数值分析概论

1、数值分析方淼数值分析什么是数值分析数值分析中的误差误差定性分析与避免误差危害算法设计的技术 提问：数值分析是做什么提问：数值分析是做什么用的？用的？数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 计算机计算机近似解近似解1.1什么是数值分析数值分析也称计算数学是数学的一个分支解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算。 例如: 某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。 为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后再整体平滑。 编程序,形成

2、一个大型程序,上机进行计算。1.1什么是数值分析数值分析主要内容：计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型论软件包)。1.数值代数:求解线性和非线性方程的解法,分直接方法和间接方法。2.插值和数值逼近。3.数值微分和数值积分。4.常微分方程和偏微分方程数值解法。1.1什么是数值分析数值分析的特点：面向计算机 可靠的理论分析良好的计算复杂性数值实验1.2数值分析中的误差误差的来源和分类模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。测量误差: 测量已知参数时

3、,数据带来的误差。截断误差: 在设计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。例1.1截断误差/ /* * Truncation Error Truncation Error * */ /用Taloy多项式近似( )f x( )2(0)(0)(0)( )(0)1!2!nnffff xfxxxn( )2(0)(0)(0)( )(0)1!2!nnfffp xfxxxn其截断误差/ /* * Trunca

4、tion Error Truncation Error * */ /为(1)1( )( )( )( ), 0| | 6 6 log6 log6，即，即 n n 6 6，应，应取取 * * = 3.14159= 3.14159。3 3 函数的误差估计函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/问题问题：对于：对于 y y = f = f ( (x x) )，若用，若用 x x* * 取代取代 x x，将对，将对y y 产生什么影响？产生什么影响？分析分析：e e* *( (y y) = ) = f f ( (x x* *) ) f f ( (x x) )

5、e e* *( (x x) = ) = x x* * x xMean Value Theorem= = f f ( )()(x x* * x x) )x x* * 与与 x x 非常接近时，可认为非常接近时，可认为 f f ( ) ) f f (x x* *) ) ，则有：，则有：| |e e* *( (y y)| )| | | f f (x x* *)|)| |e e* *( (x x) )| |即：即：x x* *产生的误差经过产生的误差经过 f f 作用后被放大作用后被放大/ /缩小了缩小了| | f f (x x* *)|)|倍。故称倍。故称| | f f (x x* *)|)|为为放

6、大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 绝对条件数绝对条件数 /* absolute condition number */.3 Error Estimation for 3 Error Estimation for FunctionsFunctions*)()(*| )(|xfyey*er *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相对误差条件数相对误差条件数 /* relative condition number*/ f f 的条件数在某一点是的条件数在某一点是小小 大大，则称，则称

7、f f 在该点是在该点是好条件的好条件的 /* well-conditioned */ 坏条件的坏条件的 /* ill-conditioned */。注：关于多元函数注：关于多元函数 的讨论，请参阅的讨论，请参阅教材第教材第5 5、6 6页。页。).,(21nx,x,xfy 3 Error Estimation for 3 Error Estimation for FunctionsFunctions例例: :计算计算 y y = ln = ln x x。若。若 x x 20 20，则取，则取 x x 的几位有效数字可保证的几位有效数字可保证 y y 的相对误的相对误差差 0.1% ? 0.1

8、% ?*ln| )(*| )(*|*)(*)(*| )(|xxexexyxyxy*errr 解：设截取解：设截取 n n 位有效数字后得位有效数字后得 x x* * x x，则，则估计估计 x x 和和 y y 的相对误差上限满足近似关系的相对误差上限满足近似关系)(*ln)(*yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么办啊？不知道怎么办啊？x x 可能是可能是20.#20.#，也可，也可能是能是19.#19.#，取最坏情，取最坏情况，即况，即a a1 1 = 1 = 1。 n n 4 4例：计算例：计算 ，取，取 4 4 位有效，即位有效，即 , , 则相对误差则相对误差

9、9820ln)8920ln(. %.1010029820ln9820ln8920ln5 1.3误差定性分析与避免误差危害算法的数值稳定性病态问题与条件数避免误差危害4 4 几点注意事项几点注意事项 /* Remarks */1. 1. 避免相近二数相减避免相近二数相减例：例：a a1 1 = 0.12345 = 0.12345，a a2 2 = 0.12346 = 0.12346，各有，各有5 5位有效数字。位有效数字。 而而 a a2 2 a a1 1 = 0.00001 = 0.00001，只剩下，只剩下1 1位有效数字。位有效数字。 几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：;xxxx ;

10、1lnlnln xxx当当 | | x x | 1 | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxex4 Remarks4 Remarks2. 2. 避免小分母避免小分母 : : 分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出 /* over flow */3. 3. 避免大数避免大数吃吃小数小数例：用单精度计算例：用单精度计算 的根。的根。010)110(992 xx精确解为精确解为110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算机内，10109 9存为存为0.10.1 10101010，1 1存为存为0.10.1 10101

11、 1。做加法时，两加数的指数先向做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 1 的指数部分须变为的指数部分须变为10101010，则：，则：1 = 1 = 0.0.000000000000000001 01 10 101010，取单精度时就成为：，取单精度时就成为： 10109 9+1=0.10000000+1=0.10000000 10101010+0.00000000 +0.00000000 10101010=0.10000000 =0.10000000 10101010大数大数吃吃小数小数024,102422921 aacbbxaacbbx4 Remarks4 Remarks算法算法2 2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 101