数值积分与数值微分

1、1第四章数值积分与数值微分计算方法 基本概念基本概念 Newton-Cotes 公式公式2本章内容本章内容n 数值积分数值积分l 基本概念基本概念l Newton-Cotes 求积公式求积公式 l 复合求积公式复合求积公式l Romberg 求积公式求积公式l Gauss 求积公式求积公式l 多重积分多重积分n 数值微分数值微分3本讲内容本讲内容l 数值积分的必要性数值积分的必要性l 代数精度代数精度l 插值型求积公式插值型求积公式l 收敛性与稳定性收敛性与稳定性n 数值积分基本概念数值积分基本概念l 公式介绍公式介绍l 代数精度代数精度l 余项表达式余项表达式n Newton-Cotes 公

2、式公式4数值积分数值积分( )( ) dbaI ff xx l 微积分基本公式：微积分基本公式：baaFbFxxf)()(d)(3) f (x) 表达式未知表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表，只有通过测量或实验得来的数据表l 但是在许多实际计算问题中但是在许多实际计算问题中(2) F(x) 难求！难求！甚至有时不能用初等函数表示。甚至有时不能用初等函数表示。 如如21( )sin , xf xxex (1) F(x) 表达式较复杂表达式较复杂时，计算较困难。如时，计算较困难。如61( )1f xx 5几个简单公式几个简单公式l 矩形公式矩形公式( )d() ( )baf xxba f

3、a ( )d()2baabf xxba f ( )d() ( )baf xxba f b l 梯形公式梯形公式 1( )d()( )( )2baf xxbaf af b l 抛物线公式抛物线公式1( )d()( )4( )62baabf xxbaf aff b ( )d() ( )baf xxba f q 基本思想：基本思想：( , )a b 6一般形式一般形式数值积分公式的一般形式数值积分公式的一般形式0( )d()nbiiaif xxA f x 求积节点求积节点求积系数求积系数机械求积方法机械求积方法l 将定积分计算转化成被积函数的将定积分计算转化成被积函数的函数值函数值的计算的计算l 无

4、需求原函数无需求原函数l 易于计算机实现易于计算机实现一般地，用一般地，用 f(x) 在在 a, b 上的一些离散点上的一些离散点 a x0 x1 xn b 上的函数值的加权平均作为上的函数值的加权平均作为 f ( ) 的近似值，可得的近似值，可得7代数精度代数精度定义定义：如果对于所有次数不超过：如果对于所有次数不超过 m 的多项式的多项式 f (x) ，公式，公式精确成立，但对某个次数为精确成立，但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称的多项式不精确成立，则称该求积公式具有该求积公式具有 m 次代数精度次代数精度0( )d()nbiiaif xxA f x l 将将 f (x)

5、= 1, x, x2, , xm 依次代入，公式精确成立依次代入，公式精确成立;l 但对但对 f (x) = xm+1 不精确成立。即：不精确成立。即：22110 d2mmnbmmiiaibaA xxxm ( k = 0, 1, , m )代数精度的验证方法代数精度的验证方法110 d1kknbkkiiaibaA xxxk 8举例举例例：例：试确定试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度0( )d()nbiiaif xxA f x 解：解：将将 f (x) 1, x, x2, , xn 代入求积公式，使其精确成立，得代入求积公式，使其精确

6、成立，得 01 nAAAba 2223300111()3nnA xA xA xba 1100111()1nnnnnnnA xA xA xban 2200111()2nnA xA xA xba 存在唯一解：存在唯一解：01, , , nAAA 所以求积公式为：所以求积公式为： 0( )d()nbiiaif xxA f x 具有至少具有至少 n 阶代数精度阶代数精度9举例举例例：例：试确定系数试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。代数精度，并求出此求积公式的代数精度。10121( )d ( 1)(0)(1)f xx

7、A fA fA f 解：解：将将 f (x)1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得代入求积公式，使其精确成立，可得 1101222023302() /12 () / 20 () / 32/ 3AAAbaAAbaAAba 解得解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为。所以求积公式为3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易验证该公式对易验证该公式对 f (x)x3 也精确成立，但对也精确成立，但对 f (x)x4 不精不精确成立，所以此求积公式具有确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。次代数精度。10举例举例例：例：(教材教材100页页

8、) 试确定下面求积公式中的系数试确定下面求积公式中的系数，使其具使其具有尽可能高的代数精度。有尽可能高的代数精度。10100( )d (0)(1)(0)f xxA fA fB f 将将 f (x)x3 代入，等号成立，故公式具有代入，等号成立，故公式具有 2 次代数精度。次代数精度。解：解：将将 f (x)1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得代入求积公式，使其精确成立，可得 011011 0.51/ 3AAABA 解得解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为。所以求积公式为10211( )d (0)(1)(0)336f xxfff 11代数精度代

9、数精度q 容易容易验证：验证：l 左矩形公式左矩形公式 和和 右矩形公式右矩形公式 具有具有 零次零次 代数精度代数精度l 中矩形公式中矩形公式 和和 梯形公式梯形公式 具有具有 一次一次 代数精度代数精度q 特别地，任意特别地，任意具有具有 m ( 0 ) 次代数精度的次代数精度的求积公式求积公式一定满足一定满足：010 = niniAAAAba 12插值型求积公式插值型求积公式设求积节点为：设求积节点为：a x0 x1 xn b 若若 f (xi) 已知，则可做已知，则可做 n 次多项式插值：次多项式插值：0( ) ()nniiiLxl x f x 其中其中( ) dbiiaAl xx 插

10、值型求积公式插值型求积公式00( )( ) d( )d d()()bniiannbbiiaaiif xxxf xfxxxAxLl 误差：误差： ( )( ) d( ) dbbnnaaR ff xLxxRxx (1)01( )( )()()()(1)!nnnfRxxxxxxxn 其中其中13插值型求积公式插值型求积公式当当 f (x) 1, x, x2, , xn 时，有时，有即公式精确成立即公式精确成立( )0nRx 0R f ( )d d( )bbaanLxf xxx 性质性质：插值型求积公式具有至少：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度次代数精度 定理定理：下面的求积公式具有：下面的求积

11、公式具有至少至少 n 次代数精度次代数精度的的充要条件是该充要条件是该公式是插值型公式是插值型的的0( )d()nbiiaif xxA f x 证明：板书证明：板书14求积公式余项求积公式余项性质性质：若求积公式的代数精度为：若求积公式的代数精度为 m，则余项为，则余项为 (1)0 ( )d()( )nbmiiaiR ff xxA f xKf 其中其中 K 为待定系数，但与为待定系数，但与 f (x) 无关无关( , )a b 如何确定如何确定 K 的值？的值？l 将将 f (x) = xm+1 代入可得代入可得110d(1)!nbmmiiaixxA xKm 22101(1)!2mmnmiii

12、baKA xmm 15举例举例例：例：试确定梯形公式的余项表达式试确定梯形公式的余项表达式解：解：梯形公式梯形公式( )d( )( )22bababaf xxf af b 代数精度为代数精度为 1，故，故22101(1)!2mmnmiiibaKA xmm 332212!322bababaab 3112ba 所以梯形公式的余项为所以梯形公式的余项为 31 ( )12R fbaf ( , )a b 16举例举例例：例：试确定下面的求积公式的余项表达式试确定下面的求积公式的余项表达式10211( )d (0)(1)(0)336f xxfff 解：解：由前面的计算可知，该公式的代数精度为由前面的计算可

13、知，该公式的代数精度为 2，故，故22101(1)!2mmnmiiibaKA xmm 所以该公式的余项为所以该公式的余项为(3)1 ( )72R ff (0,1) 1111003! 4372 17收敛性收敛性定义定义：如果求积公式：如果求积公式 满足满足则称该求积公式是则称该求积公式是 收敛的收敛的。0( )d()nbiiaif xxA f x 设求积节点为：设求积节点为：a x0 x1 0，若存在，若存在 0，使得当，使得当 ( i = 0, 1, , n) 时，有时，有 则称该求积公式是则称该求积公式是 稳定的。稳定的。00()nniiiiiiA fA f x ()iiff x 定理定理：

14、若：若 Ai 0, i = 0, 1, , n，则下面的求积公式是稳则下面的求积公式是稳定的定的0( )d()nbiiaif xxA f x 证明：板书证明：板书19Newton-Cotes 公式公式基于等分点的插值型求积公式基于等分点的插值型求积公式l 积分区间：积分区间：a, bl 求积节点：求积节点： xi = a + i h bahn l 求积公式：求积公式：( )0( ) d()()nbniiaif xxbaCf x ( )( )1( ) dbnniiaClxxba 00 dnnkk ihtktbaik xath 001( 1)() d!n innkk itktn ini Cotes

15、 系数系数Newton-Cotes 求积公式求积公式20Newton-Cotes 公式公式21,21)1(1)1(0 CCn = 1:( ) ( )( )2babaf x dxf aTf b 代数精度代数精度 = 1梯形公式梯形公式代数精度代数精度 = 3n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC2( ) ( )4 ()( )6ba babaf x dxf aff bS 抛物线公式抛物线公式Simpson公式公式n = 4:01234( )7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf xC 科特斯科特斯 (Cotes) 公式

16、公式4/ )( ,abhhiaxi代数精度代数精度 = 521Cotes 系数表系数表l Cotes 系数与被积函数系数与被积函数 f (x) 及积分区间及积分区间 a, b 无关无关l Cotes 系数可通过查表获得系数可通过查表获得22N-C 公式公式q Cotes 系数具有以下特点：系数具有以下特点：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniCC(3) 当当 n 8 时，出现负数，时，出现负数，稳定性得不到保证稳定性得不到保证。而且。而且当当 n 较大时，由于较大时，由于Runge现象，现象，收敛性也无法保证收敛性也无法保证。q 当当 n 7 时，时，Newton-Cotes

17、公式是稳定的公式是稳定的一般不采用高阶的牛顿一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式科特斯求积公式23N-C 公式代数精度公式代数精度定理定理：当：当 n 为偶数时，为偶数时，Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n+1 阶代数精度阶代数精度定理定理：n 阶阶 Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n 阶代数精度阶代数精度证：证：只要证明当只要证明当 n 为偶数时，公式对为偶数时，公式对 f (x)xn+1 精确成立。精确成立。xxxnffRniiband )( )!1()(0)1( d )(0 baniixxxx = a + t h200() d nnnihtit t = n - s d )()1(0021 nninnsinshfRfR0fR 1200( 1) d nnnnihsis 即即24N-C 公式余项公式余项l 梯形公式梯形公式 (n=1) 的余项的余项31 ()( )12R fbaf 22(1)101 ( ), (1)!2mmnmmiiibaR fKfKA xmm ( , )a b l Simpson公式公式 (n=2) 的余项的余项5(4)1 ( )1802baR ff ( , )a b l Cotes 公式公式 (n=4) 的余项的余项7(6)8 ( )9454baR ff ( , )a b 25作业作业1. 确定下列求积公式中