变化率与导数的概念课件

1、 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用高中数学选修高中数学选修1-11-13.13.1变化率与导变化率与导数数 同学们，我们人个体学习知识的过程是重复人类历史同学们，我们人个体学习知识的过程是重复人类历史上人类如何学习认识知识的过程。比如我们学习数学遇到上人类如何学习认识知识的过程。比如我们学习数学遇到的问题就是人类历史上数学家认识研究数学所遇到的问题。的问题就是人类历史上数学家认识研究数学所遇到的问题。 历史上历史上数学家如何学习认识研究数学家如何学习认识研究导数，为什么要发明导数，为什么要发明导数，我们从两个数学家说起。导数，我们从两个数学家说起。 牛顿：影响人类历史的牛顿：影响人类历史

2、的100位伟人，牛顿排名第二。位伟人，牛顿排名第二。 艾萨克艾萨克牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和神学。他在神学。他在1687年年7月月5日发表的不朽著作日发表的不朽著作自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理里用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则里用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则万有引力定律和三大万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类

3、智人类智慧史上最伟大的一个成就慧史上最伟大的一个成就”，由此奠定了之后三个世纪中物理界的，由此奠定了之后三个世纪中物理界的科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起“理性主理性主义义”的旗帜，开启工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯的旗帜，开启工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。 莱布尼兹：影响人类的莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：位伟人中，无莱布尼兹排名，但是： 戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉莱布尼茨（莱布尼茨（Gottfr

4、ied Wilhelm Leibniz，1646年年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。先后独立发明了微积分。 历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。 牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。牛顿、爱因斯坦有

5、自闭症即阿斯伯格症。 在发明微积分前已经有笛卡尔的解析几何。但在生活生产在发明微积分前已经有笛卡尔的解析几何。但在生活生产实践中遇到一些问题，以往的数学知识无法解决，必须要有新实践中遇到一些问题，以往的数学知识无法解决，必须要有新方法来解决。比如：方法来解决。比如： 学习微积分先从哪里开始？学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什先学习导数，要学习导数先学习什么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。 对于对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可

6、以求最最大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二次曲线围成的面积原来方法就不行），次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就如果大于二次那原来方法就力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。气球膨胀率气球膨胀率问题问题1?,.,.描描述述这这种种现现象象呢呢如如何何从从数数学学的的角角度度的的半半径径增增加加得得越越来来越越慢慢气气球球增增加加随随着着气气球球内内空空气气容容量量的的可可以以发发现现回回忆忆一一下下吹吹气气球球的的过过程程

7、很很多多人人都都吹吹过过气气球球 ,):(:,334rrVdmrLV 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343VVrVr 那么的函数表示为体积如果把半径 ,62. 001,10dmrrLV气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./.Ldmrr6200101 气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrLL1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./.Ldmrr1601212 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出 .433VVr?,均膨胀率是多少均膨胀率是多少气球的平气球的平时时增加到增加到当空气的容量从当空气的容量从思考思考21V

8、V1212)()(VVVrVr问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：（单位：秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?hto请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05( / )0.5

9、0(2)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在这段时间里，在1这段时间里， 计算运动员在计算运动员在 这这段时间里的平均速度段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t 探究探究:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.平均变化率定义平均变化率定义:若设若设x=x2

10、-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为则平均变化率为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率理解：理解：1，式子中，式子中x 、 f 的值可正、可负，但的值可正、可负，但x值不能为值不能为0， f 的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f (x)为常函数时，为常函数时， f =0 3, 变式变式211121

11、()()( )() f xf xf xxf xxxx 思考思考? 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的的斜率斜率 有的同学学到这里可能会疑问，觉得学习平均变化率好像什么有的同学学到这里可能会疑问，觉得学习平均变化率好像什么也没学就是以前的直线的斜率且仿佛回到了以前且觉得还把简单问也没学就是以前的直线的斜率且仿佛回到了以前且觉得还把简单问题复杂化。题复杂化。 其实如果再学下去，就会峰回路转，焕然一新，出现新东西就其实如果再

12、学下去，就会峰回路转，焕然一新，出现新东西就是导数。是导数。例题分析3 xxx02 1212xxxfxfxy例题分析3ABk5 .2ABk1 .2ABk 注注：最好不画图求出割线斜率，培养抽象思维能力，如果考：最好不画图求出割线斜率，培养抽象思维能力，如果考试能争取时间。试能争取时间。t6t32531. 3小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率( )f xx121)()f xxx2f(xv2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x3.平均变化

13、率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，是一种粗略，是一种粗略的刻画的刻画 计算运动员在计算运动员在 这这段时间里的平均速度段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t 探究探究:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态. 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,如何反映

14、某一时刻的如何反映某一时刻的运动状态？运动状态？105 . 69 . 4)(2ttthtthththv9 . 41 .13)2()2(051.13v0951.13v09951.13v099951.13vtv9 . 41 .13149.13v1049.13v10049.13v100049.13v1 .13 )2()2(lim0ththttv9 . 41 .135 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt105 . 69 . 4)(2ttthv0000()()limvr vvr vv ( )f x( )f x0 xxtthttht)()(lim000000()( )limvr vvr vv xyxxfxxfxx0000lim )()(lim导数的定义导数的定义:xyxxfxxfxx lim )()(lim0000. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 0|xxy;)().1 (000其导数值一般也不相同