高中数学教程20

1、重点难点分析：1.三个最基本的极限 (1)常数数列的极限就是其本身，即：C=C。 (2)=0。 (3)当|q|<1时，qn=0。 这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。 2.数列极限四则运算法则： 如果an=A, bn=B, 那么： (an±bn)=an±bn=A±B。 (an·bn)=an·bn=A·B。 = (bn0，B0)。 = (an0, A0)。 应特别注意理解： (1)公式成立的条件：公式成立的前提是an与bn都存在极限。 (2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序。 (3)公式的推广：

2、公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个。 3.无穷数列各项的和 (1)无穷递缩等比数列： 当公比|q|<1时无穷等比数列an称为无穷递缩等比数列。 Sn=。 则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和，用S表示，即S=。 (2)其它无穷数列各项的和： 若无穷数列bn不是等比数列，但可求得前n项和 Tn，且Tn=t。 则无穷数列bn的各项和存在，且为：S=Tn=t。 4.求数列极限的方法与基本类型： 1)求数列极限的基本思路是“求和变形利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限。 2)常见的几类数列极限的类型和方法有：型：分子分母分别求和再化简

3、转化 型：分子分母分别求和再化简转化 已知极限值定参数：待定系数法 3)要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件。 4)实际运用中极限思想应引起注意。 二、应用举例：例1求下列极限： (1) (2) (3) 解：(1) 原式=。 (2)=原式=。 (3)原式。 例2设数列a1,a2,an的前n项和Sn与an的关系是：，其中b是与n无关的常数且b-1。求an和an-1的关系式。写出用n和b表示an的表达式。 写0<b<1时，求极限。 解析：(1)(2), 。 由此猜想。 证明（略） 把代入上式得： (3) 0<b<1时， 。 例3(1) 已知，求a,b的值。

4、(2) 已知数列an的前n项和Sn=1+kan (k为不等于1的常数) 且，求k的取值范围。 解析：(1)由条件知该数列极限存在且为0，所以原式可变形为：。 显然，当且仅当a=1时，左边才有极限，而要使其极限为0，则-(a+b)=0，解得b=-1，因此a=1, b=-1。 (2) Sn=1+kan, 当n=1时，a1=S1=1+ka1, ，当n2时，an=Sn-Sn-1=kan-kan-1, 即：(k-1)an=kan-1，(常数) ，由得, ，故 ，k2<k2-2k+1，。 例4（2001全国高考）已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项和为Sn, Sk=2550。 (1) 求a及k的

5、值；(2) 求。解析：(1) 设该数列为an, 则a1=a, a2=4, a3=3a, Sk=2550。由已知a+3a=2×4，a1=a=2，公差d=a2-a1=4-2=2。由得k2+k-2550=0，解得k=50，或k=-51。 a=2, k=50。 (2)由得 Sn=n(n+1) 。 。 训练题： 1求下列极限 (1) (2) (3)(4)2设首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn，求。 3RtABC中，AC=a, A=, C=90°，排列着无限多个正方形。（如图所示），其中面积依次为S1，S2，S3，。试将这些正方形的面积之和S用a和表示，若S为RtABC的面积的，试确定的值。   参考答案：1. (1) (2) 2(3) 当|a|>|b|时，原式=，当|a|<|b|时，原式=。(4) 2. ， 。 当q=1时，。 当q1时， 若