向量张量 应力部不变量

1、 内容提要n张量运算的基本法则张量运算的基本法则n应力分析应力分析n应变分析应变分析 向量的表示方法n字母表示法字母表示法n坐标表示法坐标表示法n矩阵表示法矩阵表示法 向量的数乘向量的和与差 向量的点积向量的叉积向量的夹角 3个向量的混合积字母标记法 需要注意的是: 自由标号Kronneker Delta 相关运算置换符号相关运算空间坐标转换向量，一阶张量二阶张量张量相等张量加减与数乘n张量的加减为各个分量逐个加减运算张量的加减为各个分量逐个加减运算n张量的数乘为张量的各个分量分别乘以张量的数乘为张量的各个分量分别乘以张量的并乘与张量的外积张量的缩并与张量的点积一点应力的表示方法 x y z

2、xy yx yz zy zx xz主应力112312323应力张量的不变量图图3.1 应力张量的分解应力张量的分解zzyxzyxzyxzyxzxymmmxzyijmij ijszmxmym应力偏张量应力球张量应力偏量不变量22221223311 22 33 131 2 316Js ss ss sJs s s 八面体正应力与剪应力321212233octmoctIJ ab312NNPJ2的相关代表力应力不变量之间的关系应力状态和不变量的几何解释121333235octmoctmIJ应力状态和不变量的几何解释12312223cos22 3sJJ应力不变量之间的关系120.5 10 2010 201

3、0 202212cKuufc Kc1221t1t2t1 3.65(01)11 0.8(0),cctcttfffff 双向受压 一拉一张 双向受拉 212221210.20.21.11.201.2ccccccccLiuNilsonSlftefa双向受压 时， 时 ， 211cbc1011210312103 2ccctctcbcJIabffaffbffaffbff 三轴应力下的混凝土强度准则三轴应力下的混凝土强度准则tf2fcc3f2fttf2f3ftfffffc1111( )(=0，=)(=0，= 在混凝土的破坏包络曲面上有一些。混凝土的单轴抗压强度( ，有减摩措施的试验所得)和抗拉强度各有三个

4、点，分别位于三个坐标轴的负、正方向。混凝土的二轴等压和等拉强度位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，三个坐标面内各有一个点；而混凝土的三轴等拉强度只有一)(=点落在静特征强度)点水压力轴的f2f3ff2f3f(7 1( )b11正方向。对于任意应力比的三轴受压、受拉或拉/压应力状态，考虑混凝土的各向同性，可由坐标或者主应力值的轮换，在应力空间中各画出六个点，位于同一偏平面上，且夹角 值相等 图()(，)。312123tcc(0 0)(0fff破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适用于理解和应用，常改用拉压子午面(图7.1c)和偏平面上的平面图形来表示。拉压子午面为静水压立轴与一主应力轴(如

5、图中的轴)组成的平面，同时通过另两个主应力轴()的等分线。此平面与破坏包络面的交线，分别称为。 拉子午线的应力条件为，线上拉、压子的特征强度点有单轴受拉和午线和， ， -二等压，-轴cc123cttttttttttttt)0(0 0)(0)0()ffffffrrtc，偏平面上的夹角为；压子午线的应力条件则为，线上有单轴受压和二轴等拉，偏平面上的=， ，-，夹角。拉压子午线与静水压立轴同交于一点，即三轴等拉。拉、压子午线至静水压立轴的垂直距，离=即为偏应力 和， ，。混凝土破坏包络面的特征(1)(2)(3)(4)(5)r rr rtctc曲面连续、光滑、外凸；对静水压立轴三折对称；在静水压立轴的

6、拉端封顶，定点为三轴等拉应力状态；压端 开口，不与静水压立轴相交；子午线上各点的偏应力或八面体剪应力值，随静水压力的代 数值的减小而单调增大，但斜率渐减，有极限值；偏平面上的封闭曲线三折对称，其形状随净水压力或正应力 值的减小，由近似三角形逐渐外凸饱满，过渡为一 ( / =0.5)( /圆=1)。(a) 平面 (b)柱面屈服面图2.9 屈服面和屈服轨迹1octm2octm123122133323523cos2 32 3IJsJJ混凝土强度准则模型1t1221t,2 3cos30ff I JJIf112122m33cos22cos3332cos3SJISS132212,sin30,sin320K

7、f JJKfK 2220f JJKtanc212121,sinsincossincos03333Jf I JIJc1212,0f I JaIJK2octoctoctcccabcfff0.724octoctcc0.875octoctcc0.9940.55600.6630.550ffff 图图7.3 各破坏准则的拉压子午线各破坏准则的拉压子午线图图7.4 各破坏准则的偏平面包络线各破坏准则的偏平面包络线图图7.5 各破坏准则的二轴包络线各破坏准则的二轴包络线结构特点、计算等级结构特点、计算等级选择模型形式选择模型形式材料特点、构件特点选材料特点、构件特点选择试验点并加权择试验点并加权自动确定模型参

8、数自动确定模型参数1、2、3、45参数模型混凝土三轴试验数据库本构关系 混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复杂得多。三个方向主应力的共同作用，使各方向的正应变和横向变形效应相互约束和牵制，影响内部微裂缝的出现和发展程度。而且，混凝土多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉压强度的降低，扩大了混凝土的应力范围，改变了各部分变形成分的比例，出现了不同的破坏过程和形态。这些都使得混凝土多 轴变形的变化范围大，形式复杂。另一方面，混凝土多轴试验方法的不统一和应变量测技术的困难，又加大了变量测数据的离散度，给研究本构关系造成更大困难。混凝土多轴本构关系大体有混凝土多轴本构关系大体有4类：类：1.线弹性模型

9、线弹性模型，2.非线弹性模型非线弹性模型，3.塑性理论模型塑性理论模型，4.其它力学理论类模型其它力学理论类模型。 其中，1、3 类模型是将成熟的力学体系(即弹性力学和塑件理论等)的观点和方法作为基础，移植至混凝土；4类模型则是借鉴些新兴的力学分支，如粘性弹(塑)性理论、内时理论、断裂力学、损伤力学等的概念相方法，结合混凝土的材料特点推导而得；2类模型主要依据混凝土多轴试验的数据和规律，进行总结回归分析后得到。 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样，简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应用范围和精度要求等加以适当选择。

10、 至今，实际工程中应用最广泛的还是源自试验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非线弹性类本构模型。1. 线弹性模型 这是最简单、最基本的材料本构模型。材料变形(应变)在加载和卸载时都沿一直线变化，完全卸载后无残余变形。应力和应变有确定的唯一关系其比值即为材料的弹性常数，称弹性模量。当混凝土的应力水平较低，内部微裂缝和裂缝和塑性变形未有较大发展时；预应力结构或受约束结构的外裂之前；体形复杂结构的初步或近似计算时；有结构选用不同的本构模型,对其计算结果不敏感时等等。 所以，线弹性本构模型在钢筋混凝土结构分析中的应用仍有相当大的余地 特别是因为按照线弹性分析的应力分布进行适当配筋后，一般结构能保证

11、必要的，甚至稍高的承载力安全度，有些设计规范中允许采用这类本构模型。空间应力应变关系弹性本构矩阵Ev形式弹性本构矩阵KG形式（1）各向异性本构模型：）各向异性本构模型：这一本构模型中刚度矩阵不对称，共需36个材料弹性常数。（2）正交异性本构模型：）正交异性本构模型：（3）各向同性本构模型：）各向同性本构模型：11112222333312122323313111112 1vvEEEvvEEEvvEEGEGv 11112222333312122323313111011 2000211 21 20021 2002E2. 非线弹性模型弹性模量弹性模量混凝土三维本构模型的核心各种本构模型的本质差别非线性

12、弹性模型的基本思路非线性弹性模型的分类全量模型Codolin模型Ottosen模型非线性指标(Nonlinear Index)二维非线性指标三维非线性指标：Ottosen法三维非线性指标： 法2J三维非线性指标：比例增大法等效一维应力应变关系割线模量计算式22000002200c00cc1211111112222cscscssfEADADEfEEEEEEEEEEED三维混凝土应力应变关系1228.2 1213.9 126.9 123.81 MP（）峰值和应变都要增大峰值和应变都要增大 取值fE1.750.180.00150.038octfccEEf20011413cfccfEEJEEf割线泊松

13、比计算02aff0aaa11ssvvvvvv 果 如果 -如本构矩阵计算步骤01)cos(1222cccfIdfJcbfJa例题求主应力 12222112222331133122331222231122331223311123223133122331232466 122483224221215.2922245.29234cos331.03mTIsJS SS SS SSSSJJS S SS S SS SS SS SJrJr 21coscos 31.033.46622cos5.288 cos 31.0312087.90533312.630cos 31.031202cos3JI求非线性指标22122

14、22220.11.28561.426810.22513.21281.28561.4268 10.2251cos3.2128100.0032140.50944.855409.0185.2920.5879.018tcffcccfffffabcdfJJIfffJJJJJ 得到Es和vs增量模型020002002200012112tctcdEdEEESaenEEEEz sModel Darwin模型02012iuiuiucicicEEE122122ic32ic1 3.65121.62.250.35cccciccicpciciciccicpcccfffffff 如果 如果 本构矩阵11211212222

15、121212124421cc010110024Biaxial compression0.2Others0.20.60.4Ev E Edddv E EEdVddEEvE Evvff 图图8.14 Ottosen本构模型本构模型(a)单轴受压单轴受压 关系关系 (b)多轴多轴 关系关系 (c)泊松比泊松比222200c01122111221122cccccccccccsccssADfADADADEEEEEEEEEE 又代入上式，整理后可得即时割线模量计算式为220fcEED（1- ）-1多轴应力峰值弹性模量1228.2 1213.9 126.9 123.81 MP（）1.750.180.00150.038()OttosenocftcocfctccfEEffEEE1式中：混凝土破坏时的割线模量； 混凝土初始弹性的模量； 应力矢量与轴在 平面上投影之角 相似角； 八面体正应力； 混凝土单轴抗压强 （2.81）