简单的工程问题(教研)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 简单的工程问题（方法篇）定义：在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率以及工作时间三个量。在数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”。概念认识导入1：五星花园修隧道，这条隧道长200米，有一个工程队修完共用20天，每天修多少米？导入2：修一段路，共修了20天，那么每天修这条路的多少？对比两题列表格如下：工作总量工作时间工作效率导入1200米为具体数值20（天）200÷20=10（米/天）导入2没有告诉具体的数值（当题目中没有告诉具体的数值时，我们就用“1”来表示）20（天

2、）1÷20=通过对比我们可以发现：工作总量：需要完成的工作量。（比如：做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等）在工程问题中，当工作总量会出现两种情况，一种是告诉了具体的数值，另一种没有告诉具体数值，我们就以“1”来表示。工作时间：完成一项工作，完成整个工作所花掉的实际时间（休息时间除外）。工作时间一定为带有单位的具体的数值。例：完成一项工作，甲花了10天才完成，其中甲休息两天，甲的工作时间是（）工作效率：一个单位时间内所完成的工作量。（单位时间：一天，一小时，一分钟）当工作总量为具体的数值时，工作效率同样为具体的数值，带有单位。当工作总量没有告诉具体的数值，为“1”

3、时，工作效率为分数，不带单位这两道题我们可以很简单的求出工效，但是在实际工程问题中工效都是“隐藏”在一些条件中的。例：求出甲乙的工作效率 完成一项工程，甲独做需要10天，乙独做需要15天， 修一段路，甲单独修要10天，乙修6天修了这段路的。 修一段路，甲2天修了这段路的，乙修8天修了这段路的。求工作效率时通常都是：找准工作时间对应的工作量。然后利用工作量除以工作时间。二关于合作（在一些工程问题中，出了单干之外，往往还涉及到合作）导入：妈妈买了20个苹果，要求姐姐每天吃4个，弟弟每天吃1个，姐弟一起吃，问这些苹果多少天能被吃完？分析表格如下：合作的工效姐姐的工效：4（个/天）弟弟的工效：1（个/

4、天）所以姐弟一起就要吃：1+4=5（个/天）合作工效：各自的工效之和合作的时间20÷（1+4）=4（天）他们合作4天就把苹果吃完了，即姐姐吃了4天，弟弟也吃了4天。合作时间：合作的时间等于各自单独的工作时间合作的工作总量弟弟吃的苹果：1×4=4（个）姐姐吃的苹果：4×4=16（个）合做工作总量：等于各自的工作量之和。简单练习：1：完成一项工程，甲独做需要10天完成，乙独做需要15天完成过，那么甲乙合作，合作的工作效率是_2：甲乙合做6天，:甲做 天，乙也做 天3：完成一项工作，甲乙先合作20天，再由乙单独做5天完成这项工作，那么乙的做了_天，甲做了_天。（强调工作

5、总量不变）4：甲乙合作完成一项工程，甲做了全部的，乙做了全部的，则两人合作一共完成这项工程的_。 例题解析类型一：一般工程问题导入：修一段路，甲单独完成要10天，乙单独完成需要15天。甲乙合作多少天可以完成？ 分析：问题求的是工作时间，那么我们只需要找出工作总量和工作效率即可。题中不知道工作总量的具体数量，所以我们假设为单位“1”。甲乙合作那么合作的工作效率应该是甲的工作效率加乙的工作效率。甲乙合作的效率也就是： +=完成的时间： 1÷=6（天）通过这道题，我们就可以看出，一般的工程问题应用题由两个部分组成，前一个部分提供“工作效率”，而后一个部分主要是提供“工作方法”。例1：一件工

6、作，甲5小时完成全部工作的，乙6小时又完成剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合做，还需几小时才能完成？分析：此题要求余下的部分甲乙合作要多少天，我们只要知道余下的工作量是多少，和甲乙合作的工效即可。解：甲的工效：÷5= 乙的工效：（1-）×÷6= 甲乙合作的工效：+=余下的工作量：1-×=合作的天数；÷=（小时）小结：在解决工程问题时，我们一般从问题出发，理清解决问题所需要的条件，然后再题目的已知条件中去寻找所需要的条件。并且工作量，工作时间，工作效率三者一定要对应。即：用什么工作方法在哪段时间内完成了哪一部分工作量。练习：单独完成某项工程

7、，甲、乙、丙分别需要10小时、15小时、20小时。开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走，结果共用了6小时完成这项工作。问甲实际工作了多少小时？类型二：用组合法解工程问题例题2：完成一项工作，甲队单独做30天完成。现甲乙两队合做15天后，甲队有任务调离。乙队再做9天完成了任务，问这项工作由乙单独完成需要多少天？分析：工作方法中提供的工作时间有“甲乙合作15天”和“乙单独做9天”但是题中提供的效率是甲的效率，并不是成对应关系。工作效率不能改变，那么就需要我们把工作方法改变一下，改变成与效率对应的甲的工作时间。工作方法改成： 甲先单独做15天，余下的由乙做了（15+9=24)天完成。为什么要改变

8、工作方法：题目中给的工作方式与工作效率不对应。为什么能改变工作方法：因为不论怎么改变工作方式，整个工作除了甲做的就是乙做的。整个工作总量不变。 甲的工作量：×15= 乙的工作量： 这道题就可以很简单的求出：1÷（1×15）÷24=48（天）例题3：一项工程，甲乙两队合做8天可以完成，现由甲队先做6天，余下的任务由乙队独做10天完成。问乙队单独做这项工程需要多少时间？分析：工作方法提供的时间是甲、乙单独做的时间，而可以求出的效率是甲乙合作的效率，并不是成对应关系，同样也需要我们转化。转化成： 甲乙合作了6天余下的由乙单独做了4天完成。 甲乙合作的工作量:&

9、#215;6= 乙: 这道题就可以很简单的求出： 1÷（1×6）÷4=16（天）根据例题2、3我们可以得出解决工程问题中“分”与“合”的方法。例题四中是单独的甲的效率，时间与效率不对应，我们就进行“拆分”。例题五中题中提供的是甲乙合作的效率，时间与效率也不对应，我们就进行“合并”。总结：提供的是单独的效率就把工作方法“拆分” 提供的是合作的效率就把工作方法“合并”练习：甲乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队做8天，再由乙队做12天，还剩下这项工程的。甲乙两队独做各需多少天？类型三：两两合作工程问题例4：一件工程，甲乙合作需6天完成，乙丙合作需9天完成，甲丙合

10、作15天完成。现在甲乙丙三人合作需多少天完成？分析：要求甲乙丙三人合作完成的天数，我们只要知道甲乙丙三人的合作工效即可。题目中告诉了我们甲乙丙三人每两人的合作工效。列式表示可得： 甲+乙=，乙+丙=，甲+丙= 三个等式中甲乙丙各出现了两次，把三个等式加起来可得： 2×甲+2×乙+2×丙=，即：2×（甲+乙+丙）= ，甲+乙+丙= 甲乙丙三人合作完成的天数：1÷=（天）练习：某项工程，甲乙合作6天可以完成，乙丙合作需8天，甲丙合作则需12天。问三人合作几天可以完工？甲乙丙单独做此工程各需几天完工？类型四：假设法工程问题例5：一项工程，甲单独做20

11、天完成，乙单独做15天完成。这项工程，先由甲做了若干天后，再由乙单独完成，从开工到完成共用18天。求甲乙两人各做了多少天？分析：完成这项工程甲乙的工作方式为甲先做，再有乙做，共用18天，要求甲乙各做了多少天，这种题型跟我们以前学的小兔子晴雨天采蘑菇为同一种类型的题。所以我们可以用假设法来解此题。已知甲的工效：，乙的工效解法一：假设这18天全部是有甲来做。 那么甲这18天总共完成的工作量为：18×=，比整个工程还少了。（为什么会少？） 我们在假设全部由甲来做的时候，是把乙换做了甲，那么每换一天，甲就要比乙少做-= 总共少了，把乙换做了甲，每天少做，所以乙换的天数就为：÷=6（

12、天） 甲做的天数就为：18-6=12（天）注意：如果开始假设全部的天数是甲做的，求的结果就是乙(同学们假设全部由乙来做)解法二：由题意可知，整个工程不是由甲做的的，就是由乙做的。整个工程量为1，甲乙的工效我们知道，完成的总天数我们也知道。所以此题我们还有可以用方程来解。解： 设甲工作天，则乙工作（18-）天。 +（18-）=1 =12 乙工作的天数：18-12=6（天）练习：一件工程，甲独做需20天完成，乙独做需12天完成。这件工程，先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。问甲乙两人各做了多少天？例6：一项工程，甲队独做需要15天完成，乙队独做需要30天完成，丙队独做需要4

13、5天完成。现在由甲乙丙三队合作完成这项工程。在工程过程中，甲队休息1天，乙队休息2天，丙队休息了4天。求完成这项工程前后一共用了多少天？分析：此题的工作方式中，甲乙丙都各自休息了若干天。他们的工作时间就不能确定，那么我们可以假设甲乙丙三人没休息，那么甲休息一天的工作量1×=，乙休息两天的工作量为2×=，丙队休息4天的工作量为4×=。我们假设他们都没有休息。那么他们三人出了把原本的“1”的工作量做完之外，还要做多（+），总工作量就为（1+）， 解法一： （1+）÷（+） =÷ =10（天）解法二：（同学们自己完成。列方程）练习：一项工程，甲单独完

14、成需要30天，乙单独完成需要45天，丙单独完成需要90天。现在由甲乙丙三队合作完成此工程。在完成这项工程的过程中，甲休息2天，乙休息3天，丙没有休息，求完成这项工程前后一共用了多少天？小结：对于题目中出现了某队“休息”或做了“若干天”，这种工作时间不确定的题型，我们一般采用假设法来做。当然也可以通过列方程的方法来做。类型五：消元法解工程问题导入：完成某项工程，甲做11天，乙做2天，可以完成这项工程的；甲做11天，乙做4天，可以完成这项工程的。求甲乙单独完成这项工作各需多少天？分析：要求甲乙单独完成工作需要的天数，只要知道甲乙的工作效率即可。题目中告诉了我们两种不同的工作方式。列出这两种工作方式

15、可得： 11×甲的工效+2×乙的工效=. 11×甲的工效+4×乙的工效=. 对比两个等式我们可以发现，第二种比第一种多完成了-=，是因为乙多做了2天，所以我们可得：乙的工作效率为÷2=。 把乙的工作效率带入任意一个等式即可求出甲的工效 甲的工效：（-×2）÷11= 即：甲单独完成需要 1÷=20（天） 乙单独完成需要 1÷=60（天）小结：此类题型往往会出现两种情况，我们把两种情况列出来，通过对比法，可以消去一个未知量，用这样的方法消去未知量，通常称为“消元法”例题7：完成某项工程，甲做4天，乙做5天，可以完成这项工程的；乙做3天，甲做6天，可以完成这项工程的。求甲乙单独完成这项工作各需多少天？分析：此题跟导入题一样，所以我们可以根据两种工作方式列出等式 4×甲的工效+5×乙的工效=. 3×甲的工效+6×