2018尖子生专训3相交线平行线含答案

1、尖子生专训3相交线平行线答案.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ/MN且ZBAN=45(1) 求a、b的值；(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.

2、若射出的光束交于点C,过C作CtUAC交PQ于点D,则在转动过程中，/BAC与ZBCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.解：(1).a、b满足|a-3b|+(a+b-4)2=0,.a3b=0,且a+b-4=0,.a=3,b=1; 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，当0vtV60时，3t=(20+t)X1,解得t=10;当60Vtv120时，3t-3X60+(20+t)X1=180°,解得t=85;当120Vtv160时，3t-360=t+20,解得t=190>160,(不合题意)综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；1

3、 设A灯转动时间为t秒，/CAN=1803t,ZBAC=45(180°3t)=3t-135°，又.PQ/MNZBCAWCBD/CAN=t+180°-3t=180°-2t,而ZACD=90,.ZBCD=90ZBCA=90(180°2t)=2t-90°,.ZBACZBCD=32,即2/BAC=BCD.如图1,MIN/PQ直线AD与MNPQ分别交于点A、D,点B在直线PQ上，过点B作BGAR垂足为G.(1) 求证：ZMAG+PBG=90;(2) 若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC,ZMAGZPBC的平分线交于点H,请在图2中

4、补全图形，猜想并证明/CBGZAHB的数量关系；(3) 若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出ZCBGW/AHB的数量关系.解：(1)如图1,.MIN/PQ.ZMAG=BDG.ZAGEABDG的外角，B(AD,ZAGBWBDG+PBG=90,二ZMAG+PBG=90;(2)2/AHZCBG=90或2ZAHB+ZCBG=90,证明： 如图，当点C在AG上时，.MM/PQZMAC=BDCZACABCD勺外角，.二ZACBWBDC%DBC=MAC+DBC.AH平分ZMACBH平分ZDBCZMAC=2MAH/DBC=2DBH二ZACB=2(ZMAH+D

5、BH,同理可得，ZAHBWMAHyDBH.ZACB=2(ZMAHDBH=2ZAHB又.ACABCG勺夕卜角，ZACBWCBG90°,.2ZAHBWCBG90°,即2ZAH田ZCBG=90;如图，当点C在DG上时，同理可得，/ACB=2AHB又BCG,ZACB=90ZCBG二2/AHB=90ZCBG即2ZAHB+ZCBG=90;(3)(2)中的结论不成立.存在：2ZAHB%CBG=270;2/AH田ZCBG=270. 如图，当点C在AG上时，由MM/PQ可得：ZACB=360-ZMAGZPBC=360-2(ZMAH+PBH,ZAHBWMAH-PBHACB=360-2ZAH日又

6、.ACABCG勺外角，二ZACB=90+ZCBG360°-2ZAHB=90+ZCBG即2ZAHB+ZCBG=270;如图，当C在DG上时，同理可得，ZACB=360-2(ZMAH+PBH,ZAHBWMAH%PBH.ZACB=360-2ZAH日又.RtBCG,ZACB=90-ZCBG360°-2ZAHB=90-ZCBG2ZAHB-ZCBG270°.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若

7、灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ/MN且ZBAMZBAN=21.(1)填空：ZBAN=60°(2) 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达B2前，A灯转动几秒，两灯互相平行？(3) 如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作ZACPQ于点D,且ZACD=120,则在转动过程中，请探究ZBAC与ZBCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.解：(1).BAMyBAN=180,ZBAMZBAN=21,ZBAN=180X=60°,故答案为：60; (

8、2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，当0vtV90时，如图1, .PQ/MNZPBDWBDAAC/BR.ZCAM=BDAZCAM=PBD'.2t=1?(30+t)，解得t=30;当90vtv150时，如图2,.PQ/MNZPBD*BDA=180,vAC/BD,.ZCAN£BDA.ZPBD+ZCAN=1801?(30+t)+(2t-180)=180,解得t=110，综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；(3)/BACZBC以系不会变化.理由：设灯A射线转动时间为t秒,/CAN=1802t,ZBAC=60(180°2t)=2t-120°,

9、又.ZABC=120t,.ZBCA=180°ZABOZBAC=180t,而ZACD=120,ZBCD=120ZBCA=120(180°t)=t-60°,/BAGZBCD=21,即ZBAC=ZBCDZBAC和ZBC以系不会变化.4.如图1所示，已知BC/OA/B=ZA=120°(1) 说明OB/AC成立的理由.(2) 如图2所示，若点E,F在BC上，且/FOCWAOCOE平分ZBOF求ZEOC勺度数.(3) 在(2)的条件下，若左右平移AC,如图3所示，那么/OCB/OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值.(4) 在(3)

10、的条件下，当/OEBWOCA寸，求/OCA勺度数.解：(1).BC/OAZB+ZO=180,ZO=180-ZB=60°,而ZA=120°,.ZA+ZO=180,二OB/AC;(2) .OE平分ZBOFBOEWFOE而ZFOC£AOCZEOF+ZCOFWAOB=<60°=30°,即ZEOC=30;(3) 比值不改变.BC/OAZOCBWAOCZOFBWAOE.ZFOCWAOCZAOF=AOCZOFB=OCB即zOCB/OFB的值为1:2;(4) 设ZAOC勺度数为x,则ZOFB=2x.ZOEBWAOEZOEBWEOCAOC=30+x,而ZO

11、CA=180ZAOGZA=180°x-120°=60°x,.ZOEBWOCA30°+x=60°-x,解得x=15°,二ZOCA=60-x=60°-15°=45°.5.已知，直线AB/DC点P为平面上一点，连接AP与CP(1) 如图1,点P在直线ABCD之间，当/BAP=60,/DCP=20时，求ZAPC(2) 如图2,点P在直线AB、CD之间，/BAP与ZDCP的角平分线相交于点K,写出/AKC与ZAPC之间的数量关系，并说明理由.(3) 如图3,点P落在CD外，/BAP与ZDCP的角平分线相交于点K,Z

12、AKC与ZAPC有何数量关系？解：(1)如图1,过P作PE/AB,.AB/CDPE/AB/CD/APEWBAP,/CPEWDCP.ZAPCWAPE+ZCPEWBAP%DCP=60+20°=80°(2) ZAKCWAPC理由：如图2,过K作KE/AB,.AB/CDKE/AB/CR/AKE=ZBAKZCKEWDCK二/AKCWAKE%CKEWBAK+ZDCK过P作PF/AB,同理可得，/APCWBAP#DCP:ZBAP与ZDC吒勺角平分线相交于点K,ZBAK+ZDCKWBAP+ZDCP=(ZBAP+ZDCP=ZAPG二ZAKCWAPC6. ZAKCWAPC理由：如图3,过K作K

13、E/AB.AB/CDKE/AB/CD.ZBAKWAKEZDCKWCKE/AKCWAKE-/CKEWBAF/DCK过P作PF/AB,同理可得，/APCWBAP-ZDCPBAP与ZDCP的角平分线相交于点K,/BAK-/DCKWBA氏/DCP=(ZBAFZDCP=ZAPC二/AKCWAPC如图，已知AWBNZA=60°.点P是射线AM山一动点(与点A不重合)，BGBD分别平分/ABP和ZPBN分别交射线AM于点C,D.(1)求ZCBD勺度数；(2) 当点P运动时，/APB与ZADB间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.(3) 当

14、点P运动到使/ACBWABD时，ZABC的度数是30°.解：(1).AM/BNA+ZABN=180,.A=60°,ZABN=120,BGBD分别平分ZABP和ZPBNZCBPMABP,ZDBPWNBP.ZCBDWABN=60;不变化，ZAPB=ZADB证明：.AM/BN.APBWPBNZADBWDBN又.BD平分ZPBN.ZPBN=DBN.ZAPB=NADB.AD/BN,ZACBWCBN又ACBWABR.二ZCBNWABD.ZABCWDBN由(1)可得，ZCBD=60,ZABN=120,.ABC=(120°-60°)=30°,故答案为：30&#

15、176;.数学思考：(1)如图1,已知AB/CR探究下面图形中/AP胡日ZPABZPCD的关系，并证明你的结论推广延伸：(2)如图2,已知AA/BA,请你猜想/A1,ZB1,ZB2,ZAZA的关系，并证明你的猜想；如图3,已知AA/7BA,直接写出ZA,ZB1,/<B2,*、,ZBn1、/:An的关系拓展应用：（3）如图4所示，若AB/EF,用含a,6,丫的式子表示x,应为B°+a+$丫。一a一丫+3C.$+YaD.a+3+Y如图5,AB/CD且ZAFE=40,/:FGH=90,/HMN=30,ZCNP=50,请你根据上述结论直接写出ZGHM的度数是30°.解：(1)

16、证明：如图1,过点P作OP/AB,.AB/CDOP/AB/CR.1=ZPABZ2=ZPCDZAPCW1+Z2=ZPAB+ZPCD即ZAPCWPAB%PCD如图2,过点A作A2O/AA,由(1)可知/B=ZA+Z1,ZB=Z2+Z色，所以，/B1+Z&=ZA1+ZAa+ZA;如图3,由可知：/A+ZAa+ZAn=ZBi+ZB2+B1；如图4,过Zx的顶点作CD/AR则Zx=(180°a)+(6-丫)=180°a一丫+6,如图5,由(1)可知，40°+ZGHM+0°=ZG+ZMG=90,ZM=30,ZGHM=90+30°-40°-

17、50°=30°.故答案为：B;30°.8 .已知直线AB/CD(1) 如图1,直接写出/ABE/CDEDZBED之间的数量关系是ZABE%CDEWBED.(2) 如图2,BF,DF分别平分/ABEZCDE那么/BFD和ZBED有怎样的数量关系？请说明理由.如图3,点E在直线BD的右侧，BF,DF仍平分/ABEZCDE请直接写出/BFD和ZBED的数量关系2/BFD+ZBED=360.解：(1)ZABE+ZCDEWBED理由：如图1,作EF/AR.直线AB/CDEF/CD.ZABEW1,ZCDE£2,ABE+ZCDEW1+Z2=ZBED即ZABE+ZCDE

18、WBED故答案为：ZABE+ZCDE=BEDZBFDWBED理由：如图2,BF,DF分别平分/ABEZCDEZABFWABEZCDFWCDEZABF+ZCDFWABE+ZCDE=(ZABE+ZCDE,由(1),可得ZBFDWABF+ZCDF=(ZABE+ZCDEZBEDWABE+ZCDE二ZBFDWBED(2) 2ZBFD%BED=360.理由：如图3,过点E作EG/CD，:AB/CD,EG/CDAB/CD/EGZABE+ZBEG=180,/CDE%DEG=180,.ZABE+ZCDE%BED=360,由(1)知，ZBFDWABF+ZCDE又.BF,DF分别平分ZABE,ZCDEABF=ZAB

19、E,ZCDFWCDE.ZBFD=(ZABE%CDE,-2ZBFD+ZBED=360.故答案为：2ZBFD%BED=360.9 .已知AWCN点B为平面内一点，ABLBC于B.(1) 如图1,直接写出/A和ZC之间的数量关系ZA+ZC=90;(2) 如图2,过点B作BDLAM于点D,求证：/ABDWC;如图3,在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF,BF平分ZDBCBE平分ZABR若ZFCB+ZNCF=180,ZBFC=ZDBE求ZEBC的度数.解：(1)如图1,.AM/CN"C=ZAOB.ABLBC,.二ZA+ZAOB=90,ZA+ZC=90,(2)如图2,过点B

20、作BG/DM.BDLAM-DlBG即ZABD%ABG=90，又:ABLBGZCBG/ABG=90°,.ZABDWCBG.AM/CNBG/AM-CN/BG二ZC=ZCBG二ZABDWC;（3）如图3,过点B作BG/DM.BF平分ZDBCBE平分ZABD.ZDBFWCBFZDBEWABE由（2）可得ZABDWCBGZABF=ZGBF设ZDBEm,ZABF邛，则ZABE%,ZABD=Z=ZCBGZGBF*=ZAFB,ZBFC=ZDBE=&,AFC=&+6,.ZAFC+ZNCF=180,ZFCB+ZNCF=180,FCBWAFC=3a+6,BCF中，由ZCBF%BFCVBCF

21、=180，可得（2a+。）+3a+（3a+。）=180°,由ABLBG可得3+6+2a=90°,由联立方程组，解得a=15°,ZABE=15,.EBCMABE%ABC=15+90°=105°.10. 已知直线1112,直线13和直线11、l2交于点C和D,点P是直线l3上一动点（1）如图1,当点P在线段CD上运动时，/PACZAPBZPBD之间存在什么数量关系？（2）当点P在GD两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3）,上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出ZPACZAPB/PBD之间的数量关系，不必写理由.解：（1）

22、ZAPBWPAC+ZPBD如图1,过点P作PE/11,二ZAPEWPAC.'11/12,.PE/12,/BPE=ZPBR/APE+ZBPE=ZPACVPBD二/APBWPAC+ZPBD（2）不成立，如图2:ZPACWAPB+ZPBD理由：过点P作PE/11,二ZAPE=ZPAC11/12,二PE/12,/BPE=ZPBR.ZAPBWAPE-ZBPEWPAO/PBD二/PACWAPB+ZPBD如图3:ZPBDWPAC%APB理由：过点P作PE/11,APEWPAC1112,.PE/12,ZBPE=ZPBD11. .APB=ZBPBZAPEWPBAZPAG二匕PBDWPAC+ZAPB已知，

23、ZAOB=90，点C在射线。腥，CD/OE(1) 如图1,若ZOCD=120，求ZBOEB勺度数；(2) 把“ZAOB=90”改为“/AOB=120”，射线OE沿射线OB平移，得O'E,其他条件不变，(如图2所示)，探究ZOCDZBOE的数量关系；(3) 在(2)的条件下，作PO上。酢足为O',与/OCD勺平分线CP交于点P,若/BOE=a,请用含a的式子表示ZCPO(请直接写出答案).解：（1）.CD/。匕.ZAOEWOCD=120,.ZBOE=36090°-120°=150°（2）如图2,过。点作OF/CD,.CD/。匕.OF/OEZAOF=1

24、80ZOCDZBOFWEOQ=180-ZBOE,ZAOBWAOF+ZBOF=180-ZOCD+80°-ZBOE=360°-(ZOCDVBOE)=120°,二ZOCDVBOE=240°CP是ZOCD勺平分线，/OCPWOCDCPO=360°-90°-120°-ZOCP=150-ZOCD=150-(240°-ZBOE)=30°+a.12. 探究：如图，已知直线l1/l2,直线l3和l1,l2分别交于点C和D,直线l3上有一点P.(1) 若点P在GD之间运动时，问/PACzAPBzPBD之间有怎样的关系？并说明

25、理由.(2) 若点P在GD两点的外侧运动时(点P与点GD不重合)，请尝试自己画图，写出ZPACZAPR/PBD之间的关系，并说明理由.(3) 如图，ABIIEF,ZC=90,我们可以用类似的方法求出毫、Z。、2丫之间的关系，请直接写出Za、Z6、Z丫之间的关系.解：(1)如图，当P点在GD之间运动时，/APBWPAC%PBD理由如下：过点P作PE/l1,(2) l1/l2,PE/12/l1,ZPACW1,ZPBDW2,ZAPBW1+Z2=ZPAC%PBD如图甲，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，/PBDWPACVAPB.理由如下：l11Il2,ZPECWPBD.ZPECWPAC+Z

26、APB二ZPBDWPAC+ZAPB.如图乙，当点P在GD两点的外侧运动，且在l2下方时，ZPACWPBD%APB理由如下：l11Il2,ZPEDWPAGZPEDWPBD+ZAPB二ZPACWPBD+ZAPB.(3) Za+Z6-Z丫=90°.证明：如图，分别过GD作AB的平行线CM和DN.AB/EF,AB/CM/DN/EF,二Za=ZBCM/MCD=NDCZNDE£丫，./a+Z3=ZBCM+CDN+NDEWBCM+MCD+丫，又.BCLCD二ZBCD=90,Za+Z3=90°+Z丫，即Za+Z6-Z丫=90°.13. 如图1,AB/CDE是ABCD之间

27、的一点.(1) 判定/BAEZCDE与ZAED之间的数量关系，并证明你的结论；如图2,若ZBAEZCD曰勺两条平分线交于点F.直接写出/AFD与ZAED之间的数量关系；将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若ZAGD勺余角等于2ZE的补角，求/BAE的大小.解：(1)ZBAEVCDEWAED理由如下：作EFIIAB,如图1,.AB/CDEF/CD"1=ZBAE/2=ZCD""BAE%CDEWAED如图2,由(1)的结论得/AFDWBAF+ZCDF.ZBAEZCDE的两条平分线交于点F,BAF=ZBAEZCDFWCDE(2) AFD=(ZBAE+ZCDE,

28、ZBAE+ZCDEWAED.ZAFDWAED由(1)的结论得/AGD£BAFVCDG而射线DC沿DE翻折交AF于点G,ZCDG=4CDEZAGD£BAF+4ZCDFWBAE+必CDEWBAE+2(ZAEt>ZBAB=2ZAEAZBAE,.90°-ZAGD=180-2ZAED90°-2/AED%BAE=180-2ZAED二/BAE=60.(1) 如图1.将线段AB平移至CD使A与D对应，B与C对应，连ADBC填空：AB与CD的关系为AB/CD且AB=CD,/B与ZD的大小关系为相等如图2,若ZB=60°,F、E为BC的延长线上的点，/EFD

29、=ZEDF，D时分ZCD咬BE于G求FDG在(2)中，若ZB=a，其它条件不变，则ZFDG.(2) 解：(1)AB/CD且AB=CDZB与ZD相等；.AB/CD,ZDCEWB,由三角形的外角性质得，/CDFWDFE-/DCE/CDG=CDF%FDGWDFE-/DCE/FDG在DEF中，ZDEF=180-2/DFE在DFG中，ZDGF=180-ZFDGZDFE,.ZEDGWDGLZDEF=180-ZFDGZDFEH(180°-2/DFE=2ZDFE-ZFDGZDFE,.DG平分ZCDE./CDG=EDG./DFE-/DCEVFDG=DFE-/FDG/DFE,.ZFDGWDCE即ZFDG

30、WB,.ZB=60°,.ZFDG=<60°=30°思路同(2),B=a,FDG=故答案为：(1)AB/CD且AB=CD相等；(3).14. 问题情境：如图1,AB/CDZPAB=130,ZPCD=120，求ZAPC的度数.(1) 小明的思路是：过P作PE/AB,通过平行线性质来求ZAPC按小明的思路，易求得ZAPC的度数为110度;(2) 问题迁移：如图2,AB/CD,点P在射线O"运动，记/PABz,ZPCD喑，当点P在B、D两点之间运动时，问/APC与a、3之间有何数量关系？请说明理由；(3) 在(2)的条件下，如果点P在8D两点外侧运动时(点P与点。B、D三点不重合)，请直接写出/APC与a、6之间的数量关系.解：过点P作PE/AB,.AB/CD-PE/AB/CD.ZA+ZAPE=180,ZC+ZCPE=180,.ZPAB=130,ZPCD=120,.AFE=50°,ZCPE=60,.ZAPCWAPE%CPE=110.ZAPCm+6,理由：如图2,过P作PE/AB交AC于E,