则( )( ).F xf xv例例4 4 设X是连续型随机变量，其密度函数为21,11;( )10,xf xx 其他。 求X的分布函数。概率论与数理统计概率论与数理统计v例例5 5 已知随机变量X的密度函数为,01;( )2,12;0,xxf xxx其他。求X的分布函数。概率论与数理统计概率论与数理统计v例例6 6 设连续型随机变量X的密度函数为 1 |,11;( )0,xxf x 其他。 求X的分布函数。 概率论与数理统计概率论与数理统计v1)单调非减性单调非减性：1212( )().xxF xF x概率论与数理统计概率论与数理统计v2)

9、有界性有界性：()lim( )0,()lim( )1.xxFF xFF x v3)右连续性右连续性：即：即00lim( )().xxF xF xv例例7 7 问A为何值时，,0;( )0,0.xAexF xx F(x)是一随机变量X的分布函数？概率论与数理统计概率论与数理统计v例例8 8 服从柯西分布的随机变量的分布函数是( )arctan .F xABx 求(1)常数A,B； (2)X的密度函数。概率论与数理统计概率论与数理统计v例例9 9 设随机变量X具有以下分布律X012P0.10.60.3求X的分布函数。)(xF0112概率论与数理统计概率论与数理统计v设离散型随机变量X的分布律为1p

10、nxXP1x2p2xnp其分布函数为概率论与数理统计概率论与数理统计1;11212231110,;,;(),.ninnixxpxxxppxxxF Xpxxxv例例1010 已知离散型随机变量X的分布函数为：0,1;1,10;4()3,01;41,1.xxF Xxx 求X的分布律。概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计( ).iiiixxxxF xP XxP Xxp( )()( ).xF xP Xxf t dtv连续型随机变量的分布函数：v连续型随机变量的分布函数：在离散场合，求有关事件概率时，用分布律比在离散场合，求有关事件概率时，用分布律比分布函数方便；在连续场合，求在某区间取值分布函数方便；在连续场合，求在某区间取值的概率时，用分布函数比密度函数更方便。的概率时，用分布函数比密度函数更方便。v综合例综合例1 1 某种型号电子管的寿命X(以h计)具有以下的密度函数：概率论与数理统计概率论与数理统计21000,1000;( )0,xf xx其他。现有一大批这类电子管，从中购买5只，问至少有2只寿命大于1500 h的概率是多少？v综合例综合例2