数值分析复习题(钟尔杰)

1、数值分析复习题复习题 1/16Ex1Ex1.证明方程证明方程 1 x sin x = 0 在区间在区间0，1上有一上有一根根。使用二分法求误差不大于使用二分法求误差不大于0.510-4的根需二分的根需二分多少次？多少次？ Ex2. .设设x* 是非线性方程是非线性方程 f(x) = 0 的单根的单根，证明在牛证明在牛顿迭代法中，有顿迭代法中，有 )(2)()(lim*2*1xfxfxxxxnnn Ex3.设设a为正实数为正实数，试建立求试建立求( (1/a)的牛顿迭代公式的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式产生的数列产生的

2、数列 xn 的收敛性的收敛性 .Ex4. 分析下列方程分析下列方程，确定方程的全部隔根区间确定方程的全部隔根区间（1）x sin x = 1；（；（2）sin x e -x =0；（3）x = tan x；（；（4）x2 e-x =0。 Ex5. 对于二元方程对于二元方程G(x，y)=0，已知已知（x0，y0）满满足方程。如果，则根据隐函数存在定理足方程。如果，则根据隐函数存在定理，在点在点x0附附近有函数近有函数y =y(x)，对于接近于对于接近于x0的自变量的自变量x，试构造试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。 Ex6.6.设割线法迭代数列设割线法迭代

3、数列 xn 收敛到非线性方程收敛到非线性方程 f(x) = 0 的单根的单根x*。利用牛顿插值公式计算利用牛顿插值公式计算)()(lim*1*1xxxxxxnnnn 2/16Ex6.证明对任意的证明对任意的x00, 由迭代格式由迭代格式 ( n = 0, 1, )产生的迭代序列产生的迭代序列 xn, 均收敛于均收敛于 - 。nnnxxx121 2Ex7. .设数列设数列 xn 具有一阶收敛速度具有一阶收敛速度, ,其极限值为其极限值为x*，试利用近似关系试利用近似关系 *121xxxxxxxxnnnn 推导加速收敛公式推导加速收敛公式nnnnnnxxxxxxx 1221222)(*3/16Ex

4、8. .对于复变量对于复变量 z = x + i y 的复值函数的复值函数 f(z)，应用牛应用牛顿迭代公式求方程顿迭代公式求方程f(z) = 0 的复根时的复根时，有迭代公式有迭代公式 )()(1nnnnzfzfzz 为了避开复数运算为了避开复数运算, ,令令 zn = xn + i yn, f(zn) = An+ iBn，f(zn) = Cn+iDn 试证明用于计算的公式试证明用于计算的公式 221DCDBCAxxnnnnnn 221DCCBDAyynnnnnn 4/16)()()()(111nnnnnnnxfxfxfxxxx Ex9.确定求解方程确定求解方程 f(x) = 0 的割线法计

5、算公式的割线法计算公式(n = 0, 1, 2 , ) Ex10.证明矩阵证明矩阵A的谱半径与的谱半径与A的范数有如下关系的范数有如下关系(A) | A |其中其中，| A |为为A的任何一种算子范数的任何一种算子范数。的收敛阶的收敛阶5/16 3231532223522121A 7554544354324321BEx 11. 对下列矩阵做对下列矩阵做LU分解分解 3332112121Ex 12 求上三角求上三角(下三角下三角)矩阵的条件数矩阵的条件数 10111221216/16Ex13. .对任意对任意x，yRn，利用向量范数的三角形不利用向量范数的三角形不等式证明等式证明： |yxyx

6、Ex14. .设设 XR , ,X = (x1，x2，xn )T，求证求证 |)|(lim/11XxpnipipFFAAAn|12 Ex15.设设X是是n维向量维向量,A是是nn阶矩阵阶矩阵.求证求证: 7/16Ex17. .有方程组有方程组Ax = b, ,其中其中A为对称正定阵为对称正定阵, ,且有且有迭代公式迭代公式)()()()1(kAXbXXkk 讨论使迭代序列收敛的讨论使迭代序列收敛的 的取值范围的取值范围.Ex16. .对对n 阶矩阵阶矩阵A, ,设设A的顺序主子式都不为零的顺序主子式都不为零, ,试试证明消元过程中出现的证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质矩阵有

7、如下性质 TTememIFF22111211 8/16Ex18. .设有方程组设有方程组 Ax = b，其系数矩阵主对角元其系数矩阵主对角元 aii 0 ( i = 1，2，n )证明解方程组的证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是迭代法收敛的充要条件是 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa的根满足的根满足| | | | 1。 9/16Ex 19. 设设A是对称矩阵是对称矩阵，将将A分裂为分裂为A = D L U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为迭代格式的向前和向后两种形式分别为x(k+1) = x(k) + (D L )-1(b A

8、x(k) )x(k+1) = x(k) + (D U )-1(b A x(k) )如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有x(k+2) = x(k) + M-1(b A x(k) )试证明试证明：M-1= (D U)-1D(D L)-1。 Ex 20 设设h = 1/(n+1)，分析分析n阶矩阵的阶矩阵的Jacobi迭代矩迭代矩阵特征值阵特征值 22222112112112hhhhA10/16Ex21. . 求经过求经过A( (0，1) )，B( (1，2) )，C( (2，3) )三个样三个样点的插值多项式点的插值多项式 Ex 22. 已知函数已知函数y

9、= f(x)的数据如下表的数据如下表x 1 01y-101 y 0 确定三次插值多项式确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差及其插值误差R(x)210)4(3)(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR Ex23.求证求证:两点两点Hermite插值的误差插值的误差11/16Ex24已知函数已知函数f(x) 在三个相异结点在三个相异结点 x0，x1，x2，处处的函数值的函数值 y0，y1，y2，且函数在点且函数在点x1处的导数值为处的导数值为m1，推导三次插值多项式推导三次插值多项式P(x)及其插值余项及其插值余项R(x)的表达式的表达式12/16Ex 25. .已知实验数据如下已知实验

10、数据如下： x 1 2 3 4 y 10 30 50 80求二次多项式拟合函数求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 26 利用数据表利用数据表 t2 1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2求线性拟合函数求线性拟合函数P(t) = a0 + a1t 的常数项系数的常数项系数a0。 Ex27.推导左矩形求积公式推导左矩形求积公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba Ex28. 求复合中矩形公式求复合中矩形公式的截断误差的截断误差 10)5 . 0()(njbahjafhdxxf13/16Ex29.取取h=(b a)/3，令令x0= a，xj= a + j

11、h （j =0，1，2，3）。）。利用两点插值公式求下面开型数值求积利用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数公式的系数A1、A2 )()()(2211xfAxfAdxxfba Ex30.给定积分给定积分当要求误差小于当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时时用复合梯形公式计算时, 需要需要计算多少次函数值？计算多少次函数值？ dxxex 31sinEx31. 验证验证，复合梯形公式与复合复合梯形公式与复合Simpson 公式之公式之间有如下关系间有如下关系43122mmmTTS Ex32.试推导数值微分公式试推导数值微分公式 )2()(8)(8)2(121)(00000hxfhxfhx

12、fhxfhxf 的截断误差的截断误差。 14/16Ex34.证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程y=2a x试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明15/16Ex33. . 设函数设函数f(x)在区间在区间a，b上具有五阶连续导函上具有五阶连续导函数数。取取h=(b a)/n，令令x0= a，xj= a + jh。求证，下面求证，下面数值二阶导数的差分格式具有数值二阶导数的差分格式具有4 4阶精度阶精度 21111)()(2)()()(10)(121hxfxfxfxfxfxfjjjjjj Ex 35. Adamas公式求一阶常微分方程公式求一阶常微分方程，两步显格式两步显格式和隐格式和隐格式yn+2 = yn+1 + h3f(xn+1，yn+1) f(xn，yn)/2；yn+2=yn+1+h5f(xn+2, yn+2)+8f(xn+1, yn+1) f(xn, yn)/12Ex35.初值问题有解初值问题有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取若取 xn = nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明为欧拉方法得到的数值解，试证明y(xn) yn = 0.