精算学原理课件第2章

1、第二章第二章 年金理论与应用年金理论与应用第一节第一节 年金的终值和现值年金的终值和现值一、年金的概念年金：年金：相等相等时间间隔所作的时间间隔所作的一系列等额支付一系列等额支付。如住房按揭贷款，购物分期付款等等如住房按揭贷款，购物分期付款等等特点：特点：时间间隔相同时间间隔相同；一系列等额支付；一系列等额支付年金的分类：确定年金（固定的时间，支付的次数确年金的分类：确定年金（固定的时间，支付的次数确定）；不确定年金（或有年金，生命年金，指支付的次数定）；不确定年金（或有年金，生命年金，指支付的次数与生存概率有关）与生存概率有关）年金是利息理论的应用，一般计算其终值和现值等。年金是利息理论的应

2、用，一般计算其终值和现值等。本章学习确定年金！本章学习确定年金！二、普通年金的终值二、普通年金的终值普通年金又称后付年金，是指各期末收付的年金。12|(1)1(1)(1)1nnnnisiii |ns记 号 ：普通年金的终值是指最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。三、年金终值系数表 见附录三例 ：假设某项目预计建成后在5年内每年年末还款100万元，年利率为10%，则该应付本息的总额是多少？答案：该项目应付本息的总额为610.51万元。普通年金的现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项现在需要投入的金额。0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn四、普通年金的现值四、普通年金的现值

3、| na记号：2|(1)11nnnnvvvavvvvi 五、年金现值系数表 见附录4例 某人出国3年，请你代付房租，每年租金1000元，设银行存款利率10%，他应当现在给你在银行存入多少钱？答案： 2486.9元例 假设以10%的利率借款20000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？答案：3255元知识运用例 某企业现在借款50000元投入经营。按照复利计算，报酬率为多少时才能保证在以后8年中每年末偿还8000元？ 答案：5.84%六、年金终值与年金现值的关系六、年金终值与年金现值的关系的的关关系系式式与与|nnas1(1)1nniiisi 证：112)nnia

4、snnnnaviiii111)1()1(例 ：假定贷款利率为10%，比较为期10年的1000元贷款在以下所列三种方式偿还贷款的情况下将支付的利息总额。（1）全部贷款及利息在第10年末一次还清；（2）利息每年末支付，本金第10年末支付；（3）贷款在10年内的各年末平均偿还。第二节第二节 先付年金与后付年金的先付年金与后付年金的关系关系|ns 记 号 ：一、先付年金与后付年金终值（一）先付年金的终值1|(1)1(1)(1)(1)nnnnisiiid |1nnssi 例 已知利率i=6%，分别计算在未来10年里，每年年末1元的确定年金在第10年期末的终值以及每年年初1元的确定年金在第10年期末的终值

5、 。答案:13.181元；13.972元。 （二）先付年金终值与后付年金终值的关系（二）先付年金终值与后付年金终值的关系二、先付年金与后付年金现值（一）先付年金现值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1| na 记号：21|11+nnnvavvvd （二）先付年金现值与后付年金现值的关系|1nnaaidsaiassannnnnnn 11)1(或：的关系与知识运用例 已知利率i=6%，试利用年金现值系数表和（2.6）分别求10|10|aa和答案：7.3601元和7.8017元。例 仍以例2-2中数字为例，如果某人出国3年，请你代付房租和资金是每年年初支付1000元，银行

6、存款利率10%，他应当在给你在银行存入多少钱？答案：2735.48元。第三节第三节 不同付款次数的年金不同付款次数的年金一、不同付款次数的年金问题指付款频率与计息频率不一致。指付款频率与计息频率不一致。付款频率与计息频率不一致的情况可以通过付款频率与计息频率不一致的情况可以通过（1）利率转换法利率转换法，使得付款频率与计息频率一致。，使得付款频率与计息频率一致。（2）公式法公式法，以计息频率为主，换个角度思考！，以计息频率为主，换个角度思考！（一）利率转换法每年付款1次的实际利率=（1+期利率）m-1某人从现在起，每年初向一基金存入1000元，连续存5年，该基金每月结转1次利息，月实际利率为0

7、.5%,试计算该项投资在第5年末的价值。 答案: 6004.85元。 (二）公式法1.期末付年金(1)每年支付m次的期末付年金现值 假定计息期是付款周期的整数倍 m- 每个计息期内的付款次数 n-计息总次数，于是付款总次数为mn i-每个利息换算期内实利率 假设年利率为i，每次末的支付额为1m，每年支付额为1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 注注意意每每个个符符号号的的含含义义！个个单单位位金金额额总总共共付付款款注注意意：在在一一个个计计息息息息内内1|mna年金的现值记为nmnmmmmmmnavvvvm1211 11111 nmmvvmv

8、()1111 nmvminmvi1 m（2）每年支付次的期末付年金终值()mmnnnsai1mnnaa与的关系1nmviii1nmmnvaimniai()mmnnissi同理：同理： 假设年利率为i，每次初的支付额为1m，每年支付额为1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 2.期初付年金（2）每年支付m次的期初付年金终值1()mnmnnsia11111nnmmmmnvavvmd （1）每年支付m次的期初付年金现值的关系与nmnaa )(1nmmnvad1nmvdddmndad同理：同理：mmnndssd例 张东向银行贷款200，000元，年利率为

9、4%，计划10年还清，求每月末的还款额。 解：设年还款额为)12(P(12)1210200000Pa(12)1210200000iPai元3 .24214200000110896. 803928. 004. 0)12()12(PP元8 .2017121)12(P每月的还款额为：每月的还款额为：知识运用例 如果某投资者希望在今后的5年内每个季度末领取500元等额收入，在年实际利率i=5%的条件下，该投资者在期初存入银行多少钱？解一：解一：454500Pa454500iai元66.8819329477. 40490889. 005. 05004012522. 0)1 (1040iii元66.881

10、9500020iaP解二：解二：知识运用例 小王每月向银行存入100元，计划存足30年后在当年末一次性取出，如果年实际利率为2%，求小王支取的数额。解：123012100Ps1230120049207.48dsd元知识运用二、支付频率低于每单位时间1次的年金（多年支付1次）例如，10次支付，每次支付额为4，在时点4，8，12，,40支付，这份年金在时点0的价值可以表示为0.2540a。 即40440440410.251141411vivaiSii这 个 表 达 式 还 可 以 写 做三、延期m年的n年期年金 1）期末付延期年金 现值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n

11、-1Vm+n 或：mnmnmaaanmnmmmnmvvvva121nmav)(2nmvvvv终值nnnnmsiiiiis1)1 ()1 ()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：2)期初付延期年金 现值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 。 终值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1 ( 或：或：例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。解：4151943000()(9.60363.3121)(10.08)441.51PaP

12、aaPP元知识运用思考：延期支付且付款频率与计息频率周期不一致时年金的现值与终值应该怎么计算？第四节第四节 债务偿还方法债务偿还方法一、偿债基金付款偿债基金是指为了使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额。|(1)1(1)1(1)1nnnnniRnsRiiRsiii如 果 每 年 年 末 支 付元 ， 在 第年 年 末 的 终 值 为， 由 此 可 得称 为 偿 债 基 金 系 数 。 偿 债 基 金 系 数 可 以 制 成 表 格 备 查 ， 亦 可 以 根 据普 通 年 金 求 倒 数 确 定 。知识运用例 某人拟在5年后还清10 000元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项。假设银行

13、存款利率10%，每年需要存入多少元？ 例 假设某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款利息为10%，则为偿还该项借款应建立的偿债基金为多少？ 答案：215.4元答案: 1638元。 二、分期偿还贷款二、分期偿还贷款111112121111201)1),111111rnnLnrXrrnrnLXiXiiXiiir一 个 投 资 人 在 时 刻 借 出 ， 并 得 到 次 偿 还 ，其 中 第 次 金 额 为， 到 期 时 间 为（。假 定 借 款 在 第 r年 的 实 际 利 率 为 i （显 然 ， 借 款 额 是 偿 还 额 在 给 定 利 率 水 平 下 的 现 值 。这

14、样 投资人可能会把每笔偿还额的一部分分看作是未偿还额的利息（最近一期的），而将余额看作本金偿还以减少贷款的余额。0tnFtia令为 在 时 刻 到 期 的 偿 还 额 收 到 后 的 未 偿 还 贷 款 金 额 ，考 虑 利 率 为 的 情 况 下 ， 一 笔 在 时 刻 发 生 的 数 额 为的贷 款 ， 分 n次 偿 还 ， 每 次 偿 还 的 金 额 为 1， 偿 还 时 间 分 为1,2,3,.,n。 贷 款 人 可 以 建 立 一 张 表 表 示 每 次 收 到 的 偿还 金 额 中 利 息 和 本 金 的 构 成 。11tn tttttntFtRFFv n-tn-tn-t+1n-t

15、在第 次偿还发生后尚有笔未偿还金额，即a。这样a因此，时刻 的贷款偿还额为aa表2-1 贷款偿还摊销表nanv1nv1na11knv1knvknav1vnanna第五节第五节 其它年金其它年金连续年金连续年金 变动年金变动年金 一、连续年金 定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金. 公式:()()00()()001limlim1(1)limlimnnnttmmnnnmmnnnttmmnnnmmeav dtedtaaesidtedtss 000|nm ntnmm nmttnnmtnnm nmmnnmm amm aedtm aedtedtm aeedtm aaam av a如果 为非负数，用表的示一

16、笔年金延期 个时间单位、在n各时间单位内每单位时间的支付金额为1的连续支付年金的现值。这样可以得到式：即因此或永久年金 1）期末付年金现值 2）期初付年金现值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投资期初投资 元，则元，则每年可获得每年可获得1元元期初投资期初投资 元，元，则则每年可获得每年可获得1元元d1i1二、变动年金 在未来n年中的时刻ti的支付额为Xi的年金在第1年初（时刻0）的现值为11intiinXi其 在 第年 末 的 终 值 为。1,intiiX v1.标准递增型年金1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，n现值：nnnvvvvIa32

17、32)(两边同乘(1+i):12321)(1 (nnnvvvIainnnnvvvvIai)1 ()(12nnnva invaIannn )(两式相减：终值终值nnnIaiIs)()1 ()(insn 2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-，n 现值：1324321)(nnnvvvva I 两边同乘V:nnnvvvaIv 22)(nnnnvvvva Iv)1 ()(1 (12 nnnva dnvaaInnn )(两式相减：终值终值nnnaIis I)()1 ()( dnsn 2.标准递减型年金 n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1 现值：nnvvnv

18、nnva32) 2() 1()D(两边同乘(1+i):12)2() 1()(1 (nnvvnvnnDai)()(2nnvvvnDainanianDann)(两式相减：终值终值nnnDaiDs)()1 ()(isinnn)1 ( 2) 期初付danaDnn)( nnnaDisD)()1 ()( dsinnn)1 (终值：终值：现值：现值：3.一般等差年金 一般形式 现值 终值012nPP+QP+(n-1)QinvaQPaVnnn) 0(insQPsnVnn)(例：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付额比前一年增加200元，若i=5%,求该年金支付10年的现值和终值。 解：1）现值为：10)(200 Ia元18.5807200invann 元）（15062.33i15807.18102）终值为：）终值为：知识运用例 某人希望购买一项年金，该年金在第一年末的付款为1，000元，以后每年增加100元，