高等数学第二章第2节函数的求导法则

1、1一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数三、复合函数的求导法则四、初等函数的求导问题五、小结及作业第二节 函数的求导法则2导数概念的回顾xxfxxfxfx)()(lim)(0切线的斜率。处的在点表示曲线)(,()()(000 xfxMxfyxf2、导数几何意义3、求导公式 )(C )(sinx )(cosx0 xcosxsin1、导数的定义、导数的定义3 )(log xa)()(Rx )(xa )(xe )(ln x.1x.lnaax.xe.ln1ax.1x4定理定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu);()( )()() 1

2、 (xvxuxvxu);()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu).0)()()()()()()()() 3(2xvxvxvxuxvxuxvxu一、和、差、积、商的求导法则5证（证（3 3）),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .).0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu6hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(l

3、im0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu 处可导，且有在所以xxf)().0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu7推论推论11(1)( )( );nniiiif xf x);( )()2(xfCxCf 121121211(3)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( );nininnnnikikk if xfx fxfxf x fxfxf x fxfxf x fx 如如123( )( )( )f x fx fx 123( )( )( )fx

4、 fx fx123( )( )( )f x fx fx123( )( )( )f x fx fx8例例1 1 解解23xy x4例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解：解：xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2xcos.2sin1ln2cos2xxxx.5cossin223的导数的导数求求 xxxy因为所以.9例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .seccos1)(ta

5、n22xxx.cscsin1)(cot22xxx同理可得同理可得因此因此10例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得xxxtansec)(sec因此因此115例例).4(,11)(ftttf求求已已知知解解：2)1 (21)1 ()1 (21)(ttttttf因为181)4( f所以12例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求设解解, 1)( xf,0时当 x,0时当 x)(xf)11ln(1lim0 xxxx.11xxxxxxx1

6、0)11ln(11limxxxxx)1ln()1ln(lim013,0时当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0, 1hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0, 1. 1)0( f.0,110, 1)(xxxxf于是于是所以所以14定理定理.)(1)(,),()(,0)(,)(,)()(yxfIyyxxIxfyyIyxyxxfyyxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导某区间在如果的反函数为设即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.连续函数的性质：问题：问题：可导函数的反函数是否为可导函数

7、？二、反函数的导数15证证,0）（以增量给xxx的单调性可知由)(xfy , 0y于是有于是有,1yxxy,)(连续因为xf),0(0 xy所以0)( y又知xyxfx0lim)(所以yxy1lim0)(1y.)(1)(yxf即内单调、可导，在由于yIyx)(从而单调、连续，内也单调、连续，在对应区间所以其反函数xIxfy)(161例例yxy求求3：解法解法1)(3xy32323131xx：解法解法2,33xyyx的反函数是因为,)(3xxf即即)(1)(yxf所以231y3231x17例例2 2.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导在因为yx, 0co

8、s)(sin yy且且内有在所以) 1 , 1()(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .11)(arccos2xx 同理可得同理可得211x211)(arcsinxx18;11)(arctan2xx.11)cot(2xx arc3例例.,arctanyxy求求,tanarctanyxxy的反函数为因为解：解：上上单单调调、可可导导，且且在在)2,2( , 0sec)(tan2yyyyx2sec1)(tan1)(arctan由公式知2221tan1secxyy而而同理可得同理可得所以所以19例例2 2.log的导数求函数xya, 0ln)(aaayy且,), 0(内有所以

9、在)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解解,),(内单调、可导在因为yax特别地特别地.1)(lnxx axxaln1)(log20三、复合函数的求导法则xy2sin如)2(sinx=?x2cos由两函数相乘的求导法则)2(sinxdxdy)cossin2(xxsinsincoscos2xxxxx2cos2的复合函数。和是xuuy2sin另一方面所以)2(sinxx2cos)(sinududyucosx2cos2)2(xdxdu因此dudydxdux2cos2结论dxdydudydxdux2cos2 复合函数的导数等于其组成的简单函数导数的乘积21 即即 函数对自变量求导函数对自变

10、量求导,等于函数先对中间变量等于函数先对中间变量求导求导,再乘以中间变量对自变量求导再乘以中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则)( ),( ), ( ),( )( ).uxxyf uuyfxxdydy duf uxdxdu dx如果函数在点 可导而在点 可导 则复合函数在点 可导且其导数为定理定理22证证( ),yf uu由在点 可导0lim( )uyf uu 所以0( )(lim0)uyf uu 故( )yf uuu 则0limxyx 所以0lim( )xuuf uxx 000( ) limlimlimxxxuuf uxx ( )( ).fux23推广推广),(),(),(xvvuufy

11、 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例例3 3.sinln的导数求函数xy 解解.sin,lnxuuy因为dxdududydxdy所以xucos1xxsincosxcot24例例4 4.)1tan(的导数的导数求函数求函数xy解：解：xuuy1,tan因为dxdududydxdy所以xu21sec2)1 (sec212xx25例例5 5.) 1(102的导数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例6 6解解, )1(ln2xxy.y求求112xxy)21211 (2xx112x26例例7 7. )0()

12、(11xxx ）证证明明：（)()(lnxex）证明：）证明：（1xeln)ln(xxx1x）求（）求（xx2)()(lnxxxex)2(xxeln)ln(xxxx)1ln(x278例例dxdyyx求求31 sinarctan:解解dxdy)sin()sin(xx3131112)sin(sinsinxxx313121321)(cossinsinxxxx3331213213333121321lncossinsinxxxx289例例dxdyxy求求21tansinln解：解：dxdy)tan(sintansin22111xx)(tantancostansin2221111xxx)(sectanco

13、stansin2222211111xxxx)(tansinsectancos2222221121111xxxxxxxxxx212111122222tansinsectancos29例例1010.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31) 1ln(212xxy因为可变为)2( 31211212xxxy所以)2(3112 xxx例例1111.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 30例例1212.),1(sin2dxdyxfym求求)(sin12xfdxdym解解：1

14、21xmmsin1212xx2例例1313.,3arctan2sindxdyxyx求求dxdyxx3arctan)2sin( )3(arctan2sinxxxxx3arctan212cos2sin213ln33112sin2xxx12xcos311 ()C （ ）1. 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式2 ()x （ ）xe四、初等函数的求导问题(7) (sin)x (9) (tan)x (3) ()xa (5) (log)ax (6) (ln ) x (8) (cos)x (10) (cot )x (11) (sec)x (12) (csc )x 01xlnxaa(

15、4) ()xe 1lnxa1xcos xsin x2sec x2csc xsectanxxcsccotxx32(13) (arcsin)x 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(15) (arctan)x (14) (arccos)x (16) (arccot)x 211x211x211x211x )()() 1 (xvxu)()(xvxu )()()2(xvxu)()()()(xvxuxvxu )()() 3(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu)0)(xv333.3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则导，且导数为可在点可导，则复合函数在点可导，而

16、在点如果xxfyxuufyxxu)()()()(利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.dxdydxdududy)()(xuf问题：什么是初等函数？34解解:,1111xxxxy.dxdy求12xx1212x)2( x112xx例例1函数可变为函数可变为21222xxy所以所以dxdy135例例2 2. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sinxe2sinxe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinxe2cos x2sinxe112xx关键关键: 搞清函数结构 , 由外向内

17、求导.36例例3 3.)(sin的的导导数数求求函函数数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 37五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu.)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数

18、的求导公式和上述求导法则求出数的求导公式和上述求导法则求出.389622P习题)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (12, 9),10, 8 , 6 , 4 , 2(8),9 , 7 , 5 , 3 , 1 (7)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (6, 5),3 , 2( 3),10, 8 , 6 , 4 , 2(239思考题思考题幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；40思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x )1(2)

19、(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2(41一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设nxxyln ，则，则y = =_._.2 2、 设设xy1cosln ，则，则y = =_._.3 3、 设设xxy ，则，则y = =_._.4 4、 设设tttteeeey ，则，则y = =_._.5 5、 设设)999()2)(1()( xxxxxf则则 )0(f = =_._.二二、 求求下下列列函函数数的的导导数数：1 1、 )1tanh(2xy ；2 2、 ysinhar)1(2 x；练练 习习 题题42 3 3、 ycoshar)(2xe； 4 4、xxeycosh

20、sinh ； 5 5、2)2(arctanxy ； 6 6、xey1sin2 ； 7 7、212arcsintty . .43一、一、1 1、1ln1 nxxn； 2 2、xx1tan12； 3 3、xxxx 412； 4 4、t2cosh1； 5 5、-999!.-999!.二、二、1 1、)1(cosh222xx ； 2 2、22224 xxx；3 3、1242 xxee； 4 4、)sinh(cosh2coshxxex ；5 5、2arctan442xx ； 6 6、xexx1sin222sin1 ；练习题答案练习题答案447 7、 1,121,122222tttty. .45思考题思考

21、题 若若)(uf在在0u不不可可导导，)(xgu 在在0 x可可导导，且且)(00 xgu ，则则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必必可可导导；（2）必必不不可可导导；（3）不不一一定定可可导导；46思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)( 在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x )2(47一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设4)52( xy, ,则则y

22、= =_._.2 2、 设设xy2sin , ,则则y = =_._.3 3、 设设)arctan(2xy , ,则则y = =_._.4 4、 设设xycosln , ,则则y = =_._.5 5、 设设xxy2tan10 ，则，则y = =_._.6 6、 设设)(xf可导，且可导，且)(2xfy ， 则则dxdy= =_._.7 7、 设设xkexftan)( , ,则则)(xf = =_， 若若ef 4 ，则，则 k_._.练练 习习 题题48二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4

23、4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf, ,求函数求函数)()(22xgxfy 的导数的导数 . .四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .49一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5

24、、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；练习题答案练习题答案50 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三、三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .51思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x52思考题解答思考题解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和53一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设xxysin ，则，则y = = _._.2 2、 设设xe