国小四年级学童长度概念之研究

1、國小四年級學童長度概念之研究戴政吉高雄縣前峰國民小學TEL：（07）6262415E-mail：expo3256劉曼麗國立屏東師範學院數理教育研究所TEL：（08）7226141轉6103FAX：（08）7239847E-mail：.tw摘要 本研究之研究方法是屬於調查研究法，研究的主要目的是以紙筆測驗及實測方式調查四年級學童在長度概念的瞭解情形與常犯錯誤，並且利用與學童的個別晤談來深入瞭解其迷思概念。紙筆測驗是以高雄縣市四所小學之四年級學童共299人為樣本，其中晤談部分有59人，另外實測測驗的樣本有33人。資料分析是以描述分析及內容分析法為主。研究結果發現

2、如下：一、國小四年級學童對於長度概念的瞭解尚待加強。二、國小四年級學童在形成長度概念時，可能會造成他們解題錯誤的原因有：（一）有些學童在測量物體長度時，是以右邊端點所對齊之直尺上的刻度為該物體長度。（二）有些學童在測量物體長度時，是以點數物體所對直尺上的刻度數為該物體的長度。（三）有些學童會將周長與面積兩個公式互相混淆。（四）有些學童在解題時，只是直覺的以圖形出現的數字代入公式或湊出答案。（五）有些學童對長度的量感不足，導致估測出的答案是錯誤的，而且答錯的學童大都是將物體的長度高估。關鍵詞：迷思概念、長度、周長一、研究動機與目的長度是同時具有幾何與測量性質的量化概念，它表示了物件所佔之一維空間

3、的大小。學童在學習這個概念時，對於有些部分不容易理解，甚至出現混淆的現象。例如：當單位量改變時，則兒童往往對於基準量的大小與複製結果的關係混淆不清，誤認為當基準量遞減時，度量所得的結果也愈小（高敬文，民78；Kutz, 1991）。從許多研究中均發現學生容易對周長與面積的觀念產生混淆（周武男，民77；高敬文，民78；Hart, 1981；Reinke，1997），上述研究的對象大多是五、六年級學童，較缺乏四年級學童的相關研究資料，因此本研究以國小四年級為對象，以長度概念（測量概念與估測概念）為主要內容，探討四年級學童對這個概念的瞭解情形，以及在形成這個概念時，他們可能會出現的迷思概念。希望藉由

4、這個研究使得國小教師在長度概念的教學上能有所助益。二、研究方法（一）研究對象本研究先以高雄縣甲國小與乙國小的四年級（甲國小有10班，乙國小有5班）每班各3名學童，共45名學童作為填寫開放性試題的預試樣本。每班3名學童是由該班數學教師選出數學程度高、中、低各1人，但程度低的學童必須達到能理解一般文字語句。其次，以甲國小兩班學生共73名（扣除6名曾填寫過開放性試題的學生）作為封閉性試題的預試樣本。最後，從高雄縣甲、乙兩所國小及高雄市丙、丁兩所國小的四年級，每所國小各選擇兩個班級共8班，總計299人作為正式封閉性試題的研究樣本，其研究樣本數統計如表1：表1 研究樣本數統計表縣市學校名稱選取班級數人數

5、高雄縣甲國小280乙國小274高雄市丙國小272丁國小273合計8299參加實作的樣本是以填寫開放性試題的45名學童扣掉正式研究樣本的12人，剩下的33名學童為樣本。晤談對象是根據所有題目錯誤選項百分率較高者，再從選擇該選項的學童中隨機選出，其人數共有59人。（二）研究工具本研究所選用的工具為研究者依研究目的而編製的開放式測驗卷作為預試工具。針對開放性試題所蒐集到的錯誤，將較多學童所犯的錯誤及該題答案編製為選擇題的選項，完成一份封閉性試題，以便做大樣本的施測，蒐集到較多的資料。為了彌補紙筆測驗不足以測量出學童是否能進行實測，所以又編製一份實測的測驗卷，以收集學童在作實測時的表現。封閉式測驗卷與

6、實測測驗卷的試題分配情形及概念瞭解分析表如表2：表2 試題分配及概念瞭解分析表概念概念瞭解分析題號筆試實測長度測量概念（1）測量學童是否能正確使用測量工具，及使用時，會出現哪些錯誤。（2）測量學童是否能以工具移動、等分觀念與倍數觀念來求出周長，並看看他們會出現哪些錯誤。B1、B2、B3、B4、C3、C4估測概念測量學童是否能運用基本單位或特定長度的量感去合理估計物體的長度，並看看他們在估計時，會出現哪些錯誤。B5、B6、C1、C2 本研究之封閉性試題的隔兩週再測信度（Pearrson積差相關）為 .701。在效度方面，本研究的試題編製是在確定研究的內容與重點後，再從相關研究文獻中搜尋適合的題目

7、或是由研究者自行設計試題，設計完成後，經過二次預試及參考一位資深國小數學教師（教學年資10年）與在師院教授數學教育相關科目的兩位老師之建議，經修改才完成封閉性試題。另外，再以學生四年級上學期的數學成績為外在效標，求得第二次預試分數與外在效標的Pearson相關係數為 .617。（三）資料蒐集與分析 就筆試資料來說，統計選擇題各選項的圈選人數，再將各選項的圈選人數除以總樣本數，算出其百分比，將學童通過各題情形的統計數字製成統計表，以利分析比較。就實測資料來說，將學童的實測情形以錄影方式記錄，以實測所得的資料做為紙筆測驗與晤談資料的補強，期待能更深入瞭解學童的想法。由研究者與2名研究生共同討論測量

8、與估測合理值的範圍。本研究在統計單一線段估測結果時允許每次估計長度時有（5公分到5公分）的誤差，所以單一線段長度的合理估測值的範圍是（實際值5）公分到（實際值5）公分，因為大多數學童在估測實驗桌的周長時是以公式運算出來的，所以周長的合理估測值的範圍是（實際值20）公分到（實際值20）公分。凡是在此範圍以內，本研究均將其視為合理的估測數值。另外，本研究在統計單一線段測量結果時允許每次測量的合理長度在（實際值2）公分到（實際值2）公分的範圍內。因為大多數學童在測量實驗桌的周長時是以公式運算出來的，所以測量周長時所允許的合理測量值的的範圍是（實際值8）公分到（實際值8）公分。凡是在合理測量值的範圍以

9、內，本研究均將其視為合理的測量數值。 就晤談資料來說，根據學童答題狀況與參考文獻探討內容進行半結構式晤談，晤談過程以錄音、錄影記錄之，再將錄音、錄影的資料轉錄成書面資料。三、研究結果與討論（一）筆試的整體表現 統計答對長度測量概念與估計概念試題（見表2）的比率，將其製成表3：表3 國小四年級學童紙筆測驗平均答對率統計表（N299）試題類別比率長度測量概念長度估測概念B1B2B3B4B5B6答對率81.973.240.551.869.649.2平均答對率61.8559.4平均答對率61.03 由上表知，全部試題的平均答對率大約六成，學童在長度測量概念試題的答對率比估測概念還來得高些。學童在題B3

10、及B4表現較差，而且題B3僅有40.5的答對率，其中題B3為求長方形周長，題B4為求正方形周長，由此可知四年級學童求周長的答對率較差，這很可能是因為他們對於周長概念的瞭解不夠清楚。比較估測概念的兩個題目之答對率，可發現題B5比題B6高出20.4，然而這兩題最大的差別只在其被估測線段的長度，由此可知，當被估測物的長度增加時，其答對率會降低。（二）長度測量概念長度測量概念的試題共有四題，學生在每一題的答題結果統計如表4：表4 國小四年級學童在長度測量概念試題之答題統計表題目選項（人數）空白題B112.8(38)81.9(245)3.0(9)2.3(7)0.0(0)題B273.2(219)0.3(1

11、)0.7(2)24.5(73)1.3(4)題B38.7(26)40.8(122)40.5(121)9.7(29)0.3(1)題B427.8(83)9.0(27)10.7(32)51.8(155)0.7(2)有的選項為正確答案 由上表可知，學童在四題的表現中，在題B1的答對率較高，在題B3的答對率最低，不過在四題的錯誤選項中，都有一個選項的被選率特別高，在題B1是j一樣長，在題B2是m7公分，在題B3是k6公分，在題B4是j9公分，顯然這四個選項中必定有某些特質足以引發學童去選擇該選項，這些可從與學童的晤談內容可再做分析。題目：以下針對這四題的結果，並輔以訪談資料加以討論。（ ）B1、甲

12、0;     乙       上圖中，甲、乙兩條線，哪一條比較長？ 一樣長 乙 甲 不能比較討論：從與學童的晤談內容中，可發現答對題B1的人有些是以點數線段所佔的格子來判斷其長短，從晤談資料中也發現他們的正確答案較穩固，不會時常變更其選擇。在答錯的學童當中，有12.7的人認為甲、乙線一樣長，但在晤談過程中，學童也能馬上更改其錯誤答案，使其成為正確答案。例如：C0429看錯點數格子R：為什麼你這一題的答案會選擇呢？S：因為這兩條線都佔了1、2、3、4、5，5格。R：你確定它們兩

13、個都是5格嗎？S：這個（甲線）是4格半。R：那你當初在寫的時候為什麼會選呢？題目：S：因為沒有看清楚。甲（ ）B2、          公分 0 1 2 3 4 5 6 7 8  上面的尺是學生常用的公分尺。請問甲線的長度是多少？ 6公分 1公分 4公分 7公分討論：在答對題B2的人中，有些是以點數線段所佔的格子解題，有些是以分合移補的方式解題，例如：C0823分合移補R：為什麼你會認為這一題答案是6公分？S：因為這裡（手指線段開端）沒有到0，然後我把這裡（手指6到7公分這一

14、段）切過來放到這裡（0到1公分這一段）。在答錯的人中，以選擇7公分者最多，佔了24.5，因此晤談對象就以選擇7公分的人為主。從他們的晤談資料中可發現有些人是以兩數相減為解題依據；有些人是以點數刻度方式解題，例如：C0826兩數相減R：為什麼你這一題的答案寫？S：因為它沒有從0開始，是從1開始，然後如果要算它的長度，就要用7減掉0，等於7。 C0836點數刻度R：為什麼這一題的答案會選7公分。題目：S：就是1、2、3、4、5、6、7（手指著尺上的刻度點數）。公分公分甲圖3公分乙圖B3-B4、下面兩個圖形，甲圖是長方形，乙圖是一個正方形，請分別算出甲圖和乙圖的周長。 （ ）B3、請問甲圖的周長是多

15、少？ 13公分 6公分 10公分 5公分 （ ）B4、請問乙圖的周長是多少？9公分 3公分 6公分 12公分 討論：在題B3中，從晤談內容當中可發現有些答對學童對於周長有清楚的認識。可是也發現原本答對的學童在晤談中將其正確答案（10公分）更改為6公分，即使研究者提醒他當初算的答案是10公分，他亦是堅持其答案是6公分。從訪談中，可發現有些學童把焦點集中在有數字的邊上，沒有數字的邊對他來說似乎是不重要的，可以忽視的。答錯的學童大部分將甲圖的周長算成6公分，從晤談內容可發現學童大都是利用長方形面積公式求周長，另外有些是只加有數字的邊，例如：C0412只加有數字的邊R：你怎麼算出答案的？S：周長就算出

16、長和寬就可以了，所以我就用2加3。題B4雖然也是求周長，但這一題卻比題B3的答對率高出11.3，這兩題除了形狀稍有差別外，最主要的差別在題B4只呈現一個數字，再從晤談資料來看，兩題受訪者的解題策略均未著眼於形狀，因此，數字的呈現促使在B3犯錯的學童容易將題目呈現的兩個數字代入長方形面積公式，這可能是造成答對率有差別的主要因素。從晤談內容可發現在題B4答錯的學童之解題策略有利用正方形面積公式及只看有數字的邊，例如：C0835利用正方形面積公式R：那你是怎麼算出9公分的？S：我就用3乘以3，就得到9公分了。C0838只看有數字的邊R：你怎麼知道這一題的答案？S：因為這裡只有一個3公分，所以答案是3

17、公分。在求周長題目中出現的主要錯誤大都是由於誤用面積公式造成，由此可見面積公式（長方形與正方形）在大多數學童認知結構中形成一個計算的樣版，加上學童大多喜歡利用公式解題，而且對公式的來由不求甚解，所以造成學童不易答對周長問題。另外學童也容易將注意力集中在題目出現的數字，較不容易自行發現隱含於題目中的其它數字或資訊，因而造成解題錯誤，但從晤談中，亦可發現這些學童在問題的引導下，也有可能自行發現錯誤，將錯誤答案更正。從晤談內容可發現學童在形成長度的測量概念時，可能會產生的迷思概念有下列幾點：1. 有些學童在測量物體長度時，是以右邊端點所對齊之直尺上的刻度為該物體長度。2. 有些學童在測量物體長度時，

18、是以點數物體所對直尺上的刻度數為該物體的長度。3. 有些學童會將周長與面積公式混淆，例如：將長×寬當作是長方形周長公式。4. 有些學童在解題時，只是直覺的以圖形出現的數字代入公式或湊出答案。（三）長度估測概念題B5及B6分別要學童去估測他們常接觸到的10公分以內之線段長度。根據學童在長度估測概念試題的答案，將其統計如表5：表5 國小四年級學童在長度估測概念試題之答題統計表題目選項（人數）空白題B50.7(2)69.6(208)26.1(78)3.7(11)0.0(0)題B63.3(10)19.7(59)49.2(147)27.8(83)0.0(0) 由上表可發現，學童在題B5的答對率

19、比題B6還高。有趣的是，在題B5中，比較接近正確答案的是j1公分，可是l7公分的被選率卻比j來得高；在題B6中，比較接近正確答案10公分的是k8公分，可是m15公分的被選率卻比k來得高。由此可知，學童在估測長度時，傾向於高估答案。以下針對題B5及B6的結果，並輔以訪談資料加以討論題目：B5-B6、請你估計一下，下面兩條直線各有多長？ （ ）B5、請問圖那條線段有多少公分？1公分3公分7公分12公分圖圖 （ ）B6、請問圖那條線段有多少公分？5公分8公分10公分 15公分（此圖為縮小圖，比原比例小50）討論：根據晤談資料分析，答對題B5的學童主要的解題策略有刪除不可能的答案，例如： C0427刪

20、除不可能的答案R：請問你這一題為什麼選3公分？S：因為它對1公分來說太長；對7公分來說太短；對12公分來說也太短，所以以3公分較接近。在題B5答錯學童的解題策略有利用直覺判斷，例如： C0809利用直覺判斷R：為什麼你會覺得它是7公分？S：我就是這樣猜的。根據晤談資料分析，答對題B6的學童主要的解題策略有先標示出單位長度，再憑記憶修正單位長度的標示，例如： C0807先標示出單位長度，再憑記憶修正單位長度的標示R：可是你上面不是有做記號嗎？（該生在線段上以鉛筆畫出8格大小大約相等的小線段）我幫你數了一下，這裡有8段，那你為什麼會認為是10公分？ S：因為我考試沒有用尺，只是，反正我就是憑記憶啦

21、！R：所以你上面畫的這個不代表一格就是1公分囉？S：對。答錯的學童之解題策略有利用長度量感判斷及先形成1公分的心像，再根據此心像排列，例如： C0815利用長度量感判斷R：你為什麼會認為答案是8公分？S：因為我平時在用尺量的時候，我都有感覺，這條線我感覺它像是我平時用尺量的8公分。 C0822先形成1公分的心像，再根據此心像排列R：那你為什麼會認為是8公分？S：我就大概量出1公分大約是多長，然後再一個一個慢慢量。R：你有用到尺嗎？S：沒有，我是在心裡想像的。 從統計資料來看，當長度變大時，學童的答對率就會降低，相對的就會出現較多的錯誤。比較每題靠近正確答案的上下兩個選項（數字超過與未超過），可

22、發現總是較多人選擇數字超過的那個選項，這意味著錯誤的學童傾向於高估答案。綜合估測概念試題的晤談內容可發現造成學童答題錯誤的原因有：（1）對長度的量感不足；（2）傾向於將物體的長度高估。（四）實測 統計通過各部分試題人數比例，將其製成表6：表6 國小四年級學童實測平均答對率統計表（N33）試題類別比率長度估測概念長度測量概念C1C2C3C4答對率18.2平均答對率30.327.3平均答對率28.8 將表6與表3作一比較，可發現表6中的平均答對率完全小於表3的，造成這樣差異的可能原因除了作答方式不同及實測值合理性認定之外。在估測概念部分可能原因是被測物不再是一個平面上的圖形，

23、而是一個實際物體，另外一個可能造成差異的原因是被測物的長度數值增加導致長度估測困難，而且數字變大也會使學童在計算周長時容易發生錯誤；在測量概念部分可能的原因除了測量實際物體的困難外，最主要原因是學童還不太熟悉皮尺之刻度的讀法，這顯示學童缺乏實際情境下讀取皮尺刻度的經驗，另一個原因是長度測量值變大，會使學童在計算周長時容易發生錯誤。題目：C1、估估看，研究者有多高？ C2、估估看，自然教室的實驗桌周長有多少？C3、量量看，研究者有多高？C4、量量看，自然教室的實驗桌周長有多少？討論：題C1是估測研究者的身高，通過率是51.5，比估測實驗桌周長題C2的9.1高出許多，可見學童在身高估測的表現較好。

24、同樣地，學童在實際測量研究者身高的通過率（題C3之36.4）也是高於測量實驗桌周長的通過率（題C4之18.2），但是測量身高時，皮尺兩端刻度較難對齊研究者，而且較難完全垂直地面，而測量桌面就沒有這個問題，照理說測量桌面的周長應該會比測量身高來得容易，可是結果卻相反，這是因為學童實際測量桌子周長時喜歡利用公式，但卻容易用錯公式及計算錯誤，所以才造成這種結果。四、結論與建議（一）結論 1.國小四年級學童在長度測量概念有61.85%通過紙筆測驗，有30.3通過實測測驗；在長度估測概念有59.4通過紙筆測驗，有27.3實測測驗。綜合關於長度的紙筆與實測測驗結果，國小四年級學童有61.03通過長度概念的

25、紙筆測驗，有28.8的學童通過長度概念的實測測驗。由此可見，國小四年級學童對長度的實測尚待加強。 2. 國小四年級學童在形成長度概念時，可能會造成他們解題錯誤的原因有： （1）有些學童在測量物體長度時，是以右邊端點所對齊之直尺上的刻度為該物體長度，類似的結果也出現在一些研究中（高敬文，民78；譚寧君，民88；Hiebert, 1984）。 （2）有些學童在測量物體長度時，是以點數物體所對直尺上的刻度數為該物體的長度，類似的結果也出現在譚寧君（民88）的研究中。 （3）有些學童會將周長與面積公式混淆，例如：將長×寬當作是長方形周長公式。類似的結果也出現在一些研究中（高敬文，民78；譚寧

26、君，民84，民87； Hirstein, 1981； Reinke, 1997； Menon, 1998）。 （4）有些學童在解題時，只是直覺的以圖形出現的數字代入公式或湊出答案。 （5）有些學童對長度的量感不足，導致估測出錯誤的答案。 （6）學童傾向於將物體的長度高估。（二）建議 1. 對數學教育的建議 （1）在建立學童長度測量概念時，應提供他們實際測量各種物體長度及物體與物體之距離的機會，讓他們實際練習讀取公分尺與皮尺上的數值，充實其實際測量的經驗與培養長度的量感。等到他們累積了足夠的實際測量經驗後，再讓他們從事長度實測活動的練習，先進行估測，然後進行實際測量，比較估測與實際測量所得到之數

27、值的差別，讓學童有機會修正自己的量感與估測策略。 （2）應該先讓學童將周界、邊、面、周長、邊長、長度（長）、寬度（寬）、面積等相關概念分辨清楚，然後讓他們以直尺及邊長1公分的小方瓦實際測量已知面的周長與面積，再讓他們自行將圖形畫在方格紙（畫有許多邊長1公分的小正方形）上，並且算出圖形的周長與面積，然後逐漸將圖形慢慢改為長方形與正方形，再將長方形與正方形自方格紙移至一般白紙上，並且標示邊長，要求學童自行在其上畫出1平方公分的小方格，求出其周長及面積，在練習及教師引導下，由學童共同歸納出長方形與正方形周長及面積公式，但教師不宜太強調公式，應由學童自行決定是否使用這些公式。 （3）為了使學童具備較準

28、確的量感，教師應設計活動使學童能在估測完後，立刻以測量結果修正自己長度的量感，而且應該把這些活動以螺旋方式安排在課程當中，讓他們能由淺入深學習，而且能夠拉長學習時間，以少量多餐的方式學習。 2. 對未來研究的建議 （1）後續的研究者可將研究主題只專注於本研究中學童所呈現的一種迷思概念，例如：將焦點集中於造成學童將周長與面積概念搞混的原因，甚至將問題推廣至研究學童將表面積與體積概念搞混的原因，然後以質的研究方式深入探討造成這些迷思概念的原因。 （2）後續研究可以參考本研究的結果設計一套能促進學童有效理解長度概念的課程，然後進行實驗研究，以探討該課程是否能真正有效達到目標。 （3）有興趣的人可以根

29、據本研究對數學教育的建議，實際應用於教學情境中，作為行動研究的素材。參考文獻周武男（民77）。國中生實測概念之發展（NSC77-0111-S017-01A）。台北：行政院國家科學委員會。高敬文（民78）。我國國小學童測量概念發展之研究。初等教育研究，1，頁183-219。教育部（民82）。國民小學課程標準。台北：台捷國際文化實業股份有限公司。蔡春美（民72）。台東縣山地兒童面積保留與面積測量概念的發展。台東師專學報，11，頁124-276。劉錫麒（民63）。我國兒童保留概念的發展。師大教育研究所集刊，16，頁97-160。譚寧君（民84）。師院生面積概念與解題策略分析研究。八十四年度師範學院教育學術論文發表會論文集（2）（頁253-279）。屏東市：國