FIR滤波器的设计

1、FIR滤波器的设计FIR型滤波器的系统函数为：MnnMznhzMhzhhzH01)()() 1 ()0()(FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点优点 ： （1）很容易获得）很容易获得严格的线性相位严格的线性相位，避免被，避免被处理的信号处理的信号 产生相位失真；产生相位失真；（2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；性问题；（3）任何一个非因果的有限长序列，总可以通）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总所以因果性总是满足；是满足；（4）无反馈运算，运算误差小

2、。）无反馈运算，运算误差小。缺点：缺点： （1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。如果希望得到的滤波器的理想频率响应为)(jdeH那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应滤波器的设计就在于寻找一个频率响应10)(NnjnjenheH去逼近去逼近)(jdeH，逼近方法有三种：窗函数设计法（时域逼近）窗函数设计法（时域逼近）频率采样设计法（频域逼近

3、）频率采样设计法（频域逼近）最优化设计法（等波纹逼近）最优化设计法（等波纹逼近）一、一、FIR数字滤波器的线性相位特性数字滤波器的线性相位特性 线性相位是指 是 的线性函数 )(jeH)(第一类线性相位)(第二类线性相位dd)(可以证明，线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应应满足下面条件： 为实序列，且满足 ，N为长度，即， 关于 偶对称或奇对称。 )(nh21N)1()(nNhnh)(nh分四种情况：分四种情况：1 h(n) 偶对称，偶对称， h(n) = h(N- -1- -n) N 为奇数为奇数 2 h(n) 偶对称，偶对称， h(n) = h(N- -1- -n) N 为偶数为偶数3.

4、h(n) 奇对称，奇对称， h(n) = - - h(N- -1- -n) N为奇数为奇数4. h(n) 奇对称，奇对称， h(n) = - - h(N- -1- -n) N为偶数为偶数四种线性相位四种线性相位FIR DF特性：特性：第一种情况第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器， 不能设计高通和带阻。不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、

5、带通滤波器，第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器， 不能设计低通和带阻。不能设计低通和带阻。例例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H ( )。解：解： 为奇数并且 h(n)满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H ( ) = 2 - cos - cos2 = 2- (cos +cos2)小结：小结：四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关；幅度特性取决于h(n)的值；设计FIR数

6、字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。二、窗函数设计法二、窗函数设计法设计思想：设计思想：窗函数设计法是从单位脉冲响应序列窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，着手，使使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj以一个截止频率为以一个截止频率为 c的线性相位理想低通的线性相位理想低通滤波器为例滤波器为例ccjjdeeH01)(：低通滤波器的延时)()(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcc则：理想低通滤波器特性的理想低通滤波器特性的hd(n)和和Hd(

7、 )是无限时宽的，且是非因果的，无法实现的为其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中)()(nRnwNR)(*)()(jRjdjeWeHeH 2/sin2/sinNWR|0|1)(ccdH卷积卷积4个特殊频率点看卷积结果：个特殊频率点看卷积结果：1. =0时, H(0)近似等于Hd(0)2. = c时， H(c)=0.5H(0);3. = c2/N时，出现正肩峰；4. = c +2/N 时，出现负肩峰。窗口函数对理想特性的影响：窗口函数对理想特性的影响：改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4/N ，等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长决定于窗长）过渡带两旁产生肩峰和余

8、振（带内、带外起伏），取决于WR()的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状决定于窗口形状）N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯（Gibbs）效应）xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变变WR( 的绝对值大小和起伏的密度。的绝对值大小和起伏的密度。肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。0.04680.0895-0.08950.0468cc10 改变窗函数的形状，可改

9、善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。几种常用的窗函数：几种常用的窗函数：1. 矩形窗：主瓣宽度为4/N 2. 三角形窗：主瓣宽度为8/N 3. 汉宁

10、窗（升余弦窗）：主瓣宽度为8/N 4.汉明窗（改进的升余弦窗）：主瓣宽度为8/N 5.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）：主瓣宽度为 12/N )12()12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR5 . 051cN窗函数旁瓣大致幅度/ dB过渡带宽阻带最小衰减/ dB矩形窗13 4/N21三角窗25 8/N25汉宁窗31 8/N44汉明窗41 8/N53 凯塞窗凯塞窗其他窗是增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣；凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零阶修正贝塞尔函数；是零阶修正贝塞尔函数；可自由选择，决定主瓣宽度与可自由选择，决定主瓣宽度与 旁

11、瓣衰减。旁瓣衰减。越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 49。=5.44 接近汉明；=8.5 接近布莱克曼=0 为矩形过渡带通带波纹（dB）阻带最小衰减(dB)2.1203.00/N0.27-303.3844.46/N0.08647-404.5385.86/N0.0274-505.6587.24/N0.00868-606.7648.64/N0.00275-707.86510.0/N0.000868-808.96011.4/N0.000275-9010.05612.8/N0.000087-100窗函数设计FIR数字滤波器的步骤：n根据技术要求确定滤波器的频响特性确定其对应的单

12、位脉冲响应。n根据对过渡带及阻带衰减指标的要求，选择窗函数形式，并估计窗口长度N。n计算滤波器的单位取样响应n计算滤波器频率响应njNnjenheH)()(10)(jeH)()()(nnhnhddeeHhnjjdd)(21)n(例：试用窗口法设计一个FIR低通滤波器。已知2,020,)(jjdeeH6求： （1）求 的长度N ； （2）在矩形窗口条件下，求出的表达式 ； （3）写出过渡带宽 。)(nh )(nh解：（1）21N1312N(2) N为奇数。且是低通滤波器， 故属于第一类广义线性相位FIR滤波器，截至频率2/c)(nhd)6()6(2sin)()(sinnnnnc)()6()6(2

13、sin)()()(13nRnnnRnhnhNd120 n三、利用频率采样法设计三、利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器n频域采样法就是一种频域设计方法。n它的基本思想是使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散的频率点上的值，准确地等于所需的滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特征按照一定的优化设计则有较好的迫近。确定频率特性指标 )(jdeH频率采样IDFTZT)()(/2kHeHdNkjd)(nh)(/ )(jeHzH频率采样设计的基本方法存在两个问题频率采样设计的基本方法存在两个问题n用频率采样法设计线性相位滤波器的条件n频率采样法的设计误差及其改进用频率采样法设计线性相位滤波器

14、的条件用频率采样法设计线性相位滤波器的条件由于具有线性相位的FIR滤波器，其单位采样响应是实序列，且满足条件 ，由此推导出第一类线性相位滤波器传输函数应满足的条件是：)1()(nNhnh)()()(jgjdeHeH) 1(21)(N将 写成幅度 和相位 的形式)(kH)(kHg)(k)()()(kjgdekHkH1, 2 , 1 , 0Nk)()(ggHkHNk /2|)()(kkNNNk1|/2式中)()(kNHkHgg)()(kNHkHggN为奇数N为偶数幅度特性必须满足的线性相位的条件频率采样法的设计误差及其改进频率采样法的设计误差及其改进jkkeHkHH)(,由上述设计过程得到的 与

15、的逼近程度，以及 与 的关系？jeHjdeHjeH kH)2()()(10kNkHeHNkj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN式中在每个采样点上， 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等;)()(kHeHkj)(jeH在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹)(jeHN增大，则采样点变密，逼近误差减小。为了减小逼近误差，可以在理想频率响应的边缘加上一些过渡的采样点。但这样处理却会使得过滤带加宽。 增加采

16、样点数N来提高所需滤波器的性能，使得滤波器的过渡带是窄带。但是太大会使滤波器成本和运算复杂度增加。从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2/33，而最小阻带衰减略小于20dB。 对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。增大阻带衰减两种方法：1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4/33，其阻带衰减增加到约 -40dB。2)增大N 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。 例如，同样截止频率c=0.5 , 以N=65采样，并

17、在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H17=H48=0.1065 , 这时得到的 H(ej)， 过渡带为6/65， 小于33点采样时插入一个过渡带采样点的过渡带宽 4/33 ，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器 阶数增加，运算量增加。小结：小结：频率采样设计法频率采样设计法优点优点： 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几

18、个非零值。非零值。 缺点缺点：截止频率难以控制。：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。死板。 充分加大充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。算量和复杂性增加。 判断题1 . 双线形变换法不能设计高通滤波器。 2 . 并联型结构可以单独调整极点位置。3 . 矩形窗设计的FIR滤波器的过渡带最窄。 4.频率采样法设计的FIR滤波器，增加过渡带采样点可以增加过渡带衰减。 5. 双线性变换法的频率坐标变换是线性关系。 6. FFT可以用来计算IIR滤波器，以减少运算量。 7. 等波纹逼近是一种满足最大误差最小化准则的FIR滤波器设计。 8. 用矩形窗设计