通信技术与系统第二章信号与噪声分析

1、第二章第二章 信号与噪声分析信号与噪声分析主要内容主要内容n信号与系统表示法信号与系统表示法n信号频谱分析概述信号频谱分析概述n希尔波特变换希尔波特变换n随机信号通过系统的分析随机信号通过系统的分析n信息的度量信息的度量信号信号n信号是信息的载体，通常以某种客观物信号是信息的载体，通常以某种客观物理量、客观现象或语言文字等形式表现理量、客观现象或语言文字等形式表现出来。出来。n作为信息的载体，信号必须能被人的视觉、作为信息的载体，信号必须能被人的视觉、听觉、味觉或触觉感受到，或被机器设备检听觉、味觉或触觉感受到，或被机器设备检测到，否则就失去了信息传输的意义；测到，否则就失去了信息传输的意义；

2、n信号如果不可变，则无法携带丰富多彩的信信号如果不可变，则无法携带丰富多彩的信息；息；n信号必须能够通过物理方法产生或实现。信号必须能够通过物理方法产生或实现。信号信号n近代一切与电有关的通信都是把信息转近代一切与电有关的通信都是把信息转化为电压、电流、电荷或无线电波等信化为电压、电流、电荷或无线电波等信号形式，再利用各种传输手段将这些信号形式，再利用各种传输手段将这些信号进行传输；号进行传输；n而光通信则是以光波作为信息的载体；而光通信则是以光波作为信息的载体；通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型1、周期信号与非周期信号、周期信号与非周期信号按信号变化的特点分为周期信号与非周期信号。按信

3、号变化的特点分为周期信号与非周期信号。n周期信号：信号的变化按一定规律重复出现的信号。周期信号：信号的变化按一定规律重复出现的信号。用数学语言描述就是用数学语言描述就是 n非周期信号：除周期信号外的所有信号。非周期信号：除周期信号外的所有信号。( )()f tf tnTkkTtgtf)()(或者：或者：通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型2、确定信号和随机信号、确定信号和随机信号根据信号的变化规律可分为确定信号和根据信号的变化规律可分为确定信号和随机信号。随机信号。n确定信号的变化规律是已知的，比如正弦型确定信号的变化规律是已知的，比如正弦型信号、指数信号等；信号、指数信号等；n随机信号的

4、变化规律是未知的，比如我们打随机信号的变化规律是未知的，比如我们打电话时的语音信号、电视节目中的图像信号电话时的语音信号、电视节目中的图像信号还有一些噪声等。还有一些噪声等。通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型3、能量信号与功率信号、能量信号与功率信号n瞬时功率：瞬时功率：n归一化瞬时功率或归一化瞬时功率或R=1时的能量时的能量nR=1时的归一化能量：时的归一化能量：n平均功率：平均功率：RtitPRtvtP22)()()()(或者2)()(tgtPdttgE2)(TTTdttgTP2)(21lim通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型3、能量信号与功率信号、能量信号与功率信号n能量信号

5、：能量有限的信号，能量信号：能量有限的信号，n能量信号的总平均功率等于能量信号的总平均功率等于0；n非周期信号通常为能量信号；非周期信号通常为能量信号；n功率信号：平均功率有限的信号，功率信号：平均功率有限的信号，n功率信号的能量等于无穷大；功率信号的能量等于无穷大；n周期信号和随机信号通常是功率信号。周期信号和随机信号通常是功率信号。 E0 P0通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型4、基带信号与频带信号、基带信号与频带信号n根据信号是否进行了调制，可将信号分根据信号是否进行了调制，可将信号分成基带信号和频带信号（调制信号）。成基带信号和频带信号（调制信号）。n未经调制的信号叫基带信号；基

6、带信号一般未经调制的信号叫基带信号；基带信号一般直接携带信息，接收到信号也就收到了信直接携带信息，接收到信号也就收到了信息；。息；。n经过某种调制的信号叫频带信号，调制信号经过某种调制的信号叫频带信号，调制信号虽然也携带信息，但接收端必须对接收到的虽然也携带信息，但接收端必须对接收到的信号进行解调处理才能还原为原始信息信号进行解调处理才能还原为原始信息通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型5、模拟信号与数字信号、模拟信号与数字信号n按信号外在表现的特征可分为模拟信号和数字按信号外在表现的特征可分为模拟信号和数字信号两大类。信号两大类。n模拟信号：参量模拟信号：参量(因变量因变量)取值随时间取

7、值随时间(自变量自变量)的连的连续变化而连续变化的信号，通俗地讲，波形为连续续变化而连续变化的信号，通俗地讲，波形为连续曲线的信号就是模拟信号。模拟信号的主要特点是曲线的信号就是模拟信号。模拟信号的主要特点是在其出现的时间内具有无限个可能的取值。正是这在其出现的时间内具有无限个可能的取值。正是这一特点使得模拟信号难以存储；一特点使得模拟信号难以存储；n离散信号：在时间上取离散值的信号。与模拟信号离散信号：在时间上取离散值的信号。与模拟信号的主要区别是自变量的取值不连续。参量的取值与的主要区别是自变量的取值不连续。参量的取值与模拟信号一样，随函数的关系而定；模拟信号一样，随函数的关系而定；n数字

8、信号：自变量取离散值，参量取有限个经过量数字信号：自变量取离散值，参量取有限个经过量化的离散值的信号。化的离散值的信号。通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型t0123456789 101245yt30123456789 1012345y0123456789 1012345ty(a) 模拟信号(b) 离散信号(c) 数字信号通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型6、电信号和光信号、电信号和光信号n根据信息载体的不同，把信号可分为电根据信息载体的不同，把信号可分为电信号和光信号两大类。信号和光信号两大类。n电信号主要包括电压信号、电流信号、电荷电信号主要包括电压信号、电流信号、电荷信号和电磁

9、波信号和电磁波(无线电无线电)信号；信号；n光信号则是利用光亮度的强弱来携带信息的。光信号则是利用光亮度的强弱来携带信息的。通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型7、多媒体信号、多媒体信号n按信息的类别不同，信号主要可分为语音信按信息的类别不同，信号主要可分为语音信号、图片信号、活动图像号、图片信号、活动图像(视频视频)信号、文字信号、文字信号、数据信号等。信号、数据信号等。n在计算机领域为研究和叙述方便，常把经过在计算机领域为研究和叙述方便，常把经过模模/数转换后的上述信号统称为数据信号。数转换后的上述信号统称为数据信号。n有时为了强调信号的多样性，也称其为多媒有时为了强调信号的多样性，也

10、称其为多媒体信号。体信号。系统表示方式系统表示方式n线性线性n遵循叠加原理和比例倍增遵循叠加原理和比例倍增n时不变时不变)()()()()()()()(221122112211tgatgatfatfatgtftgtf则：，若：)()()()(00ttgttftgtf则：若：信号频谱分析概述信号频谱分析概述n通信原理中一个很重要的基本概念就是信号的通信原理中一个很重要的基本概念就是信号的频谱；频谱；n我们通常习惯于在时间域我们通常习惯于在时间域(简称时域简称时域)考虑问题，考虑问题，研究函数研究函数(信号信号)幅度幅度(因变量因变量)与时间与时间(自变量自变量)的关系。的关系。n在通信领域，我们

11、常常需要了解信号幅度和相在通信领域，我们常常需要了解信号幅度和相位与频率位与频率(自变量自变量)之间的关系。也就是说，要之间的关系。也就是说，要在频率域在频率域(简称频域简称频域)中研究信号。中研究信号。n信号在时域和频域里的特性不同，其研究方法信号在时域和频域里的特性不同，其研究方法也不一样，也不一样， 信号频谱分析概述信号频谱分析概述n周期信号的频谱周期信号的频谱在高等数学中我们学过傅里叶级数，其在高等数学中我们学过傅里叶级数，其内容是：任意一个满足狄里赫利条件的内容是：任意一个满足狄里赫利条件的周期信号周期信号f(t)(实际工程中所遇到的周期实际工程中所遇到的周期信号一般都满足信号一般都

12、满足)可用三角函数信号的线可用三角函数信号的线性组合来表示，即性组合来表示，即1000)sincos(2)(nnntnbtnaatf信号频谱分析概述信号频谱分析概述000000/20/20/20/20/20/202( )2( )cos2( )sinTTTnTTnTaf t dtTaf tdtTbf tdtT信号频谱分析概述信号频谱分析概述n式中，式中，n为正整数，为正整数，a0是常数。是常数。T0是是f(t)的周的周期。从电学的角度上讲，第一项表示直流分量；期。从电学的角度上讲，第一项表示直流分量；n=1时，时，a1cos0t+b1sin0t叫做基波，也叫做基波，也就是基础波的意思，其频率为就

13、是基础波的意思，其频率为0；n=2时，时，a2cos20t+b2sin20t叫做二次谐波，其频叫做二次谐波，其频率是基波的二倍。率是基波的二倍。n以此类推，以此类推，ancosn0t+bnsinn0t叫做叫做n次谐次谐波。波。 信号频谱分析概述信号频谱分析概述n傅里叶级数的物理意义就是一个周期信傅里叶级数的物理意义就是一个周期信号可近似用一直流分量和以其频率号可近似用一直流分量和以其频率(周期周期的倒数的倒数)为基频的各次谐波为基频的各次谐波(正弦型信号正弦型信号)的线性叠加表示。的线性叠加表示。信号频谱分析概述信号频谱分析概述tttt(a) 原 始 方 波 和 基 波(b) 基 波 3次 谐

14、 波(c) 基 波 3次 谐 波 5次 谐 波(d) 基 波 3次 谐 波 5次 谐 波 7次 谐 波谐波次数取得越高，近似程度越好。由此得出结论，谐波次数取得越高，近似程度越好。由此得出结论，基波决定信号的大体形状，谐波改变信号的基波决定信号的大体形状，谐波改变信号的“细细节节”。信号频谱分析概述信号频谱分析概述代入欧拉公式代入欧拉公式得到傅里叶级数的复指数表达形式：得到傅里叶级数的复指数表达形式：000000cos2sin2jntjntjntjnteeteetj00000/20/20( )()1()( )jntnTjntTf tF neF nf t edtT信号频谱分析概述信号频谱分析概述

15、n傅里叶级数的复指数表达形式，表明一个周期傅里叶级数的复指数表达形式，表明一个周期信号可以由无穷个复指数信号线性叠加而成。信号可以由无穷个复指数信号线性叠加而成。n其中其中F(n0)是一个以离散变量是一个以离散变量n0为自变量的为自变量的复变函数，具有实部和虚部，即复变函数，具有实部和虚部，即 nF(n0)反映了反映了f(t)在频域上各次谐波的幅值大小和在频域上各次谐波的幅值大小和相位多少，因此相位多少，因此F(n0)称为称为f(t)的频谱函数；的频谱函数；n实部称为幅频函数，虚部称为相频函数；实部称为幅频函数，虚部称为相频函数；0()00()()jnF nF ne信号频谱分析概述信号频谱分析

16、概述n任何一个周期信号都可用与其惟一对应任何一个周期信号都可用与其惟一对应的频谱函数来描述。的频谱函数来描述。f(t)描述的是信号与描述的是信号与时间的关系，而时间的关系，而F(n0)描述的是信号各描述的是信号各次谐波的幅值、相位与频率之间的关系。次谐波的幅值、相位与频率之间的关系。信号频谱分析概述信号频谱分析概述n周期信号的频谱的特点：离散性、谐波性和收周期信号的频谱的特点：离散性、谐波性和收敛性敛性n谱线只出现在基波频率的整数倍（各次谐波点）处，谱线只出现在基波频率的整数倍（各次谐波点）处，具有非周期性、离散性的特点；其中谱线的间隔就具有非周期性、离散性的特点；其中谱线的间隔就是基频是基频

17、0，因为，因为0=2/T0，所以，周期越大，谱，所以，周期越大，谱线越密线越密,也就是单位频带中谐波个数越多。也就是单位频带中谐波个数越多。n各次谐波振幅各次谐波振幅(即谱线的高低即谱线的高低)的总变化规律是随着的总变化规律是随着谐波次数的增加而逐渐减小。谐波次数的增加而逐渐减小。n各次谐波振幅随频率的衰减速度与原始信号的波形各次谐波振幅随频率的衰减速度与原始信号的波形有关。即时域波形变化越慢，频谱的高次谐波衰减有关。即时域波形变化越慢，频谱的高次谐波衰减就越快，高频成分就越少。反之，时域波形变化越就越快，高频成分就越少。反之，时域波形变化越剧烈，频谱中高次谐波成分就越多，衰减就越慢。剧烈，频

18、谱中高次谐波成分就越多，衰减就越慢。信号频谱分析概述信号频谱分析概述n非周期信号的频谱非周期信号的频谱n当当T0趋于无穷大，则趋于无穷大，则0趋于无穷小，离散趋于无穷小，离散变量变量n0趋于连续变量趋于连续变量，F(n0)也从离散也从离散函数变成连续函数。函数变成连续函数。1( ) ( )( )1( ) ( )( )2j tj tFF f tf t edtf tFFFed信号频谱分析概述信号频谱分析概述n无论是一个周期信号还是一个非周期信无论是一个周期信号还是一个非周期信号都可在频域进行研究分析。号都可在频域进行研究分析。n对于周期信号，借助傅里叶级数可得到与该对于周期信号，借助傅里叶级数可得

19、到与该信号相对应的频谱函数信号相对应的频谱函数F(n0)；n对于一个非周期信号，可用傅里叶变换求得对于一个非周期信号，可用傅里叶变换求得该信号的频谱函数该信号的频谱函数F()；nF(n0)与与F()虽然都叫频谱函数，但概念虽然都叫频谱函数，但概念不一样不一样信号频谱分析概述信号频谱分析概述n任何一个信号都具有频谱任何一个信号都具有频谱(随机信号用功率谱随机信号用功率谱描述描述)。n对于非周期信号，根据频谱宽度我们把信号分对于非周期信号，根据频谱宽度我们把信号分为频带有限信号为频带有限信号(简称带限信号简称带限信号)和频带无限信和频带无限信号。号。n频带有限信号又包括低通型信号、带通型信号。频带

20、有限信号又包括低通型信号、带通型信号。n低通型信号的频谱从零开始到某一个频率截止，信低通型信号的频谱从零开始到某一个频率截止，信号能量集中在从直流到截止频率的频段上，由于频号能量集中在从直流到截止频率的频段上，由于频谱从直流开始，因此称为低通型信号。谱从直流开始，因此称为低通型信号。n带通型信号的频谱存在于从不等于零的某一频率到带通型信号的频谱存在于从不等于零的某一频率到另一个较高频率的频段。另一个较高频率的频段。信号频谱分析概述信号频谱分析概述F()HHF()HLLH(a) 低 通 型 信 号 频 谱 示 意 图(b) 带 通 型 信 号 频 谱 示 意 图00信号频谱分析概述信号频谱分析概

21、述n从频谱图中我们可以看到无论是周期信从频谱图中我们可以看到无论是周期信号的频谱还是非周期信号的频谱，其频号的频谱还是非周期信号的频谱，其频谱曲线为偶对称，而实际上并没有负频谱曲线为偶对称，而实际上并没有负频率，那么如何解释这个问题呢？率，那么如何解释这个问题呢？n在三角函数形式展开时，求和变量在三角函数形式展开时，求和变量n的下限的下限从从1开始，所以，频谱图没有负频率部分，开始，所以，频谱图没有负频率部分，这是符合实际情况的。这是符合实际情况的。信号频谱分析概述信号频谱分析概述n在复指数表达形式展开时，求和变量在复指数表达形式展开时，求和变量n的下的下限是限是-，则频谱中就有负频率分量：，

22、则频谱中就有负频率分量：n如果要用复指数信号表达正弦型信号就必须有正、如果要用复指数信号表达正弦型信号就必须有正、负两种复指数信号，而在负复指数信号中，我们负两种复指数信号，而在负复指数信号中，我们关心的是信号与频率的关系，且时间关心的是信号与频率的关系，且时间t不能为负，不能为负，所以，把负号赋给角频率所以，把负号赋给角频率0，频谱就出现负频，频谱就出现负频率分量。率分量。n因此，频谱中出现负频率分量没有对应的物理解因此，频谱中出现负频率分量没有对应的物理解释，仅仅是一种数学需要而已。释，仅仅是一种数学需要而已。卷积卷积n时域卷积时域卷积n频域卷积频域卷积)(*)()()()()()(*)(

23、12122121tftfdftfdftftftf)(*)()()()()()(*)(12122121FFdxFxFdxxFxFFF卷积卷积n卷积定理卷积定理n调制定理调制定理)(*)(21)()()()()(*)(21212121FFtftfFFtftf相关相关n自相关函数自相关函数n互相关函数互相关函数dttftfRf)()()()() ()()()()(21212112RdttftfdttftfR)() ()()()()(12121221RdttftfdttftfR)()()()(12212112RRRR或偶对称性：能量谱和功率谱能量谱和功率谱n能量谱密度能量谱密度若存在傅立叶变换对若存在

24、傅立叶变换对 ，能量信，能量信号号f(t)的能量谱与其自相关函数也是一对的能量谱与其自相关函数也是一对傅立叶变换。傅立叶变换。 简写为：简写为：其中其中 称为能量谱函数或能量谱称为能量谱函数或能量谱密度。密度。)()(Ftf2)()(*)()()()()()(FFFFFdttftfRf2)()(FRf2)(F能量谱和功率谱能量谱和功率谱n功率谱密度功率谱密度若存在傅立叶变换对若存在傅立叶变换对 ，功率信，功率信号号f(t)的功率谱与其自相关函数也是一对的功率谱与其自相关函数也是一对傅立叶变换。傅立叶变换。n周期为周期为T的信号在一个周期内的时间平均的信号在一个周期内的时间平均自相关函数对应着单

25、位时段能量谱。自相关函数对应着单位时段能量谱。 )()(Ftf)()()()(1)(222limlimfTTTTTfSTFdttftfTR能量谱和功率谱能量谱和功率谱n信号能量与功率的计算信号能量与功率的计算时域：时域：频域：频域：n帕氏定理帕氏定理n能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数及自相关函数 时，三者计算结果一致。时，三者计算结果一致。n功率谱、能量谱不反映信号相位特性，也不反映信功率谱、能量谱不反映信号相位特性，也不反映信号的时间位置

26、号的时间位置或或dttfPdttfPff22)()(能量信号能量信号2)(2dfPf功率信号功率信号2)(dSPff0希尔伯特变换希尔伯特变换n如果信号存在傅立叶变换对如果信号存在傅立叶变换对 f(t)F()，则其希尔伯特变换的频谱等于信号频谱则其希尔伯特变换的频谱等于信号频谱F()的负频域频率成分相移的负频域频率成分相移/2，正，正频域成分相移频域成分相移/2。其希尔伯特滤波器。其希尔伯特滤波器传递函数为：传递函数为：希尔伯特变换频谱：希尔伯特变换频谱：)sgn()(jHh)()sgn()()()(FjFHFh希尔伯特变换希尔伯特变换n由傅立叶变换的互易定理推出时域变换由傅立叶变换的互易定理

27、推出时域变换希尔伯特时域表达式：希尔伯特时域表达式：n余弦信号的希尔伯特变换等于正弦信号余弦信号的希尔伯特变换等于正弦信号n正弦信号的希尔伯特变换等于负余弦信号正弦信号的希尔伯特变换等于负余弦信号)sgn()(1)(jHtthhhdtfdtfttftf)(11)(1)()(希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质n信号信号f(t)及其希尔伯特变换及其希尔伯特变换 的幅度频的幅度频谱、功率（能量）谱，以及自相关函数谱、功率（能量）谱，以及自相关函数和功率（能量）均相等。和功率（能量）均相等。nf(t)的希尔伯特变换的希尔伯特变换 再进行希尔伯特再进行希尔伯特变换得：变换得：nf(t)与与 互为正交。

28、互为正交。)(tf)(tf)()()(tftfHtf)(tf信息及其度量信息及其度量n传输信息是通信系统的根本任务。在传传输信息是通信系统的根本任务。在传输过程中，信息是以各种具体的电信号输过程中，信息是以各种具体的电信号或光信号形式表现出来的。为了对通信或光信号形式表现出来的。为了对通信系统的性能与质量进行定量的分析、研系统的性能与质量进行定量的分析、研究与评价，就需要对信息进行度量。究与评价，就需要对信息进行度量。n能够衡量信息多少的物理量叫做信息量，能够衡量信息多少的物理量叫做信息量，通常用通常用I表示。表示。信息和信息量信息和信息量n信息是一个抽象的概念，它能否被量化信息是一个抽象的概

29、念，它能否被量化并且如何量化呢？并且如何量化呢？n信息有量值可言，信息量与事件发生的信息有量值可言，信息量与事件发生的概率有关：概率有关：n事件出现的概率越小，信息量就越大；事件出现的概率越小，信息量就越大；n必然事件的概率为必然事件的概率为1，则它传递的信息量就，则它传递的信息量就为为0信息和信息量信息和信息量n信息量与事件概率之间的关系式：信息量与事件概率之间的关系式：式中，式中，P表示某事件发生的概率，表示某事件发生的概率，I为从为从该事件发生的信息中得到的信息量。该事件发生的信息中得到的信息量。n如果消息由若干个互相独立的事件构成，如果消息由若干个互相独立的事件构成，则该消息所含信息量

30、等于各独立事件所则该消息所含信息量等于各独立事件所含信息量之和。含信息量之和。PIa1log信息与信息量信息与信息量n消息是信息的具体内容，信息通过消息消息是信息的具体内容，信息通过消息来承载。来承载。n通过对消息的分析就可得到其中所含的通过对消息的分析就可得到其中所含的信息量。信息量。n在通信领域，消息可分为离散消息和连在通信领域，消息可分为离散消息和连续消息。续消息。n由离散信息源产生的消息称为离散消息；由离散信息源产生的消息称为离散消息；n由连续信息源产生的消息就是连续消息。由连续信息源产生的消息就是连续消息。信息与信息量信息与信息量n离散消息只能有有限个符号，可看成是一种具离散消息只能

31、有有限个符号，可看成是一种具有有限个状态的随机序列，可以用离散型随机有有限个状态的随机序列，可以用离散型随机过程的统计特性来进行描述。离散消息过程的统计特性来进行描述。离散消息x所含所含信息量信息量I与消息出现概率与消息出现概率P(x)的关系为的关系为 n信息量单位的确定取决于式中的对数底信息量单位的确定取决于式中的对数底a。如果取对数。如果取对数的底的底a=2，则信息量的单位为比特，则信息量的单位为比特(bit)；如果取；如果取e为为对数的底，则信息量的单位为奈特对数的底，则信息量的单位为奈特(nit)；若取；若取10为底，为底，则信息量的单位称为十进制单位，或叫哈特莱。则信息量的单位称为十

32、进制单位，或叫哈特莱。1loglog( )( )aaIP xP x 信息与信息量信息与信息量n等概率出现的离散消息的度量等概率出现的离散消息的度量n若要传递的离散消息是在若要传递的离散消息是在M个消息中独立地个消息中独立地选择其一，且认为每个消息的出现概率是相选择其一，且认为每个消息的出现概率是相同的，则可采用一个同的，则可采用一个M进制的波形进行传送。进制的波形进行传送。n也就是说，传送也就是说，传送M个消息之一与传送个消息之一与传送M进制进制波形之一是完全等价的。波形之一是完全等价的。信息与信息量信息与信息量n在等概率出现时，每个波形在等概率出现时，每个波形(或每个消息或每个消息)的出的出

33、现概率为现概率为1/M，我们取对数底为，我们取对数底为2，有，有n当当M=2，即二进制时，即二进制时，I=1，也就是说，每个，也就是说，每个二进制波形等概率出现时所含信息量是二进制波形等概率出现时所含信息量是1bit。在数据通信在数据通信(或数字通信或数字通信)中，通常取中，通常取M为为2的的整数幂，即整数幂，即M=2k，则每个波形等概率出现时，则每个波形等概率出现时所含信息量就是所含信息量就是kbit11log( )1/aIIbIbMP xM信息与信息量信息与信息量n非等概率的离散消息的度量非等概率的离散消息的度量n设离散信息源是一个由设离散信息源是一个由n个符号组成的集合，个符号组成的集合

34、，称符号集。符号集中的每一个符号称符号集。符号集中的每一个符号xi在消息在消息中是按一定概率中是按一定概率P(xi)独立出现的，即符号独立出现的，即符号概率场为概率场为n且有且有 ，1212()()()nnxxxP xP xP x1()1niiP x信息与信息量信息与信息量n则整个消息的信息量为则整个消息的信息量为n当消息很长时，用符号出现概率计算信息量比当消息很长时，用符号出现概率计算信息量比较麻烦，此时用平均信息量计算较好。所谓平较麻烦，此时用平均信息量计算较好。所谓平均信息量是指每个符号所含信息量的统计平均均信息量是指每个符号所含信息量的统计平均值，因此，值，因此，n个符号的离散消息的平

35、均信息量个符号的离散消息的平均信息量为为1log()niaiiInP x 1()()log()niaiiH XP xP x 信息与信息量信息与信息量n由于式子同热力学中的熵的计算公式形由于式子同热力学中的熵的计算公式形式一样，故通常又称它为信息源的熵，式一样，故通常又称它为信息源的熵，其单位为其单位为bit符号。符号。n不同的离散信息源可能有不同的熵值。不同的离散信息源可能有不同的熵值。n信息源的最大熵发生在每一个符号等慨信息源的最大熵发生在每一个符号等慨率出现时，即率出现时，即P(xi)=1/n，最大熵值等，最大熵值等于于lbn(bit符号符号)。信息与信息量信息与信息量n对连续消息的信息量

36、可用概率密度来描对连续消息的信息量可用概率密度来描述。其平均信息量为述。其平均信息量为 式中，式中，f(x)是连续消息出现的概率密度。是连续消息出现的概率密度。()( )log( )aH Xf xf x dx 信道容量与香农公式信道容量与香农公式n信号必须经过信道才能传输，单位时间信号必须经过信道才能传输，单位时间内信道上所能传输的最大信息量称为信内信道上所能传输的最大信息量称为信道容量。它可用信道的最大信息传输速道容量。它可用信道的最大信息传输速率率(比特率比特率)来表示。来表示。n由于信道有数字由于信道有数字(离散离散)和模拟和模拟(连续连续)之之分，因此，信道容量也不相同。在此我分，因此

37、，信道容量也不相同。在此我们只讨论有扰模拟们只讨论有扰模拟(连续连续)信道的信道容信道的信道容量问题。量问题。信道容量与香农公式信道容量与香农公式n信号在信道中传输要受到干扰的影响，以致引信号在信道中传输要受到干扰的影响，以致引起信息传输错误，我们把具有干扰的信道称为起信息传输错误，我们把具有干扰的信道称为有扰信道。有扰信道。n那么，在怎样的条件下，信道可以无失真那么，在怎样的条件下，信道可以无失真(不不丢失丢失)地将信息以速率地将信息以速率R进行传输呢？香农定理进行传输呢？香农定理给出了理论答案：对于一个给定的有扰信道，给出了理论答案：对于一个给定的有扰信道，如果信息源的信息发出速率小于或等

38、于信道容如果信息源的信息发出速率小于或等于信道容量，即量，即RC，则理论上存在一种方法可使信息，则理论上存在一种方法可使信息以任意小的差错概率通过该信道传输。反之，以任意小的差错概率通过该信道传输。反之，若若RC，则该信道将无法正确传递该信息。，则该信道将无法正确传递该信息。信道容量与香农公式信道容量与香农公式n信道容量受到噪声和带宽的双重制约。香农公信道容量受到噪声和带宽的双重制约。香农公式给出了信道带宽、信道容量和白色高斯噪声式给出了信道带宽、信道容量和白色高斯噪声干扰信号干扰信号(或信道输出信噪比或信道输出信噪比)之间的关系之间的关系式中式中,C为信道容量为信道容量(单位为单位为bit/

39、s或或b/s)，B为为信道带宽信道带宽(Hz)，S是信号功率，是信号功率，N是噪声功率。是噪声功率。在实际应用中，一般并不用在实际应用中，一般并不用SN直接来表示直接来表示信噪比，而是对它取对数变成分贝值，即用公信噪比，而是对它取对数变成分贝值，即用公式式10lgS/N计算。计算。(1)(/ )SCBIbbit sN信道容量与香农公式信道容量与香农公式n举例：若一帧电视图像的信息量为举例：若一帧电视图像的信息量为99600bit，电视的帧频为，电视的帧频为30Hz，为使，为使接收端能收到良好的图像，要求信道的接收端能收到良好的图像，要求信道的信噪比信噪比S/N=1000(10lgS/N=30d

40、B),求信道的带宽求信道的带宽B。信道容量与香农公式信道容量与香农公式n由于噪声功率由于噪声功率N与信道的频带宽度有关，与信道的频带宽度有关，设单边噪声功率设单边噪声功率 谱密度为谱密度为n0，则可得到，则可得到香农公式的另一种形式香农公式的另一种形式n式中式中,N=n0B0(1)SCBIbn B信道容量与香农公式信道容量与香农公式n从香农公式中我们可得出以下结论：从香农公式中我们可得出以下结论：n一个给定信道的信道容量受一个给定信道的信道容量受B、S、n0“三要素三要素”的的约束。信道容量随约束。信道容量随“三要素三要素”的确定而确定。的确定而确定。n提高信噪比提高信噪比(信号功率与噪声功率

41、之比信号功率与噪声功率之比)可提高信道可提高信道容量。容量。n一个给定信道的信道容量既可以通过增加信道带宽一个给定信道的信道容量既可以通过增加信道带宽减少信号发射功率也可通过减少信道带宽增加信号减少信号发射功率也可通过减少信道带宽增加信号发射功率来保证。也就是说，信道容量可通过带宽发射功率来保证。也就是说，信道容量可通过带宽与信噪比的互换而保持不变。与信噪比的互换而保持不变。n虽然虽然C与与B成正比关系，但成正比关系，但B时，时，C却不能随之却不能随之趋于无穷大。趋于无穷大。若若S/n0保持不变，当保持不变，当B时，因为噪时，因为噪声功率声功率(N=n0B)也随之趋于无穷大，所以信道容量也随之

42、趋于无穷大，所以信道容量保持有限值。保持有限值。信道容量与香农公式信道容量与香农公式n香农定理香农定理n有扰信道的最大信息传输速率有扰信道的最大信息传输速率(即信道容量即信道容量)是有限的，信道容量受信道带宽和信道信噪是有限的，信道容量受信道带宽和信道信噪比的制约，只要给定了信道信噪比和带宽，比的制约，只要给定了信道信噪比和带宽，则信道的最大信息传输速率就确定了，并且则信道的最大信息传输速率就确定了，并且该容量与信号取的离散值个数无关，无论用该容量与信号取的离散值个数无关，无论用什么调制方式都无法改变。什么调制方式都无法改变。随机信号随机信号n随机信号：随机信号：n具有各种随机性特点，并符合统

43、计特性；具有各种随机性特点，并符合统计特性；n通常随机信号为时间函数；通常随机信号为时间函数；n常见随机信号常见随机信号n通信系统中传输的数字码流；通信系统中传输的数字码流；n系统中的干扰和噪声；系统中的干扰和噪声；统计平均特性统计平均特性随机过程随机过程X(t)中任意两个时刻中任意两个时刻t1和和t2，取，取t2-t1，有：，有：n自相关函数自相关函数n自协方差函数自协方差函数n自相关系数自相关系数 )()(),;,(),(2121212121tXtXEdxdxttxxpxxttRx)()(),(),;,()()()()(),(2121212121221121tmtmttCdxdxttxxp

44、tmtXtmtXttCXXxXXx )()(),(),(212121ttttCttXXXX平稳随机过程平稳随机过程n若随机过程若随机过程X(t)的统计特性与时间原点的统计特性与时间原点无关，即概率密度函数满足：无关，即概率密度函数满足：则称该随机过程为狭义平稳随机过程。则称该随机过程为狭义平稳随机过程。n若随机过程满足一维和二维平稳条件，若随机过程满足一维和二维平稳条件，则称该随机过程为广义平稳随机过程。则称该随机过程为广义平稳随机过程。),;,(),;,(21212121NNNNtttxxxptttxxxp自相关函数的性质自相关函数的性质n随机信号的总平均功率等于自相关函数随机信号的总平均功

45、率等于自相关函数当当0时的值；等于交流功率和直流功时的值；等于交流功率和直流功率之和。率之和。n偶函数偶函数n双边非增函数双边非增函数n 2220)()0()(XXXmtXERR)()( RR)()0(RR2)()(XmCR随机信号的功率谱随机信号的功率谱n功率谱：功率谱：n平均功率：平均功率：)(1lim)(2TTXNETS)()(21)()(1lim222频域频域时域时域dSdttXETPXTTTXT功率谱的性质功率谱的性质n非负性非负性n实偶性实偶性n SX()曲线下的面积等于曲线下的面积等于X(t)平均功率平均功率n SX()是是X(t)微分的功率谱微分的功率谱0)(XS)()(XXSSdSRtXEPXXX02)(1)0()()()(2XXSS平稳随机信号通过线性系统平稳随机信号通过线性系统n平稳随机信号平稳随机信号X(t)作为线性系统激励时作为线性系统激励时的响应随机过程仍然是平稳过程。的响应随机过程仍然是平稳过程。 其中其中Rh()为系统冲击响应自相关函数为系统冲击响应自相关函数 H(0)为线性时不变系统的直流传递系数。为线性时