第7章多元函数积分学216(二重积分计算直角坐标系)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A7.1.2 7.1.2 二重积分的计算二重积分的计算(1) (1) 7.1.2 7.1.2 二重积分的计算二重积分的计算 一、积分区域的描述一、积分区域的描述 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算二、化二重积分为二次积分二、化二重积分为二次积分三、直角坐标系下计算二重积分习例三、直角坐标系下计算二重积分习例1-6 四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性简化二重积分习例性以及轮换对称性简化二重积分习例7-11oxyabcd在直角坐

2、标系下用平行于坐标轴的直线网来在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域D，如图，如图.xy 可见，除边缘外，其可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为余均为矩形，其面积为yx故二重积分可写为故二重积分可写为DDdxdyyxfdyxf),(),(其中其中dxdy称为面积元素称为面积元素.则面积元素为则面积元素为dxdyd 一、积分区域的描述一、积分区域的描述 )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 特点特点：穿过：穿过D的内部且平行于的内部且平行于y轴的直线与轴的直线与D的边界的的边界的交点不多于两个，其不等式组的表示如下交点不多于两个，其不等式组的表示如下 bx

3、axyxDx)()(:21 则称此积分区域是则称此积分区域是x 型区域型区域.根据二重积分的几何意义：若根据二重积分的几何意义：若(x,y)0，则二重积分是以，则二重积分是以z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑故可以考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知的立用定积分应用中求平行截面面积为已知的立体的体积体的体积的方法。的方法。利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分xoabxdxx .( )baVAx dxbaxyo x平行截面面积已知平行截面面积已知的立体的体积的立体的体积xyobxa( )A x（1 1）当积分区域如图所示）当积分区域如图所示oxyab

4、)(1xy)(2xyD相应的曲顶柱体如右图。相应的曲顶柱体如右图。 在区间在区间a,b内任取一点内任取一点x，过此点作与，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：个曲边梯形：x)(1xy)(2xyoxyabzD),(yxfz 底为底为)()(21xyx高为高为),(yxfz x)(1xy)(2xyoxyabzD),(yxfz 在区间在区间a,b内任取内任取一点一点x，过此点作与，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：个曲边梯形：注意注意D的特殊之处。的特殊之

5、处。二次定积分二次定积分二重积分二重积分yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 oyz),(yxfz )(1x )(2x )(xA )()(21),()(xxdyyxfxA dxdyyxfdyxfbaxxD ),(),()()(21 注意注意： (1)先对先对y后对后对x的二次积分，计算时先把的二次积分，计算时先把x看作常数，看作常数，对对y积分得到关于积分得到关于x的函数，再对的函数，再对x在在a,b上积分，记为上积分，记为 )()(21),(),(xxbaDdyyx

6、fdxdyxf .0),()2(时时公公式式仍仍成成立立 yxf利用利用X型区域型区域D的不等式组表示，的不等式组表示，12,( )( )xaxbDxyx型 )()()()(2121),(),(),(xxbabaxxDdyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf有助于记住前面推出的二重积分计算公式：有助于记住前面推出的二重积分计算公式：12,( )( )ycydDyxy)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D特点特点：穿过：穿过D的内部且的内部且平行于平行于x轴轴的直线与的直线与D的边界的交的边界的交点不多于两点不多于两个，个，则称此则称此积分区域是积分区域是y型区域型区域.

7、 21()()( ,)( ,)dycyDf x y ddyf x y dx（3）类似地，）类似地， 若积分区域为若积分区域为则可将二重积分化为先积则可将二重积分化为先积x后积后积y的二次积分：的二次积分：用不等式组表示为：用不等式组表示为：则型区域时又可表为型区域既可表为若,)4(yxDoxyabcdoxyabcd Dbayydcxxdxyxfdydyyxfdxdyxf)()()()(2121),(),(),( . ,)5(型区域型区域和分块得到一些则把型区域时型区域又不是既不是若yxDyxDoxyoxy1D2D3D 321DDDD1D2D3D4D5D 54321DDDDDD.,.,)6(不不

8、能能颠颠倒倒次次序序上上从从下下右右从从左左两两次次积积分分中中关关键键在在于于确确定定积积分分限限化化二二重重积积分分为为二二次次积积分分yx计算二重积分的步骤计算二重积分的步骤：(1) 画区域图画区域图; (2) 列出列出x型或型或y型区域的型区域的不等式组表示不等式组表示; (3) 计算二次积分计算二次积分 (若一种次序积不出来时若一种次序积不出来时, 换另一种次序换另一种次序). 三、三、 直角坐标系下计算二重积分习例直角坐标系下计算二重积分习例 .2, 1, 1围围成成及及由由直直线线计计算算例例xyxyDxydD .2, 22围围成成和和由由计计算算例例 xyxyDxydD .,

9、1, 0, 322围围成成由由计计算算例例xyyxDdexIDy ., 0,sin 4围围成成由由直直线线计计算算例例 xyxyDdxdyxxD. ),(),( 530312010积积分分次次序序的的改改变变积积分分例例 yydxyxfdydxyxfdy解解 (1)画区域图画区域图(2)列出区域的不等式表示列出区域的不等式表示21 ,1: xxyx型型21 , 2: yxyy型型(3)将二重积分表示成二次积分并计算将二重积分表示成二次积分并计算 Dxxydydxxyd121 21122dxyxx 212)1(2dxxx.89 221yCxydxdyxyd .8922122 dyxyy或者或者o

10、xy1 y2 xxy 2112.2, 1, 1围围成成及及由由直直线线计计算算例例xyxyDxydD 解解(1) 画区域图画区域图(2) 列出区域的不等式表示列出区域的不等式表示:型型 x10 ,:1 xxyxD41 ,2:2 xxyxD:型型 y21, 22 yyxy(3) 列出二次积分并计算列出二次积分并计算 DDDxydxydxyd21 41210 xxxxxydydxxydydx .8452212 Dyyxydxdyxyd oxy)2 , 4()1, 1( 1D2D.2, 22围围成成和和由由计计算算例例 xyxyDxydD 解解:型型 x10 , 1 xyx:型型 y10 ,0 yy

11、x 10122xydyexdxI 10122xydyedxx积不出来，须换另一种积分次序积不出来，须换另一种积分次序dxexdyIyy20210 dyxeyy031032 dyeyy 103231.3161e oxy1 yxy 11., 1, 0, 322围围成成由由计计算算例例xyyxDdexIDy oxyDxxy 解解 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :0:0 xDyxDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxx先对先对 x 积分不行积分不行, 数数表表示示。的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1

12、,sin2., 0,sin 4围围成成由由直直线线计计算算例例 xyxyDdxdyxxD 注意：二重积分转化为二次定积分时，注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确关键在于正确确定积分次序和积分上、下限确定积分次序和积分上、下限,一定要做到熟练、准确一定要做到熟练、准确。小结：利用直系计算二重积分的步骤小结：利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）确定积分次序；）确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.怎

13、样确定积分次序和积分上、下限？怎样确定积分次序和积分上、下限？问题怎样确定积分次序和积分上、下限？怎样确定积分次序和积分上、下限？问题确定积分次序和积分限要注意以下两个原则确定积分次序和积分限要注意以下两个原则要记住哦要记住哦!（1）积分区域分块尽量少；）积分区域分块尽量少；（2）被积函数易于积出。）被积函数易于积出。（ ）根据积分域类型根据积分域类型,确定积分次序和积分上、下限确定积分次序和积分上、下限（ ）根据被积函数特点根据被积函数特点,确定积分限确定积分限解解 . ),(),( 530312010积积分分次次序序的的改改变变积积分分例例 yydxyxfdydxyxfdy积分区域如图积分

14、区域如图xyo231yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30 ,3102,132xDxyx 交交分分 次次 序序：换 积原式原式解解 1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出, 故故改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI, 则则 I ydxxfdyyf010)()( xdyyfdxxf010)()(故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf .22AI xy1xy 注意：注意：1交换二次积分次序的关键在于画出相应的积分交换二次积分次序的关键在于画

15、出相应的积分区域图，即使题目简单也区域图，即使题目简单也应将应将D域图画出域图画出。2二次积分是连续作二次定积分，给出定积分时二次积分是连续作二次定积分，给出定积分时积分的下限未必一定要小于上限，而积分的下限未必一定要小于上限，而二重积分化为二重积分化为二次积分其下限一定不能大于上限二次积分其下限一定不能大于上限，所以当给定的，所以当给定的二次积分中出现下限大于上限时，应将上、下限颠二次积分中出现下限大于上限时，应将上、下限颠倒过来，同时改变二次积分的符号。倒过来，同时改变二次积分的符号。3o 二次积分的二次积分的外限一定是常数外限一定是常数。导学材料中的问题导学材料中的问题( , )( )

16、( )( )( )dbbdRcaacf x y dAdyxy dxx dxy dy 特殊情形特殊情形 如果如果 f (x,y) 在矩形域上在矩形域上 R=a,bc,d上连续，则上连续，则二重积分等于累次积分二重积分等于累次积分abxycdxy( , )( , )( , )bddbRaccaf x y dAdxf x y dydyf x y dx 如果如果 f (x, y) = (x)(y) （两个单变量函数（两个单变量函数的乘积），则的乘积），则( , )( ) ( )( )( )dbbdRcaacf x y dAdyxy dxx dxy dy abxycdx2( ) , ,1 ( )()(

17、)bbaaf xa bIdxf x dxbaf x补例1:设在区间上连续 且恒大于零 证明11 ( ),( )( )( )以及bbbbaaaaIdxf y dyIdyf x dxf xf y证明：由题设，证明：由题设，I还可等于以下两种形式的积分还可等于以下两种形式的积分111( )+( )2( )( )1( )( ),2( )( )其中bbbbaaaaDIdxf y dydyf x dxf xf yaxbf yf xdxdyDaybf xf y( )( )( )( )f yf xf xf y22( )( )2( ) ( )fxfyf x f y21( )( )()2( )( )DDf yf

18、xIdxdydxdybaf xf y 222:( ) , ( )()( )bbaaf xa bf x dxbafx dx补例在上连续,试利用二重积分证明 解：解：a2( )( )( ) ( ) ( ) bbbaaaDf x dxf x dxf y dyf x f y dxdy221( )( )2Dfxfy dxdy22( )( )Dbbaafx dxdyfx dxdy2()( )babafx dxbab. 71 yxdxdyxy计计算算例例四、四、 利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性简化二重积分换对称性简化二重积分. 810112 yxdx

19、dyxy计计算算例例).:, 0)( ,)()()( 9222RyxDxfdxdyyfxfxfID 求求例例.)()()(1 ,)( 102abdxxfdxxfIbaxfbaba 证证明明且且恒恒大大于于零零上上连连续续在在区区间间设设例例.)()()( ,)( 1122 babadxxfabdxxfbaxf试试利利用用二二重重积积分分证证明明上上连连续续在在区区间间设设例例. 71 yxdxdyxy计计算算例例解解由区域的对称性和由区域的对称性和函数的奇偶性可得函数的奇偶性可得oxyDdxdyxyD 4原式原式.41010 xxydydx. 810112 yxdxdyxy计计算算例例解解ox

20、y11 1DdxdyxyD 22原式原式1D2DdxdyxydxdyxyDD 212222 12102)(2xdyxydx.)(220210 xdyyxdxdxdyyxdxdyxyDD 21)(2)(222利用轮换对称性计算二重积分利用轮换对称性计算二重积分( ):( )( )Df xIdxdyf xf y 解解1( )( )=2( )( )( )( )DDf xf xdxdyf xf yf xf y 211 =22DdxdyR 1( )( )=2( )( )( )( )DDf xf ydxdyf xf yf xf y ).:, 0)( ,)()()( 9222RyxDxfdxdyyfxfxfID 求求例例11 ( ),( )( )( )bbbbaaaaIdxf y dyIdyf x dxf xf y 以以及