z变换的终值定理

1、9.初值定理如果信号X ( t)的拉氏变换为 X ( S),且X ( t )在t = 0点不含有任何阶次的冲激函数各份 ,则：hn = jc(O+)(5.40)初值定理表明，s X ( s)的极限值等于信号 x ( t)在t = 0+点的初值，而 且，无论拉氏变换采用 0-系统还是0 +系统，所求得的初值都是在 t = 0+时刻的 值，证明如下。根据时域微分性质可知：£华=-式。一)1.(5.41)而由拉氏变换的定义可得：幽户曲出=f 皿卜7出+ j皿卜,i-出 ,山=武吟一式厂)+ j噜卜,0+(5.42)于是有：点=其吟+ j 誓产出一(5.43)lim 尸=0对此式两边取 r

2、的极限，由于当，且仅当 t> 0时，IT-因此：lun sZ(5)= X0 + )+虫白力山L di 1g n十迅.)对初值定理，也可利用信号x ( t )在t = 0+时刻的台劳级数来证明，其台劳级数为：/什)十月“口中+"口十)二+ A +-二！(5.44)式中，x(0+)是x ( t)在t = 0+时刻的n阶导数值。由于：1 产因此，对式(5.44)两边取拉氏变换后有：x(»= 户2T4工+1+产+)士 +八 S5S5,由此而得：lim sX = x(0 + )$8初值定理要求信号 x ( t)在t = 0点不含有任何阶次的冲激函数,这也就是要求 式(5.40)

3、中的X ( S)必须是一个真分式。如果 X ( S)是一个lim sX =co假分式，即当 X ( s )分子的阶次高于或等于分母的阶次时，i:式(5.40)将不成立。因此，如果 X ( S)是一个假分式时，则应先将它分解出一个真分式，然后再利用 式(5.40)求这个真分式所对应的信号初值。例如，如果S ,这是一个假分式，它不能直接利用 式(5.40)求得初值。= $ + L1但是，如果将其分解为s ,则可利用式(5.40)求得$所对应的信号初值为1。lim = x(D+) 5 T8(5.40)10.终值定理终值定理的形式类似于初值定理，它是通过变换式在£ T口时的极限值来求得信号的

4、终值，即lim旺-lim戏)3 To10(5.45)利用初值定理证明过程中所得到的式(5.43 )可以证明终值定理。由式(5.43 )知底)7优)+旅超"”出0+于是有：= H)+j竿小出=忒0*) +Lm 芯Q - a(0+)2T 0=lini x(t)f-> 9显然只有当信号 x( t )的终值存在时，才能利用 式(5.45)求得它的终值，否则将得到错误的结果。而要使x(t )的终值存在，则要求X ( s)的极点在左半s平面，如 果X ( s)在js上有极点的话，也只能是在原点上的一阶 极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值 存在。关于这个问题，可参阅“拉普拉

5、斯逆变换” 一节中的 讨论。至此，我们讨论了单边拉氏变换的主要性质，并求得了一些常见信号的变换式。表5.1和 表5.2分别列出了这些信号的变换式和拉氏变换的主要性质，以供读者查阅。虽然我们讨论的只是单边拉氏变换，但对双边拉氏变换而言，除了初值定理、终值定理和微分性质和单边拉氏变换略有不同外，其它的性质和单边拉氏变换是一样的。这两种变换之间并没有什么本质的区别，然而，如果要求解非零状态下的系统响应，则只能使用单边拉氏变换。4.5.8 终值定理若 式琦是因果序列，且已知其z变换为8则lim 确）=lim Cz 一1产9MT】.证明：因为wks2值间（线性性）人团R-刿6-了（时移性）取极限可得li

6、m3 -1）X（2）= x（0） + limx（w + 1）-武刃）J->1XT】=工 + lim zx（n +1）-六国），* 营-*1=':证毕由证明过程可以看出，终值定理只有在 存在时才可以应用，也就是说了（打的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上，则只能位于1三1点，且是一阶极点）。下面我们举例来说明终值定理的应用条件。例：设序列为 网力T+尸L，可求出其Z变换为 eT £-2,取极限可得但显然序列的极限并不存在，即hm忒用)一 一 不存在，所以1叫«-1活 h limx(用)ff->lLJ JWto导致上面这种“终值定理”不成立的原因是X(z)(还是X(z)(z-1