信号与系统第8章

1、1第8章 离散时间系统的时域与变换域分析8.6 应用应用Matlab分析离散时间系统分析离散时间系统8.5 数字滤波器的一般概念数字滤波器的一般概念8.4 离散系统的频响特性离散系统的频响特性8.3 离散系统的单位样值响应和系统函数离散系统的单位样值响应和系统函数8.2 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解8.1 离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程28.1 8.1 离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程8.1.1 线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统离散时间系统可以看成为一个离散信号的变换器，当输入信号xn经过该离散系统后，将变换成另一个序列-输出信号yn，

2、其框图如图8.1-1所示。最基本的一类系统：线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统 线性离散系统线性离散系统是指满足叠加性与均匀性的离散系统。是指满足叠加性与均匀性的离散系统。 38.1.1 8.1.1 线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统时不变离散系统时不变离散系统是指在同样起始状态下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。即：若激励信号xn产生的响应为yn，则激励信号xn - m产生的响应为yn - m，即发生同步延迟。 48.1.1 8.1.1 线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统例例8.1-1 设某离散系统激励xn与响应yn之间的关系为 yn = nxn，判断该系统

3、是否为线性时不变系统。解：解： 设y1n和y2n分别为输入x1n和x2n的响应，即 y1n = nx1n，y2n = nx2n（1）当xn= ax1n时，yn = n(ax1n) = anx1n = ay1n， 该系统满足均匀性。（2）当xn = x1n+x2n时， yn = n(x1n +x2n)= nx1n +nx2n= y1n+ y2n 该系统满足叠加性。所以该系统是线性系统。所以该系统是线性系统。（3）当xn= x1n-m时，yn = nx1n-m。而y1n-m=(n-m)x1n-m， 显然yn y1n-m， 该系统不是时不变系统（或称时变系统）不是时不变系统（或称时变系统）。综合以上

4、讨论，该系统是一个线性时变系统线性时变系统。 58.1.1 8.1.1 线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统例例8.1-2 判断滑动平均滤波器的线性特性及时不变特性。广义的滑动平均系统的输出yn与输入xn满足以下关系 21121 T 1MkMy nx nx nkMM解：解：假设 y1n =Tx1n和y2n = Tx2n，即y1n和y2n分别为输入x1n和x2n时的输出信号。（1）当输入信号为xn= ax1n时，输出信号为2111121 T 1MkMy nax nax nkMM因而该系统满足均匀性。211112 1MkMax nkay nMM68.1.1 8.1.1 线性时不变离散时间系

5、统线性时不变离散时间系统（2）输入信号为xn= x1n+x2n时，输出信号为212211121112121212121 T ( )11111 MkMMMkMkMynx nx nx n kx n kMMx n kx n kMMMMy ny n21111121 T 1MkMy nx nmx nmky nmMM该系统满足叠加性，所以该系统是线性系统。（3）假设输入信号为xn= x1n-m，则输出信号为因而该系统是时不变系统。综合以上讨论，该系统是一个线性时不变系统。78.1.2 8.1.2 差分方程差分方程离散时间系统的基本运算单元符号离散时间系统的基本运算单元符号 88.1.2 8.1.2 差分方

6、程差分方程例例8.1-3 考察图8.1-5所示的离散系统，它由移位、相加、乘系数等三个基本单元组合而成，试写出其激励xn和响应yn之间关系的差分方程。乘系数单元：输入为yn-1，输出为ayn-1；加法器单元：输入为xn和ayn-1，输出为yn。因此，针对加法器可以写出： yn = xn + ayn-1移项整理可得： yn-ayn-1 = xn(8.1-2)-一阶常系数线性后向差分方程一阶常系数线性后向差分方程 解：解：单位移位（延时）器：输入为yn，输出为yn-1；98.1.2 8.1.2 差分方程差分方程-一阶常系数线性前向差分方程一阶常系数线性前向差分方程 例例8.1-4 将图8.1-5所

7、示的离散系统中的延时器位置稍做调整，组成如图8.1-6所示的系统，试写出其输入、输出关系式。延时器的输出为yn，则输入必为yn+1，即加法器输出为yn+1，针对加法器可写出 yn+1 = xn + ayn解：解：即 yn+1-ayn = xn (8.1-3)108.1.2 8.1.2 差分方程差分方程yn-a1yn-1-a2yn-2 = b0 xn + b1xn-1 + b2xn-2 (8.1-4)例例8.1-5 对图8.1-7所示的离散系统，试写出其输入、输出关系式。解：解：118.1.2 8.1.2 差分方程差分方程差分方程的求解方法差分方程的求解方法 1递推解法（迭代法）2时域经典法3零

8、输入、零状态响应解法4z变换法 例：例：yn-ayn-1 = xn设输入 xn=n，并假设 y-1=0， y0 = x0 + ay-1 = 1y1 = x1 + ay0 = ay2 = x2 + ay1 = a 2yn = xn + ayn-1 = a n此范围仅限于n 0，故 yn = anun5状态空间分析法128.2 8.2 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解00NMkrkra y nkb x nr(8.2-2)8.2.1 线性常系数差分方程的时域经典法求解线性常系数差分方程的时域经典法求解一般地，常系数线性差分方程的解由齐次解和特解解由齐次解和特解组成。 式(8.2-2)

9、所对应的齐次方程的形式为：00Nkka y nk(8.2-3)齐次差分方程的齐次解为齐次差分方程的齐次解为h1122 nnnNNy nCCC(8.2-9)138.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时域线性常系数差分方程的时域经典法求解经典法求解其中其中 1， 2， N为差分方程为差分方程(8.2-2)或或(8.2-3)的特征方程的特征方程（8.2.8）特征根，且是单根。）特征根，且是单根。 h1122 nnnNNy nCCC(8.2-9)10110NNNNaaaa(8.2-8) 系数C1，C2，CN是由差分方程边界条件决定的系数。 例例8.2-1 设描写某系统的齐次差分方程为 yn -

10、0.7yn-1 + 0.1yn-2 = 0， 并设 y-1= -26，y-2= -202， 求该差分方程的齐次解。148.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解差分方程的特征方程为： 2 0.7 + 0.1=0求得特征根为：1 = 0.2，2 = 0.5，于是齐次解为：yn = C1(0.2)n + C2(0.5)n将已知的边界条件y1= 26，y2= 202代入原方程式，通过迭代求出y0和y1：y0 = 0.7 y1 0.1 y2 = 18.2 + 20.2 = 2y1 = 0.7 y0 0.1 y1 = 1.4 + 2.6 = 4将y0和y

11、1分别代入上述解中，得到一组联立方程12122 4 (0.2) (0.5)CCCC由此求得系数, C1 = 10，C2 = 12，则方程的解为 yn = -10 (0.2)n + 12 (0.5)n解：解：158.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解特征方程有重根特征方程有重根 假定1是特征方程式的K重根，那么，在齐次解中，相应于 1的部分将有K项 121121111KnKnnnKKC nC nCnC(8.2-10)例例8.2-2 求下述差分方程的齐次解。 yn -2yn-1 +2yn-2 -2yn-3+ yn-4 = 0已知边界条件为： y

12、1=1, y2 =0, y3 =1, y5 =1。解解：特征方程为 4-23 +2 2 -2 +1 = 0 即 ( -1)2(2 + 1) = 0特征根为 1 = 2 =1（二重根），3 = j, 4 = -j（共轭复根）168.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解特征方程有重根特征方程有重根 j/2j/212341234 j( j)eennnny nC nCCCC nCCC12=cossin22nnC nCPQ 1 = C1+C2+Q 0 = 2C1+C2-P 1 = 3C1+C2-Q 1 = 5C1+C2+Q由上述方程组解得 C1 = 0

13、, C2 = 1, P = 1, Q = 0从而有 1cos2ny n 178.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解 例例8.2-3 图8.2-1是一个链形电阻网络，设信号源的电压为x(t)，试确定输出端的电流y(t)（注：本例的链形网络不是一个离散时间系统，因为n不是时间变量，而是表示节点的序号，如前所述差分方程中变量的选取因具体函数而异，并不仅限于时间）。0( )vRy t102( )3( )vvRy tRy t解：根据该网络的结构和电阻值，设从右往左数的第n个节点的对地电压为vn，则有188.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线

14、性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解 111222v nv nv nv nv nRRR 4 120v nv nv n2410 1223,2312 (23)(23)nnv nCC对2 n 100的节点，则有 整理后得 该二阶差分方程式的特征方程为 特征根为 于是节点电压的一般表达式为 198.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解12120( ) 1(23)(23)3( )vCCRy tvCCRy t根据初始条件，有 123333( ) ( ) 66CRy tCRy t1 (33)(23)(33)(23) ( )6nnv nRy t100

15、1006( )( )(33)(23)(33)(23)x ty tR所以 从而有 显然，当n = 100时，有v100 = x(t)，于是求得208.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解特解的求解特解的求解 (C0+C1n+C2n2+ Cr-1nr-1+Crnr )n（是方程的r重特征根）nCe nCn（不是方程的特征根）nC0+C1n+C2n2+ Ck-1nk-1+CknkC1sin n+C2cos nsin n（ cos n）C0+C1nA e j n（A为复数）e j nB（常数）特 解 形 式自 由 项特 解 形 式e n（为实数）n

16、knC（常数）自 由项218.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解 2 1 1y ny nx nx n2 x nnh ( 2)ny nC2 x nn21n 例例8.2-4 求差分方程的完全解。解：（1）齐次解为代入差分方程的右端，得自由项为p12 y nD nD从而特解为 11y ，且边界条件为其中激励信号为（2）将其中，D1和D2为待定系数，代入原方程得12133221D nDDn228.2.1 8.2.1 线性常系数差分方程的时线性常系数差分方程的时域经典法求解域经典法求解比较两端系数得到 122 /3,1/9DDhp21 ( 2)39n

17、y ny ny nCn 11y 11( 2)2/3 1/9C hp821 ( 2)939ny ny ny nnp21 39y nn所以特解为完全解为 （3）将边界条件代入上式，可得从而C = 8/9所以完全响应为 238.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解1NnkkkC 自由响应齐次解 (8.2-11)强迫响应 = ypn = 特解 (8.2-12)p1 NnkkkCy n完全解 (8.2-13)完全响应完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应248.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输

18、入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解若系统的激励序列xn = 0，仅由系统的起始状态y-1, y-2, , y-N 引起的响应，称为离散系统的零输入响应，常用yzi n表示。零输入响应：零输入响应：若激励序列xn在n = 0时接入系统，则系统的零状态指 y-1 = y-2 = = y-N = 0，此时，仅由激励序列xn所引起的响应，称为离散系统的零状态响应，常用yzsn表示。零状态响应：零状态响应： yn = yzin + yzsn(8.2-14)258.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解pzizsp111

19、 NNNnnnkkkkkkkkky nCy nCCy n (8.2-17) 强迫响应自由响应零输入响应零状态响应例例8.2-5 已知某系统的差分方程为11 1 23y ny nu n试分别求下面两种起始状态下的完全响应。 （1）y1 = 0， （2）y1 = 1268.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解解：解： （1）齐次解为 h1 2ny nC12 23ny nCzs112 323ny nynu n当n 0时，方程右端自由项为常数1/3，故可假设特解为D，将其代入差分方程，解得D = 2/3。从而完全解为再将y-1

20、 = 0代入yn，可得到C = -1/3。所以完全响应（零状态响应）写为278.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解（2）齐次解为 h1 2ny nC12 23ny nC112 623ny nu n当n 0时，方程右端自由项为常数1/3，故可假设特解为D，将其代入差分方程，解得D = 2/3。从而完全解为再将y-1 = 1代入yn，可得到C = 1/6。所以完全响应为288.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解（3）零输入响应为 zi1 2ny

21、nAp1 2nzsynBy n当n 0时，方程右端自由项为常数1/3，故可假设ypn为D，将其代入差分方程，解得D = 2/3。再将y-1 = 1代入yzin，可得到A = 1/2。所以yzin 为zi1 1 2 2nyn零状态响应为 298.2.2 8.2.2 线性常系数差分方程的零线性常系数差分方程的零输入响应与零状态响应求解输入响应与零状态响应求解zizs112 623ny nynynu n考虑零状态条件，即y-1 = 0代入yn，可得到B = -1/3。所以零状态响应为zs112 323nynu n完全响应为：308.2.3 8.2.3 线性常系数差分方程的线性常系数差分方程的z z变

22、换法求解变换法求解00NMkrkra y nkb x nr(8.2-2) x nx n u n输入信号为，, y2, y1，两边做单边z变换，得代数方程 100( ) ( )NMklrkrklkra zY zy l zb zX z(8.2-19)，起始状态为y-N, y-N + 1,10000 ( )( )NMklrkrklkrNNkkkkkka zy l zb zY zX za za z(8.2-21) 318.2.3 8.2.3 线性常系数差分方程的线性常系数差分方程的z z变换法求解变换法求解1120.7 10.1 10.1 2( )10.70.1yzyyY zzz11222.62 (1

23、.3)1210( )(0.5)(0.2)0.50.210.70.1zz zzzY zzzzzzz例例8.2-6 用z变换法重解例8.2-1的差分方程。解：对差分方程两边取单边z变换。根据时移性质可得 Y(z) - 0.7z-1Y(z) + y-1 + 0.1z-2Y(z) + z-1y-1 + y-2 = 0 代入起始条件y1 = 26和y2 = 202，并进行部分分式展开求其逆变换，得到零输入响应为12(0.5)10(0.2) nnu nyn = 328.2.3 8.2.3 线性常系数差分方程的线性常系数差分方程的z z变换法求解变换法求解 1 y ny nnu n111 1( )( )11

24、yY zX zzz23133( )11(1)(1)zzzzY zzzzzz例例8.2-7 用z变换法求解差分方程， 其中已知y-1=1。解：解：对差分方程两边取单边z变换。根据时移性质可得 Y(z) - z-1Y(z) + y-1 = X(z) 2( )(1)zX zz代入和起始条件y1 = 1， 得到(1)(1)1 1 22n nn nu nu nu nyn =338.3 8.3 离散系统的单位样值响应和离散系统的单位样值响应和系统函数系统函数8.3.1 单位样值响应单位样值响应定义定义：离散时间系统受单位样值信号n激励而产生的零状态响应，称为单位样值响应（也称为单位冲激响应），一般以hn表

25、示。hn在离散时间系统中的作用，完全类似于连续系统中的由 (t)引起的冲激响应h(t)。)()(ttx系统连续系统连续系统：( )( )zsyth t x nn系统离散系统：离散系统： zsynh nhn的求法：的求法： 1、迭代法；、迭代法； 2、z变换法变换法348.3.1 8.3.1 单位样值响应单位样值响应例例8.3-1：已知已知yn-1/3yn-1=xn, 试求其单位样值响应试求其单位样值响应 hn。对于因果系统，对于因果系统， h-1=0 , x-1=-1=0210 100113111013311212( )3311 1 ( )33nhhhhhhh nh nn1,01 330,0n

26、nnh nu nn yn - 1/3 yn-1 = xnhn - 1/3hn-1 = n- 齐次解的形式解解358.3.1 8.3.1 单位样值响应单位样值响应 ) 3)(2(365365131)()(222212zzzzzzzzzzXzYzH 解：解：对上述差分方程取z变换 zXzzYzz)31 ()651 (2213222121)3)(2(3)(2zzzzzzzzzH例例(补充补充): 已知因果系统的差分方程为已知因果系统的差分方程为 5 16 2 3 2y ny ny nx nx n求求hn。368.3.1 8.3.1 单位样值响应单位样值响应3222121)(zzzzzH11 2 2

27、3 22nnh nnu nu n 11 (2 32) 2nnnu n 11 (2 32) 122nnnnnu n 1 5 1(2 32) 2nnnnu n378.3.1 8.3.1 单位样值响应单位样值响应0 mu nnm0 mg nh nm 1nu nu nu n 例例8.3-4 试利用线性时不变系统的特性，讨论离散系统对单位阶跃信号un的零状态响应单位阶跃响应gn与单位样值响应hn之间的关系。解：解：由式(7.1-4)第一个等号，知利用线性时不变系统的时不变特性和叠加性，有 另一方面，根据式(7.1-5)，得从而有 1h ng ng ng n (8.3-2)(8.3-1)388.3.1 8

28、.3.1 单位样值响应单位样值响应单位样值响应单位样值响应h(n)与系统稳定性及因果性的关系与系统稳定性及因果性的关系:离散稳定系统 nnh| |离散因果系统 0, 0nnhnunhnh或8.3.2 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析卷积和卷积和 mx nx mnm根据线性时不变系统的性质， 有 zsmynx m h nm x nh n因为(8.3-3)398.3.2 8.3.2 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析卷积和卷积和式(8.3-3)说明，对于线性时不变离散时间系统，其零状态响应是激励信号和其单位样值响应的卷积和。这一特点类似于连续时间系统零状态响应的意义，

29、而且其计算方法也类似于卷积积分的四个步骤，即包括反四个步骤，即包括反褶、时移、相乘、求和褶、时移、相乘、求和。当然也可以用变换域方法实现。在7.1.3节我们已给出了卷积和的定义及其计算的一个简单示例。 例：例：某系统某系统hn=an un, 0a1 xn=un-un-N, 求求yn=xn*hn n mmmy nx mhn mu mu m N au n m408.3.2 8.3.2 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析卷积和卷积和hn或hmxn或xmn或mn或m1)当n0，hn恒为正值，且（2）pm 0时的情况相同。nmp规律变化的正弦序列分量。568.3.5 8.3.5 离散时间系

30、统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性离散系统稳定的充分必要条件是单位样值响应绝对可和。 nh n nnH zh nh n zZ Z nnnnH zh n zh n z 令 则：1z nH zh n 离散系统稳定的充分必要条件是离散系统稳定的充分必要条件是H(z)的收敛域必须包含单位圆。的收敛域必须包含单位圆。578.3.5 8.3.5 离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性因果系统的充分必要条件是单位样值响应市因果序列，即 , 0 0, 0h nnh nn从而：系统函数的收敛域为 | z | R_下面讨论几种不同的系统。（1）因果系统（）因果系统（hn为因果信号）为

31、因果信号）1xR1)Re(z)Im(zj收敛域为1xRz 则则 H(z)的全部极点落在单位圆内。的全部极点落在单位圆内。如果收敛域应包含单位圆，即11xR因而系统也是稳定的。588.3.5 8.3.5 离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性（2）若）若hn为左边序列为左边序列收敛域为2xRz 2xR1)Re(z)Im(zj如果收敛域包含单位圆，即12xR则则 H(z)的全部极点落在单位圆外。的全部极点落在单位圆外。因而系统也是稳定的。收敛域为21xxRzR则则 H(z)有些极点落在单位圆内，有些极点落在单位圆内，有些极点落在单位圆外。有些极点落在单位圆外。如果收敛域应包含单位

32、圆，即1, 121xxRR（3）若）若hn为双边序列为双边序列1xR1)Re(z)Im(zj2xR598.3.5 8.3.5 离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性解：解：(1) 0.5 nh nu n因果、稳定5 . 01)Re(z)Im(zj21)Re(z)Im(zj(3) 21nh nun (2) 2 nh nu n21)Re(z)Im(zj因果、非稳定非因果、稳定例例7-22：检验下列系统的因果性和稳定性。检验下列系统的因果性和稳定性。5 . 05 . 0)() 1 (zzzzH22)()2(zzzzH22)()3(zzzzH(4)( )0.52(0.5)(2)zH

33、zzzz608.3.5 8.3.5 离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性(4)( )0.52(0.5)(2)zH zzzz非因果、稳定0.51)Re(z)Im(zj22 0.5 213nnh nu nun 618.3.5 8.3.5 离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性例：例：对于下列差分方程所表示的离散因果系统对于下列差分方程所表示的离散因果系统 0.2 1 0.24 2 1y ny ny nx nx n(1)求系统函数求系统函数H(z), 并说明它的收敛域及系统的稳定性；并说明它的收敛域及系统的稳定性；(2)求单位样值响应求单位样值响应hn；(3)当

34、激励当激励 xn为单位阶跃序列时，求零状态响应为单位阶跃序列时，求零状态响应yzsn解：解：(1)将差分方程两边取z变换，得)()()(24. 0)(2 . 0)(121zXzzXzYzzYzzY于是)6 . 0)(4 . 0() 1()()()(zzzzzXzYzH628.3.5 8.3.5 离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和稳定性H(z)的极点为0.4和0.6，因为是因果系统，所以收敛域|z|0.6，因此该系统是稳定的。(2) 将H(z)/z展成部分分式，得到6 . 04 . 04 . 04 . 1)(zzzzzH 1.4(0.4)0.4( 0.6) nnh nu n(3)

35、若激励xn=un,则1)(zzzX)6 . 0)(4 . 0)(1() 1()()()(2zzzzzzXzHzY2.080.930.1510.40.6zzzzzz 2.080.93(0.4)0.15( 0.6) nny nu n638.4 8.4 离散系统的频响特性离散系统的频响特性 8.4.1 8.4.1 离散系统频率响应特性的意义离散系统频率响应特性的意义 离散系统的频率响应特性（简称频响特性），反映了离散系统在正弦序列激励下的稳态响应随频率变化的情况。 jn Tx nAe设式中：jAAe ()() jnTjTjTy nh nx nAeH eH ex n系统的稳态响应为：系统的稳态响应为：

36、其中：其中：0() ( )j Tj Tj Tnz enH eh n eH z - 离散系统频响特性离散系统频响特性（8.4-3）648.4.1 8.4.1 离散系统频率响应特性的意义离散系统频率响应特性的意义( )()()jjjH eH ee T 0() ( )jjj nz enH eh n eH z（8.4-4） 离散系统的频率响应是离散系统的频率响应是 的连续的周期函数，其的连续的周期函数，其周期是周期是2 。这是离散系统不同于连续系统的一个突出。这是离散系统不同于连续系统的一个突出特点。特点。()jH e- 幅频特性幅频特性- 相频特性相频特性( ) 所以式（8.4-3）有可改写为：（8

37、.4-5）65|H(ej)| 2 c2 2 2 2668.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定频率响应也可以由H(z)在z平面上零极点分布来判断。12100121()()()()( )()()()()MrMrNNmmzzzzzzzzH zHHzpzpzpzp( )101()()|()|()MjrjjjrNjmmezH eHH eeep 分子分子：rjjrrezAe分母分母：mjjmmepB e678.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定幅频特性 1Mrr1Nmm () = (8.4-7)j(e)H11MrrNmmAB= | H0 |(8.4-6)相频特性

38、( )101()()|()|()MjrjjjrNjmmezH eHH eeep 688.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定图8.4-2 离散系统频率响应H(ej)的几何确定法698.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定例例8.4-1：求下图所示一阶因果离散系统的频率响应。求下图所示一阶因果离散系统的频率响应。xna1zyn解解 : 该一阶系统的差分方程为 1 y nay nx n 它是因果系统，其系统函数为( )zH zza频率响应为1()(1cos )sinjjjeH eeaaja708.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定幅频特

39、性为j(e)H2112 cosaa= sin1cosaa () = arctan相频特性为（1）当 0 a 1时：718.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定幅频特性为j(e)H2112 cosaa= sin1cosaa () = arctan相频特性为（2）当 1 a 0时：728.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定例例8.4-2 分析图8.4-5所示二阶离散系统的幅频特性。解：解： 0.9 10.81 21y ny ny nx n81. 09 . 081. 09 . 01)(2211zzzzzzzH323119 . 0,9 . 0, 0jjepep

40、z738.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定112jjj()j1jj /3jj /3e12e(e )( )e(e0.9e)(e0.9e)zAHH zBB j(e )H112AB B121B B112( )=() 748.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定例例8.4-3 证明图8.4-7(a)所示系统为二阶全通离散系统。其中bl, b2为实数，且满足b12 4b2 0。 证明证明：图示系统的差分方程为 yn + b1yn 1 + b2yn 2 = b2xn+ b1xn 1 + xn 2758.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定yn

41、 + b1yn 1 + b2yn 2 = b2xn+ b1xn 1 + xn 2zbzbzbbzzbzbzzbbzH112211221121121)(1221122122()coscos sinsincoscos sinsinjjjjjebb eH eb ebebbj bbbj b()1jH e-全通系统全通系统768.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定122212112212121( )1bb zzb zb zH zb zb zzb zb全通系统的特点：21111()()()()b zzzzzpzp212(40)bb2121142bjbbp21211242bjbbzb2

42、12|pb2121|zb778.4.2 8.4.2 频率响应的几何确定频率响应的几何确定11,jjprepre1111,jjzezerr令： 788.5 8.5 数字滤波器的一般概念数字滤波器的一般概念8.5.1 数字滤波器原理数字滤波器原理数字滤波器数字滤波器 hn或或H(z) x n y n y nh nx n)()()(zXzHzY()()()jjjY eH eX e（8.5-1）输入序列xn的频谱X(e j)经过滤波器后变为输出序列yn的频谱Y(e j)。 798.5.1 8.5.1 数字滤波器原理数字滤波器原理数字滤波器对连续时间信号处理的一般过程808.5.2 8.5.2 数字滤波

43、器结构数字滤波器结构解：解：（1）直接形式）直接形式例例8.5-1：分别用直接形式、级联形式和并联形式模拟系统：32132353142)(zzzzzzH)(zY3)(zX1z51z1z423818.5.2 8.5.2 数字滤波器结构数字滤波器结构)321)(1 ()2(2353142)(21121132132zzzzzzzzzzzzH（2）级联形式）级联形式11112)(zzzH212123212)(zzzzzH)(zY)(zX31z221z21z1828.5.2 8.5.2 数字滤波器结构数字滤波器结构2311212311224( )1 3531123zzzzzH zzzzzzz（3）并联形

44、式）并联形式,1)(111zzzH21212321)(zzzzzH)(zY)(zX31z1z21z11838.6 8.6 应用应用MatlabMatlab分析离散时间系统分析离散时间系统Filter- 计算对于指定时间范围的激励序列的响应Conv-求两个有限时间区间非零的离散时间序列卷积和Freqz-分析系统频率响应Tf2zp，zp2tf-提供系统函数的两种不同形式的转换Zplane-可以绘制零极点分布图的函数Impz- 计算系统单位样值响应的函数848.6 8.6 应用应用MatlabMatlab分析离散时间系统分析离散时间系统0.2z 4j10.8ep4j20.8ep例例8.6-1 已知离

45、散时间系统的系统函数的零极点分别为：解： 绘制系统的零极点分布图，并绘出系统的单位样值响应hn的时域波形z=0.2;p=0.8*exp(pi*i/4);0.8*exp(-pi*i/4);k=1;subplot(121);zplane(z,p);a,b=zp2tf(z,p,k);subplot(122);impz(a,b,20);title(hn); 858.6 8.6 应用应用MatlabMatlab分析离散时间系统分析离散时间系统868.6 8.6 应用应用MatlabMatlab分析离散时间系统分析离散时间系统2 3 12 2 1y ny ny nx nx n 4sin 5nx nu n例8.6-2