自动控制原理 3-3二阶系统的时域分析

1、3-3目录1、二阶系统数学模型、二阶系统数学模型2、二阶系统的单位阶跃响应、二阶系统的单位阶跃响应3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析、欠阻尼二阶系统的动态过程分析4、过阻尼二阶系统的动态过程分析、过阻尼二阶系统的动态过程分析5、二阶系统的单位斜坡响应、二阶系统的单位斜坡响应6、二阶系统性能的改善、二阶系统性能的改善位置控制系统原理图位置控制系统原理图(P40)(P40)i i o o p pR RSM1R R2R R1R Rp pR Rk kU Ua aU Us sK Ka aK Km m 发送发送减速器减速器)t (K)t (Kdt)t (ddt)t (dTiooom 22mmmioT/KT/

2、ssT/K)s()s( 22222nnnss)s( mnTK KTm21 在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似或降阶为二阶系统处理。 图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为2222nnnBsssG)( 由上式可看出， 和n是决定 二阶系统动态特性的两个非常重 要参数，其中 称为阻尼比，n称为无阻尼自然振荡频率.图3-10 二阶系统 由式(3.14)描述的系统特征方程为 (3.15)这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为 (3.16)显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。0222nnss112122nnnnssj0j0j0j0单位阶跃

3、响应定性分析单位阶跃响应定性分析(P89)(P89)22, 11 n nn nj js sn ns ss s 21122, 1 n nn ns sn nj js s 2, 12222)(n nn nn ns ss ss s 1 1 0 10 j0j0j0j0T11T211 1 0 10 )sin(11)(2 t te et th hd dt tn n111)(212121 T TT TT TT TT Tt tT Tt te ee et th ht tn nn ne et tt th h )1(1)(t tt th hn n cos1)(过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼零阻尼零阻尼欠阻尼欠阻尼二二阶

4、系统阶系统过阻尼二阶系统动态性能分析过阻尼二阶系统动态性能分析(补充补充)2nn22ns2s) s ( n2, 1s 12n 无零点无零点的过阻尼二阶系统阶跃响应的过阻尼二阶系统阶跃响应无振荡无超调无振荡无超调不变时不变时, ,n n越越大大，调节时间，调节时间t ts s越越小小j-a-b0bte ate n n不变时不变时, ,越越大大，调节时间，调节时间t ts s越越大大n j0点点离离虚虚轴轴越越远远越越快快！整整体体而而言言a -a-bsnt 0.70701h(t)t时间时间tr上升上升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义2(回顾回

5、顾)amplitudepeakTimeSettlingh(t)t调节时间调节时间tsTimeRise) t (h%100)(h)(h)t (h%p )(h%)(hmax 1欠阻尼二阶系统动态性能欠阻尼二阶系统动态性能分析分析(P92)n n 2222)(n nn nn ns ss ss s n n j02nn2, 11js )tsin(e111) t (hdt2n 2nd1 时：时：10 cos 1coscos，所以，所以友情提醒：友情提醒：欠阻尼二阶系统动态性能欠阻尼二阶系统动态性能计算计算(P93)dpt 得得由由% =h()h(tp) h()100%令令h(t)一阶导为一阶导为0，取其解

6、中的最小值取其解中的最小值 tge% %100 或或d dr rt t 弧度弧度%100e%21 )tsin(e111) t (hdt2n 令令h(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值，h(t)ts的计算(P94)n2s1lnt 2%5)(h %2)(h t11n2e1 st 21)tsin()tsin(e1) t (hddt11n2 中的中的令令由包络线求调节时间由包络线求调节时间t ts s t2ne11t11n2e1 21ln 0.050.10.20.30.40.50.60.70.82.9973.0013.0163.0433.0833.1403.2193.3323.506%5取取

7、21ln 0.050.10.20.30.40.50.60.70.83.9133.9173.9323.9593.9994.0564.1354.2694.423%2取取 %55 . 3tns取取， %25 . 4tns取取， ns5 . 3t %5 dpt 再说欠阻尼二阶系统动态性能再说欠阻尼二阶系统动态性能(补充补充) tge% %100 或或弧度弧度%100e%21 7 . 0%578. 0%2)7 . 145. 6(1tns ，；，特特征征根根的的虚虚部部 rt 特特征征根根的的虚虚部部 pt特特征征根根的的实实部部 st5 . 3当 0.9时，则 (按到达稳态值的95%105%计) (3.

8、40)或 (按到达稳态值的98%102%计) 由此可见, n大，ts就小，当n一定，则ts与成反比，这与tp，tr与的关系正好相反。 根据以上分析，如何选取和n来满足系统设计要求，总结几点如下： (1) 当n一定，要减小tr和tp，必须减少值，要减少ts则应增大n值，而且值有一定范围，不能过大。 (2) 增大n ，能使tr，tp和ts都减少。 (3) 最大超调量p只由决定, 越小，p越大。所以，一般根据p 的要求选择值，在实际系统中，值一般在0.50.8之间. Ttns33Ttns44 2. =，称为临界阻尼情况，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -n (3

9、.24) 系统输出的拉氏变换为 (3.25) 取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 (3.26) nnnnnssssssC1)(1)()(222)1 (1)(tetcntn(a)根分布 (b)单位阶跃响应图3-12 临界阻尼情况(z 1) 响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程。 3. ，称为过阻尼情况，称为过阻尼情况 当阻尼比 时，系统有两个不相等的实数根： (3.27) 对于单位阶跃输入，C(s)为 (3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 (3.29)ns)1(22, 1nnssssC)1()1(1)

10、1()1(11)(2122212222)11(111)(2)1(2)1(222ttnneetc2 图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比 =时来得长。 (a)根分布 (b)单位阶跃响应图3-13 过阻尼情况(z 1) 根据以上分析，可得不同值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定值下,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。 图3-14 二阶系统单位阶跃响应 （三）二阶系统的脉冲响应（三）二阶系统的脉冲响应 当输入信号为单位脉冲信号d (t)，即R(s)=时，二阶系统单位脉冲响应的拉氏

11、变换为 (3.30) 对式(3.30)求拉氏反变换，得 (3.31) 可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统的特征。2222)()()(nnnBsssRsGsC2)()(22211nnnBssLsGtcL L由式(3.31)，对于欠阻尼情况(0 1)，有 (3.34) 图3-15表示不同值时的单位脉冲响应曲线。tetcntnn221sin1)(1)()1()1(222ttnnneetc2 图3-15 二阶系统单位脉冲响应 （四）二阶系统的单位斜坡响应（四）二阶系统的单位斜坡响应四、线性定常系统的重要特性四、线性定常系统的重要特性 对

12、于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号r(t)的作用下，其输出c(t)的拉氏变换为 C(s)=GB (s)R(s)。 若系统的输入为 其拉氏变换为 这时系统的输出为 当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数。ttrtrd)(d)(1)(d)(d)(11ssRttrsRL L)()()()()()(11ssCssRsGsRsGsCBBttctcd)(d)(1同理，若系统的输入为 ,其拉氏变换为 此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。 由上可以推知： (一)由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶导数，

13、所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数. (二)由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。ttrtrd)()(2)(1)(2sRssR)(1)(1)() 3()()(22sCssRssGRsGsCBBttctcd)()(26、二阶系统性能的改善、二阶系统性能的改善增大阻尼比的两种方法(P100)2nnt22ns2s) s ( )k2s ( s) s (G2ntn2n 变大了）nttk5 . 01 用）几个性能指标公式照2变小了）k3)2s ( s)1sT() s (Gnd2n 2nnd2

14、d2ns2s)1sT() s ( 变大了）nddT5 . 01 用！性能指标计算公式不能）系统增加一个零点,2相同。两个系统的超调也不会即使td 没变）k3)503()443( 请看公式比例微分校正比例微分校正(P100)44. 0 相相当当于于无无零零点点时时的的)1s67. 1( s)1s38. 0(5) s (G 994. 2s737. 1s994. 2s138. 1) s (G1) s (G) s (2 5 . 0 %6 .57 173. 0 %3 .16% 附加零点对附加零点对过过阻尼二阶系统的影响阻尼二阶系统的影响(补充补充) j0%=33%无振荡有超调无振荡有超调333. 0 相

15、相当当于于无无零零点点时时结论结论：1 1 零点有削弱阻尼的作用零点有削弱阻尼的作用2 2 零点越靠近原点该作用越明显零点越靠近原点该作用越明显上升时间减小上升时间减小ts可能大了可能小了可能大了可能小了零点为正时零点为正时证明(补充)bs)(as ()cs (cab) s ( b bt ta at te eb ba ac cb bc ca ae ea ab bc ca ac cb bt th h )()()()(1)(0)()()()()( btbtatate eb ba ac cb ba aababe ea ab bc ca ac cababdtdtt tdhdh令令babcaclnt 得：得：分子正分母负分子正分母负，t0，分子出错分子出错，t有解有解！ 有有tp但有超调吗但有超调吗0j-a-b-c0j-a-b-c0j-a-b-c无解无解！无解无解！附加零点对附加零点对欠欠阻尼二阶系统的影响阻尼二阶系统的影响(补充补充) j0哈哈哈哈！结结论论依依旧旧附加极点