信号与系统Charpter2

1、第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换在信号分析中，经常将信号从时域表示转换到某一变换域表在信号分析中，经常将信号从时域表示转换到某一变换域表示，即对信号进行线性变换示，即对信号进行线性变换, ,常见的变换有：常见的变换有：（1）连续时间信号的傅立叶变换；（2）拉普拉斯变换；（3）离散时间信号的z变换。拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广。z z变换则是傅立叶变换则是傅立叶变换在离散时间序列中的普遍化。变换在离散时间序列中的普遍化。1 1周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析博立叶级数博立叶级数基函数：三角函数，指数函数；利用傅里叶级数研究周期信号的频谱特性 第二章

2、第二章 傅立叶变换傅立叶变换2 三角函数的傅里叶级数三角函数的傅里叶级数三角函数集：三角函数集：可以证明该函数集即为正交函数集。可以证明该函数集即为正交函数集。任何一个周期函数任何一个周期函数f(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示组合来表示。上述第一项为信上述第一项为信号的直流分量。号的直流分量。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换3 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式1110)sincos(2)(nnntnbtnaatfnnAAnn 00b 00AaAnAn 称为幅度频谱.称为相位频谱.n第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换4 4 指数函

3、数的傅里叶级数指数函数的傅里叶级数指数函数集：指数函数集：这是一个完备正交函数集。这是一个完备正交函数集。任何一个周期函数任何一个周期函数f(t)都可以用都可以用指数函数集指数函数集中各函数分量中各函数分量的线性组合来表示的线性组合来表示。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换5 5 傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系12nnCAnjnnAA e6 6 典型周期函数的频谱典型周期函数的频谱设周期矩形脉冲信号设周期矩形脉冲信号f(t)f(t)的脉冲宽度为的脉冲宽度为, ,脉冲幅度为脉冲幅度为E E，周期为周期为T T, ,信号在一个周期内的表达式为：信号在一

4、个周期内的表达式为：第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换将将f(t)f(t)展开成指数形式展开成指数形式傅立叶级数傅立叶级数: :12nnCA 122()2nnnEACSaT 11s i n ()222nnEAnT s i n ()222nEAT1n这里这里12TBasic Laws第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换s i n ()222nEAT若若: :（1 1）220nA（2 2）22nnAA（3 3）22 0nnAA表示方法：幅度为正表示相表示方法：幅度为正表示相位为位为0 0，幅度为负，表示相，幅度为负，表示相位为位为。Basic Laws第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换特点：特点：

5、离散线状频谱只出现在离散线状频谱只出现在 的整的整数倍上。数倍上。其包络线按抽样函数的规律变化。其包络线按抽样函数的规律变化。谱线的幅度变化呈现收敛状态，谱线的幅度变化呈现收敛状态，能量主要集中在第一个过零点之能量主要集中在第一个过零点之内。内。信号的时宽与频宽成反比。信号的时宽与频宽成反比。T T不变不变: : 1 1不变。不变。 T T增加：各分量幅度减小，增加：各分量幅度减小，1 1下下降，谱线变密。降，谱线变密。减小：各分量的幅值减小，减小：各分量的幅值减小，信号带宽增加。信号带宽增加。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换7 7 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换的导

6、出：傅里叶变换的导出： 非周期函数可以认为是周期非周期函数可以认为是周期T=T=时的周期函数。时的周期函数。 T T趋于无穷大时，谱线间隔趋于无限小，离散频谱就成趋于无穷大时，谱线间隔趋于无限小，离散频谱就成了连续频谱，各分量幅度趋于无穷小。了连续频谱，各分量幅度趋于无穷小。11sin ()222nnEAnT 12T第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换设周期信号设周期信号f(t)f(t)展成指数傅立叶级数为：展成指数傅立叶级数为：可见可见 为单位频率内的能量，一般记：为单位频率内的能量，一般记：2nTA第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换定义：定义：F()F()为频谱密度函数。为频谱密度函数。 为

7、幅度频谱，为为幅度频谱，为的偶函数的偶函数. .()F 为相位频率谱，为为相位频率谱，为的奇函数的奇函数. .() 同样可以推导出：同样可以推导出：第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换可见：可见： 非周期信号和周期信号一样，可分解为许多不同频率的正非周期信号和周期信号一样，可分解为许多不同频率的正弦分量。弦分量。 非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，包非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，包括了从零到无穷大的所有频率分量。括了从零到无穷大的所有频率分量。 傅里叶变换存在的充分条件（狄利赫条件傅里叶变换存在的充分条件（狄利赫条件)：第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换8 8 典

8、型非周期函数的频谱典型非周期函数的频谱 （1 1）矩形脉冲信号）矩形脉冲信号其数学表达式为：其数学表达式为：矩形脉冲频谱是矩形脉冲频谱是: :幅度谱：幅度谱：相位谱：相位谱：第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换比较典型周期信号和非周期信号的频谱，可以看出比较典型周期信号和非周期信号的频谱，可以看出: :非周期单位脉冲的频谱函数曲线与周期矩形脉冲离散频谱的包络线形非周期单位脉冲的频谱函数曲线与周期矩形脉冲离散频谱的包络线形状完全相同，都具有抽样函数的形状状完全相同，都具有抽样函数的形状, ,单脉冲频谱也具有收敛性，信号单脉冲频谱也具有收敛性，信号的绝大部分能量集中在低频段。的绝大部分能量集中在低频

9、段。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换(2) (2) 单边指数函数的傅里变换单边指数函数的傅里变换已知单边指数信号如图所示，已知单边指数信号如图所示，其表示式为其表示式为: :其幅度谱和相位谱分别为：其幅度谱和相位谱分别为：第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换(3) 双边指数函数双边指数函数双边指数函数如图所示，其表示双边指数函数如图所示，其表示式为式为其频谱函数为其频谱函数为幅度谱和相位谱分别为幅度谱和相位谱分别为第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换（4）单位冲激信号单位冲激信号的傅立叶变换是单位冲激信号的傅立叶变换是 当当趋于趋于0 0时，矩形脉冲变成时，矩形脉冲变成(t)(t)信号，其相应频

10、谱的第一个零点信号，其相应频谱的第一个零点(2(2/ /) )将移到无穷远处。将移到无穷远处。“均匀谱均匀谱”或或“白色频白色频谱谱”: :信号信号(t)(t)的频谱在整个的频谱在整个频率范围内均匀分布频率范围内均匀分布. .第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换(5) 单位阶跃函数（不符合绝对可积的条件）单位阶跃函数（不符合绝对可积的条件）(A) (A) 根据傅立叶变换公式，根据傅立叶变换公式，u(t)u(t)的频谱为：的频谱为：直接利用公式无法求出其傅里叶变换。直接利用公式无法求出其傅里叶变换。0( )( )tu teu tLim假设假设u(t)u(t)的傅立叶变换为：的傅立叶变换为：(B)(

11、B)( )( )( )FAjB 的傅立叶变换为：的傅立叶变换为：( )teu t( )( )( )eeeFAjB0( )lim( )eFF依据傅立叶变换具有唯一性：依据傅立叶变换具有唯一性：所以所以0( )lim( )eAA0( )lim( )eBB第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换0( )lim( )eAA0( )lim( )eBB( )( )( )FAjB22000( )lim( )lim( )lim0eeAAA0当当 时时当当 时时0所以所以0( )lim( )( )eAA 0( )lim( )ejBB第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换（6）符号函数）符号函数符号函数符号函数sgn(t)

12、如图所示如图所示其表示式为其表示式为由于由于sgn(t)sgn(t)不符合绝对可积条件，不符合绝对可积条件，故使用间接方法计算。故使用间接方法计算。同理可以得到：同理可以得到：2( )Fj第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换（7 7）直流信号）直流信号 直流信号如图所示直流信号如图所示 其表示式为其表示式为同理可以得到同理可以得到：( )2( )F 第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换10 10 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号的性质既可用时间函数信号的性质既可用时间函数f(t)f(t)表示，也可用频谱函数表示，也可用频谱函数F()F()表示，其中只要有一个确定，另一个也随之确定。表示，其中只

13、要有一个确定，另一个也随之确定。（1 1）线性）线性（2 2）时移特性）时移特性 结论：结论：信号的幅度频谱是由信号的波形形信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的，与信号在时间轴上出现的位置状决定的，与信号在时间轴上出现的位置无关，而信号的相位频谱，则是信号波形无关，而信号的相位频谱，则是信号波形状和在时间轴上出现的位置共同决的。状和在时间轴上出现的位置共同决的。如果如果那么那么如果如果那么那么例例1 1已知矩形脉冲已知矩形脉冲f f1 1(t)(t)如图如图(a)(a)所示，其相位谱如图所示，其相位谱如图(b)(b)所示，所示，将将f f1 1(t)(t)右移右移/2/2得到如图（得到如图（

14、c c）所示所示f f2 2(t)(t), ,试画出其相位谱。试画出其相位谱。 第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换由题意可知由题意可知根据时移特性，可得根据时移特性，可得f f2 2(t)(t)的频谱函数的频谱函数为为第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换f f2 2(t)(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)(b)滞后滞后/2/2、如图（、如图（d d）所示。要）所示。要使输出信号的波形不失真，必须是一个线性网络。即信号中各分量具有相使输出信号的波形不失真，必须是一个线性网络。即信号中各分量具有相同的相位移。同的相位移。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换（3 3）频

15、移特性）频移特性如果如果那么那么0 0 为常数，该性质也叫频谱搬移，为常数，该性质也叫频谱搬移，这种频谱搬移技术在通信系统中得这种频谱搬移技术在通信系统中得到广泛的应用。调幅，调频都是在到广泛的应用。调幅，调频都是在该基础上进行的。该基础上进行的。由此可见，将时间信号由此可见，将时间信号f(t)f(t)乘以乘以Cos(Cos(0 0t)t) 或或Sin(Sin(0 0t)t)，等效于等效于将将f(t)f(t)的频谱一分为二，即幅度的频谱一分为二，即幅度减小一半，沿频率轴向左和向右减小一半，沿频率轴向左和向右各平移各平移0 0. .第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换例例2 2 求如下矩形调幅信号

16、的频谱函求如下矩形调幅信号的频谱函数数0()() c o sftGtt已知门函数的频谱函数为已知门函数的频谱函数为根据频移特性可得根据频移特性可得第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换(4)(4)对称特性对称特性如果如果那那么么例例3 3 求函数的频谱函数求函数的频谱函数tttSasin)(宽度为宽度为幅度为幅度为1 1的门函数的门函数 的频谱函数为的频谱函数为 , ,即即( )g t()2Sa( )()2g tSa根据对称性可得根据对称性可得()2()2tSag假设假设222( )2()Sa tg2( )()Sa tg2( )( )Sa tg故故SaSa(t)(

17、t)的频谱函数为：的频谱函数为：2()( )Fjg第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换(5) (5) 微分特性微分特性如果如果那么那么（6 6）积分特性）积分特性如果如果那么那么如果如果F(0)=0F(0)=0第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换(7)(7)卷积定理卷积定理1 1时域卷积定理时域卷积定理如果如果那么那么(8)(8)频域卷积定理频域卷积定理如果如果那么那么第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换11周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱周期信号的频谱-用傅里叶级数表示。用傅里叶级数表示。非周期信号的频谱非周期信号的频谱用傅里叶变换表示。用傅里叶变换表示。周期信号的频谱可以用

18、傅里叶变换表示吗？周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？（1 1）正弦、余弦信号的傅里叶变换）正弦、余弦信号的傅里叶变换直流信号的博立叶变换为直流信号的博立叶变换为 的博立叶变换为的博立叶变换为0jte可见，指数函数，正可见，指数函数，正弦、余弦函数的频谱弦、余弦函数的频谱只包含位于只包含位于0 0处的冲处的冲激函数。激函数。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换（2 2）周期信号的傅里叶变换）周期信号的傅里叶变换周期为周期为T T的信号可用傅立叶级数表示为的信号可用傅立叶级数表示为ntjnnec1其中其中C Cn n是是f(t)f(t)的指数傅立叶级数的系数的指

19、数傅立叶级数的系数, ,且且f(t)f(t)博立叶变换为：博立叶变换为：该式表明：该式表明：周期信号周期信号f(t)f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F()F()是由一些冲击函数组成的，是由一些冲击函数组成的，并位于基波并位于基波1 1的整数倍处，冲击强度为的整数倍处，冲击强度为f(t)f(t)的指数傅里叶级数的系数的指数傅里叶级数的系数C Cn n的的22倍。倍。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换例例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数为傅里叶级数为例例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换求周期矩形脉冲信号的傅里叶

20、级数和傅里叶变换第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换矩形脉冲信号矩形脉冲信号f(t)f(t)的的傅里叶系数为：傅里叶系数为： f(t)f(t)的傅里叶级数为的傅里叶级数为周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为单脉冲单脉冲f f0 0(t)(t) 的傅的傅里叶变换为里叶变换为第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换Cn, F(), F0()具有相同的包络线。具有相同的包络线。第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换12 抽样信号的频谱抽样信号的频谱， f(t)f(t)：表示连续时间信号表示连续时间信号f fs s(t)(t): :表示被采样以后的离散信表示被采样以后的离散信号号p(t)p

21、(t)：表示抽样脉冲序列：表示抽样脉冲序列nsnTttp)()(第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换结论与讨论结论与讨论（1 1）信号被采样后，其频谱）信号被采样后，其频谱F Fs s()()是由连续信号频谱是由连续信号频谱F()F()以抽样频以抽样频率率s s为间隔周期重复得到。为间隔周期重复得到。（2）时域抽样定理：）时域抽样定理：fs(t)要保留要保留原连续信号原连续信号f(t)的全部信息，必须满的全部信息，必须满足：足：ms22smff在实际应用上：在实际应用上：(6 10)sm（3 3）抽样定理说明：一个频带有限的信号）抽样定理说明：一个频带有限的信号f(t)f(t)，如果其频谱只占据

22、，如果其频谱只占据- -m m- - + +m m的范围的范围, ,则信号则信号f(t)f(t)可以用时间间隔不大于可以用时间间隔不大于 的抽样唯一地确定。的抽样唯一地确定。)2/(1mf第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换（4 4）通常把最低允许的抽样率）通常把最低允许的抽样率 称为称为奈斯持频率奈斯持频率，把最大允许的抽，把最大允许的抽样样 间隔称为间隔称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔。（5 5）如果）如果 ，F Fs s()()将产生混将产生混迭迭, ,信号信号f(t)f(t)不能由取样信号不能由取样信号f fs s(t)(t)完完全恢复全恢复. .2sm1313系统的传输函数和频率响应系统的

23、传输函数和频率响应频率响应频率响应：以单位冲激信号为激励时，系统产生的冲击响应为：以单位冲激信号为激励时，系统产生的冲击响应为h(t)h(t)，其傅里其傅里叶变换叶变换 为频率响应（为频率响应（或传输函数或传输函数).).第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换14 综合题综合题例例1 （必考）（必考）求图示各信号的傅里叶变换。求图示各信号的傅里叶变换。 提示：提示： ，利，利用傅里叶变换时移特性用傅里叶变换时移特性 ( )()2g tSa 提示：提示：先利用欧拉公式，再先利用欧拉公式，再利用傅里叶变换的公式计算利用傅里叶变换的公式计算 提示：提示： 1( )()()22f tg tg t第二章第二

24、章 傅立叶变换傅立叶变换例例2 2 利用对称性求下列函数的傅里叶变换利用对称性求下列函数的傅里叶变换 提示提示：利用：利用 ，先利用傅里叶变换对称性，再利用傅里，先利用傅里叶变换对称性，再利用傅里叶变换时移特性叶变换时移特性 ( )()2gtSa例例3 3 求下图所示函数的博里叶逆变换求下图所示函数的博里叶逆变换提示： (a)(b)0( )( )( )j tFFAe202002( )( )( )02jjAAeFFAAe 利用傅里叶反变换公式计算利用傅里叶反变换公式计算第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换例例4 4 试求图示周期信号的频谱函数，图试求图示周期信号的频谱函数，图(b)(b)中冲激函数

25、的强度均为中冲激函数的强度均为1.1. 提示：提示：（a a）11( ) cos()22FFFt221( )Tjn tTnTCft edtT(b)(b)(b) （b b）( )( )()2TTfttt() 2()nnF jCn 第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换例例5 5 求图示升余弦脉冲对表示为求图示升余弦脉冲对表示为试用以下方法求其频谱函数试用以下方法求其频谱函数(1)(1)利用傅里叶变换的定义利用傅里叶变换的定义. .(2)(2)将它看作是门函数将它看作是门函数 与与 函数的乘积。函数的乘积。2( )g t11cos()2t第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换例例6 6 某某L1IL1I系

26、统的频率响应为系统的频率响应为若系统输入若系统输入f(t)f(t)cos(2t)cos(2t)，求该系统的输出，求该系统的输出y(t)y(t)。 提示提示: :() (2)(2)Y jj (sin2 ) (2)(2)Ftj 例例7 7（必考）（必考） 如图如图a a所示系统，已知乘法器的输入为所示系统，已知乘法器的输入为 tttf)2sin()()3cos()(tts系统的频率响应为：系统的频率响应为：求输出求输出y(t)y(t). .第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换tttf)2sin()()3cos()(tts乘法器的输出信号为：乘法器的输出信号为：)()()(tstftx依频域卷积定理可

27、知：依频域卷积定理可知：1()()* ()2X jF jS j)()(jFtf( )()s tSj这里：这里：由于宽度为由于宽度为的门函数与其频谱函的门函数与其频谱函数的关系是数的关系是)2()(Satg根据对称性可得根据对称性可得()2()2tSag假设假设444(2 )2()Satg42(2 )()Sa tg42(2 )( )Satg故故f(t)f(t)的频谱函数为：的频谱函数为：s(t)s(t)的频谱函数为：的频谱函数为：第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换系统的频率响应函数可写为系统的频率响应函数可写为显然它可以写为显然它可以写为第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换例例8 8 如图所示系统，已知如图所示系统，已知)2(2)(tSatf)sgn()(jjH求系统的输出求系统的输出y(t)y(t)提示：提示：利用利用 和对称性，和对称性，并假设并假设4 4，可得到：，可得到：)2()(Satg4()( )F jg（2 2）122()() ()( (1)(1)F jH jF jj gg 2122221()()* sin(4)21( (5)(3)(3)(5)2Y jF jFtgggg（3 3）（1 1）1441()() *cos(4 )21(4)(4)2YjFjFtgg（4 4）12222()( )( )(5)(5)21.( )* (5