高一数与式的运算

1、1.1数与式的运算1.1.1. 绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：x-1+x3>4.解法:由x-1=0,得x=1;由x-3=0,得x=3;若x<1,不等式可变为-(x-1)-(x-3)>4,即-2x+4>4,解得x<0,又x<1,.x<0;若1<x<2,不等式可变为(x-1)-(x-3)>4,即1>4,不存在满足条件的x

2、;若x至3,不等式可变为(x-1)+(x-3)>4,即2x-4>4,解得x>4.又x>5x>4.综上所述，原不等式的解为x<0,或x>4.解法二：如图1.11,|x-1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点TFx*-31>PCABD.x0134xy|x- 1|图 1. 1-1A之间的距离|PA,即|PA=|x1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB,即|PB|=|x3|.所以，不等式|x-1+|x-3>4的几何意义即为|PA+|PB|>4.由|AB|=2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)

3、的右侧.x<0,或x>4.练习1 .填空：(1)若x=5,贝1x=若x=卜4,贝1x=.(2)如果a+b=5,且a=1,则b=;若1一c=2,则c=2 .选择题：下列叙述正确的是()(A)若a=b,则a=b(B)若a|b,则ab(C)若a<b,则a|b(D)若a=|b,则a=±b3 .化简：|x5|2x13|(x>5).1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)(2)(3)(4

4、)(5)立方和公式立方差公式三数和平方公式 两数和立方公式 两数差立方公式对上面列出的五个公式,(a +b)(a2 -ab +b2) = a3 +b3 ；(a -b)(a2 + ab +b2) = a3 -b3;2222_(a+b+c) =a +b +c + 2(ab+ bc+ac);(a +b)3 =a3 +3a2b +3ab2 +b3;(a -b)3 =a3 -3a2b 3ab2 -b3.有兴趣的同学可以自己去证明.练1.例2解：习例1计算：(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).解法一：原式=(x2-1)(x2+1)2-x212 42=xT)(xx1)6=x-1.解法二：原

5、式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)3 3=x1)(x7)=x6-1.已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求a2+b2+c2的值.a2b2c2=(abc)2-2(abbcac)=8.121211/、1 9a4b=(2b+3a)；2 2、(2)(4m+)=16m+4m+();2222、(3)(a+2bc)=a+4b+c+().2.选择题：(1)若x2+1mx+k是一个完全平方式，则k等于()2(A)m2(B)1m2(C)1m2(D)m24316(2)不论a,b为何实数，a2+b2-2a-4b+8的值()(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负

6、数1.1.3.二次根式一般地，形如va（a20）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a+Ja2+b+2b,Ja2+b2等是无理式，而一c.29-9r&x+-x+1,x+T2xy+y,Ja等是有理式.1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如我与板,3舟与/，石+76与73-石，2«-3啦与2百+372,等等.一般地，aTx与vx,avx+bjy与avx-bjy

7、,ajx+b与ajx-b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式启狗=痴（220,b*0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式4a的意义例1将下列式子化为最简二次根式:(1) 卮；(2)Va2b(a>0);(3)j4X6y(x<0).解：(1)膺=2

8、值；(2) Ja2b=a|而=aVb(a>0)；(3) .4xy=2xM=-2xyy(x <0).例2计算：73-(3-73).解法一：收3-6=3-.33(33)(3-.3)(3.3)333一9-3_3(.31)6_31273-1(73-1)(73+1)解法二：73T(3-畲=-3=3-，33(、3-1)例3试比较下列各组数的大小:(1)丘一布和布；(2)，和20V6.,64解：(1).反_而=>-布=(/-据)唯+布11-1.12.11、12,1111-10(.ii-,w)(.1i10)1S'-1-711一行+屈'又.12、不17-.10,./-布布一布.

9、,-272-芯二迎运/五一附(2步而二2122+,62.2+.6又4>2版，.爬+4>市+272,.Y<272-76.64例4化简：(73+72)2004(出-72)2005.解：(、.3、.2)2004(.3-、.2)2005（、3、2）2004（、,3i2）2004（、,32）彳*+M（石-扬12004（6-历=12004.（串一版）=0一显.例5化简：(1)J94/；(2)Jx2+2(0<x<1).解：(1)原式=,5+475+4=7(V5)2+2x2x75+22=7(2-75)2=2-75=45-2.(2)原式=J(x)2=X-,XxX1/0<x&l

10、t;1,/.->1>X,所以，原式=X例6已知_ 3 - .23 ,2x=E2,y=ET求 3x2 5xy+ 3y2的值.1.1.4 .分式填空:(1)(2)(3)(4)2.3.4.xy33-22323 .2 , 3 - 2=1一 2_2_2_23x 5xy+3y =3(x+y) 11xy = 3M10 11 = 289.1-3前二 ；7(5-x)(x-3)2 =(x-3)V5-x,则 x 的取值范围是4724-6/54 +3廊-27150 =5 x 1 - , x -1, x 1, x -1右 x = 丁 则-=_尸=2. x 1, x-1、x 1 -，x-1选择题：等式 J x

11、 =- 成立的条件是x-2.x-2(A) x=2(B) x 0(C) x 2(D) 0 : x :二 2若b =a2 -112,求a+b的化比较大小：2第一乖也（填父，或之”）.1 .分式的意义.AA形如2的式子，若B中含有字母，且B#0,则称C为分式.当MWO时, BBA分式A具有下列性质：BA AM A A-MB" BM' B" B M上述性质被称为分式的基本性质.2 .繁分式a像 b m；n+p这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. cd 2mn p例1若ax4=£+E-,求常数A,B的值.x(x 2) x x 2解:.A B A(x 2)

12、 Bx (A B)x 2A 5x 4x x 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2)A B = 5, 2A=4,解得 A=2, B=3.111例2(1)试证：-1一 = 1-'(其中n是正整数)；n(n 1) n n 1(2)计算:(3)证明：对任意大于1的正整数n,11<一.n(n 1) 2(1)证明:.11(n1)-n1-=nn1n(n1)n(n1)111n(n1)nn1(其中n是正整数)成立.(2)解：由(1)可知111111=(1)()III (1-2)=11 2 2 39 1022 39 1010、111(3)证明：.'+,+ +12 3 3 4 n(n 1

13、) HT =("叱9一101n 1111-IIIn(n1)例3&e=,且e>1,2c25ac+2a2=0,求e的值.a解：在2c25ac+2a2=0两边同除以a；得225e+2=0,.(2e1)(e2)=0,1人，、.e=2<1,舍去；或e=2.-'e=2.习填空题：对任意的正整数n,1n(n 2)2.选择题:2x-y 2则广3.4.(A) 1(B)正数x,y满足22x -y一 111计算+1 2 2 3 3 4（C）:求二y的值.x y1(D)99 100习题1. 1A组解不等式: |x-1 >3;(2x+3+|x-2:二 7(3) x -1x +1 >6.3.填空：(1)(2+73)18(2-73)(2)若J(1-a)2+J(1+a)2=2,则a的取值范围是(3)1211111.22.33.44.5.5/6B组(1)a2.(2)若x2+xy-2y2=0,则2c2x3xyy2.2-xy1乘,百3，Vx-y五十石的值.(A) a <b (B) a>b(