数列综合问题

1、 长沙县维汉实验中学 赵攀峰一、教材分析一、教材分析: 数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位. 考纲要求:“理解数列的概念, 了解通项公式的意义, 了解递推公式, 掌握等差数列, 等比数列的通项公式与前n项和公式, 并能解决简单的问题.” 教材中数列编排在函数内容之后, 因为数列是以正整数为自变量的一种特殊函数, 这样安排既有利于认识数列的本质, 也有利于加深和巩固对函数概念的理解. 数列综合以数列为引线和依托, 结合函数、方程、不等式、解析几何等知识, 题型新颖, 解法灵活, 能有效地考查学生的思维能力、创新意识和实践能力.、地位与作用、地位与作用、重点、难

2、点与关键、重点、难点与关键 根据高考考试说明的要求,结合对历届高考试题的分析, 本节内容的教学重点是: 利用数列的通项公式与前项和等有关知识为主要工具求解数列综合问题. 而与数列交汇的、呈现递推关系的综合性试题, 特别是与不等式的综合是教学的难点. 从教学实践来看, 学生对数列综合题存在畏难情绪, 总觉得难以掌握, 因此教学的关键是运用转化思想将问题转化成简单的、熟悉的问题来求解, 同时注意培养学生的良好的个性品质, 特别是排除万难的精神. 二、高考回顾二、高考回顾 “在知识的交汇点设置能力型问题”是指导高考命题的思想之一. 数列是高中数学知识结构的一个重要的交汇点. 数列综合题在每年高考中都

3、会重点考查.下面列表对近两年高考试题作分类统计, 统计如下表: 从上表可以看出, 2004年的15份理科试题中, 每套试题均有一道解答题. 其中处在压卷题位置的有8道; 2005年的16份理科试题中, 除广东卷外每套试题均有一道解答题, 其中处在压卷题位置的有5道. 由此不难得知, 数列解答题是高考命题必考的难度大的内容, 其命题热点是与不等式交汇的、呈现递推关系的综合性试题, 其中, 以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体, 有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点. 2004年年2005年年全国全国1分奇、偶项的递推数列的通项分奇、偶项的递推数列的通项等比数列的公比与

4、前等比数列的公比与前n n项和项和 全国全国2通项与前通项与前n 项和、等比数列的判定项和、等比数列的判定等比数列、等差数列的综合等比数列、等差数列的综合全国全国3数列通项、数列不等式的证明数列通项、数列不等式的证明等比数列、等差数列的综合等比数列、等差数列的综合全国全国4导数、数列求和与数列极限导数、数列求和与数列极限 北京北京抽象函数、数列通项与极限抽象函数、数列通项与极限等比数列的判定、数列极限等比数列的判定、数列极限 上海上海点列、等差数列、探索性问题点列、等差数列、探索性问题涉及两个数列的应用性问题涉及两个数列的应用性问题 天津天津函数迭代、数列的通项与极限函数迭代、数列的通项与极限

5、数列的求和、数列的极限数列的求和、数列的极限 重庆重庆数列不等式、数列项大小比较数列不等式、数列项大小比较数学归纳法、数列不等式数学归纳法、数列不等式 辽宁辽宁函数迭代中的数列不等式函数迭代中的数列不等式函数迭代、数列不等式证明函数迭代、数列不等式证明 山东山东同全国卷同全国卷1导数、等比数列的判定导数、等比数列的判定 江苏江苏数列前项的和、探索性问题数列前项的和、探索性问题数列不等式的证明数列不等式的证明 浙江浙江点列问题、等比数列的判定点列问题、等比数列的判定点列问题、等差数列的判定点列问题、等差数列的判定 福建福建涉及两个数列的应用性问题涉及两个数列的应用性问题递推公式、数列不等式递推公

6、式、数列不等式 湖北湖北递推数列的极限、数列不等式递推数列的极限、数列不等式数列不等式的证明、数列极限数列不等式的证明、数列极限 湖南湖南解析几何、递推数列的综合解析几何、递推数列的综合应用探索性问题、数列不等式应用探索性问题、数列不等式 广东广东三角函数中的等比数列问题三角函数中的等比数列问题 无无 江西江西同全国卷同全国卷1数列通项、数列不等式的证明数列通项、数列不等式的证明 三、数列综合问题类型及求解策略三、数列综合问题类型及求解策略 由于数列综合问题形式多变、思考性强、由于数列综合问题形式多变、思考性强、区分度高区分度高, 因此大多数同学解此类问题时思维因此大多数同学解此类问题时思维常

7、常受阻常常受阻, 甚至无从下手甚至无从下手, 下面我结合近几年下面我结合近几年的高考题的高考题, 就数列综合问题类型及解题策略作就数列综合问题类型及解题策略作一点探讨一点探讨. 1、数列各部分知识的综合、数列各部分知识的综合 求解策略求解策略 解纯数列综合题,要充分利用等差数列与等比数列的有关性质求解.本题的关键是注意到akn的双重身份既是等比数列的第n项, 又是等差数列的第kn项,先求出通项kn,再求出其前n项的和. 例1. 已知an为等差数列(公差d), an中的部分项组成的数列ak1,ak2,，akn,为等比数列，其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+kn 的值.例例2

8、. 已知函数已知函数 是定义在是定义在R上的不恒为零的函数上的不恒为零的函数, 且且对于任意的对于任意的 , 都满足都满足 若若 , 求证求证:数列数列 是等比数列是等比数列. )(xfRba,).()()(abfbafbaf)()2(, 2) 2(*Nnnfafnn na2 2、数列与函数的综合、数列与函数的综合 分析一分析一: 由于已知条件只有函数关系式和由于已知条件只有函数关系式和 的表达式的表达式, 要要求证数列求证数列 是等比数列是等比数列, 关键是求出关键是求出 , 可以尝试数可以尝试数学归纳法学归纳法.证法一证法一: 由已知可得由已知可得: 猜想猜想: , 用数学归纳法证明用数学

9、归纳法证明(略略).na na)2(nf,),(3)(),(2)()()(232afaafaafaafaafaf)()(1afnaafnn分析三分析三: 设法将设法将 转化为熟悉的数列转化为熟悉的数列.证法三证法三: 所以所以, 即即 是公差为是公差为 首项为首项为 的等差数列的等差数列.)2(nf,2)2 (2) 2 (2)2 (2)22 ()2 (1111nnnnnnfffff, 12)2(2)2(11nnnnffnnf2)2(, 1)21(2 f 分析二分析二: 将所给函数关系式适当变形将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点根据其形式特点 构造另一个函数构造另一个函数, 设法用此函数

10、求出设法用此函数求出 . 证法二证法二: 当当 时时, 由由 可得可得: 令令 则则 )(naf0ba)()()(abfbafbafbbfaafababf)()()(,)()(xxfxg).()()()()(nnnagaafbgagabg 求解策略求解策略 解数列与函数的综合题解数列与函数的综合题, 一般要一般要利用函数、数列的性质以及它们之间的相互利用函数、数列的性质以及它们之间的相互联系联系. 本题是一道已知抽象函数关系本题是一道已知抽象函数关系, 利用函利用函数迭代求证数列是等比数列的问题数迭代求证数列是等比数列的问题. 所提供的所提供的三种证法中三种证法中, 证法一思路自然证法一思路自

11、然, 但较为繁琐但较为繁琐; 证证法二技巧性强法二技巧性强; 证法三思维跨度大证法三思维跨度大, 但三种证但三种证法都体现了一个不变的事实法都体现了一个不变的事实: 充分应用已知条充分应用已知条件变形转化件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列根据其形式特点构造新的数列, 然后利用数列的性质求解然后利用数列的性质求解.3、数列与不等式的综合、数列与不等式的综合 法一法一: (数学归纳法数学归纳法) 当当n=1n=1时时, , 不等式成立不等式成立. .假设假设n=kn=k时时, , 成立成立. . 当当n=k+1n=k+1时时, , 即即n=k+1n=k+1时时, , 成立成立. .综上综上,

12、 , 可知可知 对一切正整数对一切正整数n成立成立., 11221a12 kak. 1) 1(21322122221kakaaakkkk1) 1( 21kak12 nan例例3. (2004年重庆卷年重庆卷)设数列设数列 满足满足 对一切正整数对一切正整数 成立；成立； na).3 , 2 , 1( ,1, 211naaaannn12) 1 (nan证明n.,), 2 , 1( ,)2(1并说明理由的大小与判断令nnnnbbnnab法二法二: (数学归纳法数学归纳法) 当当n=1n=1时时, ,不等式成立不等式成立. .假设假设n=kn=k时时, , 成立成立. . 当当n=k+1n=k+1时

13、时, , 由函数由函数 的单调性和归纳假设有的单调性和归纳假设有 . .只需证只需证: ,: ,即证即证只需只需 , , 显然成立显然成立. .即即n=k+1n=k+1时时, ,结论成立结论成立. .因此因此, , 对一切正整数对一切正整数n成立成立.12 kak)1(1)(xxxxf1211211kkaaakkk3212112kkk32)12112(2kkk0121k12 nan法三法三: 由递推公式得由递推公式得, , ,将上述各式相加并化简得将上述各式相加并化简得 (n )又又n=1时时, 显然成立显然成立. 所以所以 对一切正整数对一切正整数n成立成立.2121212nnnaaa,12

14、222221nnnaaa.12212122aaa1222) 1( 2211) 1( 222121212nnnaanaann212nan2)解法一解法一: 1) 12 () 1( 21)1211 (1)11 (1211nnnnnnnnnananabbnnnnn., 0. 12141)21(12) 1(212nnnbbbnnnnn故由解法二解法二: 又又 .0)1121(11)121212(11nnnnnnn,221nnbb, 0nb.1nnbb)12 (11) 21(11122222221221naannaaannanabbnnnnnnnnn 求解策略求解策略 证明数列不等式问题证明数列不等式问

15、题, , 一般可采用数一般可采用数学归纳法、分析法、综合、比较法、放缩法等方法来证学归纳法、分析法、综合、比较法、放缩法等方法来证明明. . 有时要综合使用几种方法有时要综合使用几种方法. .其中其中(1)(1)中证法一、证法中证法一、证法二都利用了数学归纳法二都利用了数学归纳法, , 证法一、证法三都将目标锁定证法一、证法三都将目标锁定为证明为证明 去掉了根式去掉了根式, , 利用放缩法得证利用放缩法得证; ;证法二证法二, , 看到递推关系与函数看到递推关系与函数 的关系的关系, , 利用函数单利用函数单调性和分析法得证调性和分析法得证. . 证法三利用迭加证法三利用迭加, , 变更了递推

16、关系变更了递推关系, , 这是对递推公式常用的变形方式之一这是对递推公式常用的变形方式之一. (2). (2)中利用比较中利用比较法法, , 方法一是作商法方法一是作商法, , 方法二并不是直接作差方法二并不是直接作差, , 而是利而是利用平方差用平方差, , 消除了根式消除了根式, , 简化了运算简化了运算, , 在不等式的证明在不等式的证明中中, , 观察式子的结构特征再合理地进行放缩观察式子的结构特征再合理地进行放缩, , 是成功的是成功的关关 键键. 122 nanxxxf1)( 求解策略求解策略 数列与解析几何的综合题以坐标为载体数列与解析几何的综合题以坐标为载体, ,以以数列为主体

17、内容将解析几何、平面几何与数列的相关知识数列为主体内容将解析几何、平面几何与数列的相关知识联系在一起联系在一起. . 该类问题往往以曲线上的点的无限运动为背该类问题往往以曲线上的点的无限运动为背景景, , 解决问题的关键是寻求点的坐标间的相互联系解决问题的关键是寻求点的坐标间的相互联系, , 得到得到递推关系递推关系, ,再运用数列知识进行求解再运用数列知识进行求解. .例例4.4.（20042004浙江浙江) )OBCOBC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为(0,0)(0,0)、(1,0)(1,0)、(0,2),(0,2),设设P P1 1为线段为线段BCBC的中点的中点, , 为线段

18、为线段COCO的中点的中点, , 为线段为线段 的中点的中点, ,对于每一个正整数对于每一个正整数n, n, 为线段为线段的中点的中点, ,令令 的坐标为的坐标为 , ., .(1)(1)求求 (2)(2)证明证明(3)(3)若记若记 证明证明 是等比数列是等比数列. .,444Nnyybnnn nb4 4、数列与解析几何的综合、数列与解析几何的综合2P3P1OP3nP1nnPPnP),(nnyx121nnnyya2ny;,321naaaa及;,414Nnyynn5 5、数列应用问题、数列应用问题 例例5.(20015.(2001年全国卷年全国卷) )从社会效益和经济效益出发从社会效益和经济效

19、益出发, , 某地某地 投入资金进行生态环境建设投入资金进行生态环境建设, , 并以此发展旅游产业并以此发展旅游产业. . 根据根据 规划规划, , 本年度投入本年度投入800800万元万元, ,以后每年投入将比上年减少以后每年投入将比上年减少 , , 本年度当地旅游业收入估计为本年度当地旅游业收入估计为400400万元万元, , 由于该项建设对旅由于该项建设对旅 游业的促进作用游业的促进作用, , 预计今后的旅游业每年会比上年增加预计今后的旅游业每年会比上年增加 (1)(1)设年设年n n内内( (本年度为第一年本年度为第一年) )总投入为总投入为 万元万元, ,旅游总收入旅游总收入 为为

20、万元万元, , 写出写出 的通项公式的通项公式; ; (2) (2)至少经过几年至少经过几年, , 旅游业的总收入才能超过总投入旅游业的总收入才能超过总投入? ?51.41nanbnnba , 求解策略求解策略 解数列应用题的关键是将实际问题转化为数解数列应用题的关键是将实际问题转化为数列问题列问题( (等差、等比数列、递推关系模型等差、等比数列、递推关系模型), ), 然后利用相关然后利用相关知识求解知识求解. . 解题时首先要读懂题目解题时首先要读懂题目, , 理解题意理解题意, , 对陌生的对陌生的背景、文字叙述比较长的题目背景、文字叙述比较长的题目, , 要充满信心要充满信心, , 从

21、问题中尽从问题中尽可能多地获取信息可能多地获取信息, ,大胆联想大胆联想, ,合理转化为我们熟悉的问题合理转化为我们熟悉的问题. . 总之总之, , 数列综合题常常是数列与函数、数列综合题常常是数列与函数、不等式、几何等知识点的交汇不等式、几何等知识点的交汇, , 因此要加因此要加强数学知识的综合运用强数学知识的综合运用, , 要有意识的运用要有意识的运用函数方程思想、转化思想和分类讨论的思函数方程思想、转化思想和分类讨论的思想来探求解题思路想来探求解题思路. . 同时要鼓励合理的猜同时要鼓励合理的猜想、要重视数学归纳法的运用想、要重视数学归纳法的运用. . 四、教法分析四、教法分析 新的课程

22、标准指出, 教学过程也是学生的认识过程, 学生在教学活动中始终处于主体地位, 教师则应成为学习活动的促进者, 而非单纯的知识传授者, 其基本任务也就在于促进和增强学生的数学学习过程. 根据本节内容的特点和学生的认知规律, 我采用: 问题探究式、启发发现式等方法进行教学, 同时采用讨论式组织课堂教学. 在教学中我都是先提出问题, 让学生观察分析、自主探索、归纳总结, 从而真正使学生养成独立思考, 仔细观察, 认真分析, 严谨推理的学习习惯, 并提高他们的自学能力与探索意识.同时鼓励学生相互交流，从而促使学生真正成为自觉投入且积极建构的学习活动中的主体.五、评价分析五、评价分析 本节内容的设计从教学内容的引入、展开、揭示等方面出