四川省中江县御河中学 邱定芳

1、四川省中江县御河中学 邱定芳 三角函数与圆三角函数与圆 三角函数与圆三角函数与圆 思想方法提炼思想方法提炼 感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用 课时训练课时训练 思想方法提炼思想方法提炼 三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题关线段长等问题. .三角函数与圆的综合应用也是中考三角函数与圆的综合应用也是中考中的热点问题之一中的热点问题之一. . 感悟、渗透、

2、应用感悟、渗透、应用【例例1 1】如图所示，已知】如图所示，已知ABAB为为O O的直径，的直径，C C为为ABAB延长线上延长线上的点，以的点，以OCOC为直径的圆交为直径的圆交O O于于D D，连结，连结ADAD，BDBD，CD.CD.(1)(1)求证：求证：CDCD是是O O的切线；的切线；(2)(2)若若AB=BC=2AB=BC=2，求，求tan Atan A的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)证证CDO=90CDO=90即可，理由即可，理由OCOC为圆的直径为圆的直径. .(2)(2)利用利用BCDBCDDCADCA得到得到BD8DABD8DA的比值的比值解：解：(1)(1)连

3、结连结ODOD，OCOC为直径为直径CDO=90CDO=90又又ODOD为为O O的半径的半径CDCD是是O O的切线的切线(2)(2)由切割线定理有：由切割线定理有：CDCD2 2=CBCA=8CD=22=CBCA=8CD=22BDC=ABDC=A，BCD=DCABCD=DCABCDBCDDCADCA = =ABAB是是O O的直径的直径ADB=90ADB=90tan A=tan A=CACDDABD 22422 22DABD 【例【例2 2】(20(200 09 9年年 四川省四川省) )已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O O，ABAB是是O O的直径，的直

4、径，CECE切切O O于于C C，AECE, AECE, 交交O O于于D.D.(1)(1)求证：求证：DC=BCDC=BC；(2)(2)若若DC:AB=3:5,DC:AB=3:5, 求求sinCADsinCAD的值的值. . 证明：证明：连接连接BD.ABBD.AB是是O O的直径的直径,ADB=90,ADB=90. .又又AEC=90AEC=90. . BD/EC.ECD=BDC.BC=CDBD/EC.ECD=BDC.BC=CD又又CAD=CABCAD=CABsinCAD=sinCAB=BC/AB=DC/AB=3/5.sinCAD=sinCAB=BC/AB=DC/AB=3/5.【例【例3

5、3】已知：如图】已知：如图Z4-3Z4-3，C C为半圆上一点，为半圆上一点，AC=CEAC=CE，过，过点点C C作直径作直径ABAB的垂线的垂线CPCP，P P为垂足，弦为垂足，弦AEAE分别交分别交PCPC，CBCB于点于点D D，F F，(1)(1)求证：求证：AD=CDAD=CD；(2)(2)若若DF=5/4DF=5/4，tan ECBtan ECB =3/4 =3/4，求，求PBPB的长的长. .【分析】【分析】(1)(1)证证ACDACD为等腰三角形即可得为等腰三角形即可得. .(2)(2)先证明先证明 CD=AD=FDCD=AD=FD，在，在RtRtADPADP中再利用勾股定理

6、及中再利用勾股定理及tan tan DAP=tan ECB=3/4DAP=tan ECB=3/4，求出，求出DPDP、PAPA、CPCP，最后利用，最后利用APCAPCCPBCPB求求PBPB的长的长. .解：解：(1)(1)连结连结ACAC=CECEA=CAEACAC=CECEA=CAECEA=CBACBA=CAECEA=CBACBA=CAEABAB是直径是直径ACB=90ACB=90CPABCBA=ACPCPABCBA=ACPCAE=ACPAD=CDCAE=ACPAD=CD(2)ACB=90(2)ACB=90CAE=ACPCAE=ACPDCF=CFDAD=CD=DF=5/4DCF=CFDA

7、D=CD=DF=5/4ECB=DAPECB=DAP，tan ECB=3/4tan ECB=3/4tan DAP=DPPA=3/4tan DAP=DPPA=3/4DPDP2 2+PA+PA2 2=DA=DA2 2 DP=3/4DP=3/4 PA=1CP=2 PA=1CP=2ACB=90ACB=90，CPAB CPAB APCAPCCPBCPB PB=4 PB=4PBPCPCAP 【例【例4 4】(2008(2008年年河南省河南省) )已知如图所示，在半径为已知如图所示，在半径为4 4的的O O中，中，ABAB、CDCD是两条直径，是两条直径，M M为为OBOB的中点，的中点，CMCM的延长线交

8、的延长线交O O于点于点E E，且，且EMEMMCMC，连结，连结DEDE，DE= .DE= .(1)(1)求求EMEM的长；的长；(2)(2)求求sin EOBsin EOB的值的值. .【分析】【分析】(1)(1)用勾股定理求用勾股定理求ECEC长，再用相交弦定理求长，再用相交弦定理求EMEM的长的长. .(2)(2)构造构造RtRtEOFEOF，利用三角函数求正弦值，利用三角函数求正弦值. .15解：解：(1)(1)DCDC为为O O的直径的直径DEECDEECDC=8DC=8，DE= EC= =7DE= EC= =7设设EM=xEM=x，由于，由于M M为为OBOB的中点的中点BM=2

9、BM=2，AM=6AM=6AMMB=x(7-x)AMMB=x(7-x)即即6 62=2=x(7-x)x(7-x)，x x2 2-7x+12=0-7x+12=0 xx1 1=3=3，x x2 2=4EM=4EMMCEM=4MCEM=4(2)OE=EM=4(2)OE=EM=4OEMOEM为等腰三角形为等腰三角形过过E E作作EFOMEFOM，垂足为，垂足为F F，则，则OF=1OF=1EF=EF=sin EOB=sin EOB=15156422 DEDC1511622OFOE415【例【例5 5】(2008(2008年年河南省河南省) )已知：如图所示，已知：如图所示，ABAB是是O O的直的直径

10、，径，O O为圆心，为圆心，AB=20AB=20，DPDP与与O O相切于点相切于点D D，DPPBDPPB，垂足，垂足为为P P，PBPB与与O O交于点交于点C C，PD=8PD=8(1)(1)求求BCBC的长；的长；(2)(2)连结连结DCDC，求，求tan PCDtan PCD的值；的值；(3)(3)以以A A为原点，直线为原点，直线ABAB为为x x轴建立平面直角坐标系，求轴建立平面直角坐标系，求 直线直线BDBD的解析式的解析式. .【解析】【解析】(1)(1)过过O O作作OEBCOEBC，垂足为，垂足为E E，则，则BE=ECBE=EC，连结，连结ODOD，则，则ODDPODD

11、P又又DPPBDPPB，四边形四边形OEPDOEPD为矩形为矩形 OE=PD=8OE=PD=8OB=1/2OB=1/2* *AB=1/2AB=1/220=1020=10在在RtRtOEBOEB中，中，EBEB2 2=OB=OB2 2-OE-OE2 2=10=102 2-82=36-82=36EB=6EB=6，BC=2EB=12BC=2EB=1248(2)PB=PE+EB=DO+EB=16(2)PB=PE+EB=DO+EB=16PC=PB-BC=16-12=4PC=PB-BC=16-12=4在在RtRtPCDPCD中，中， DP=8DP=8， PC=4PC=4tan PCD=PD/PC= =2t

12、an PCD=PD/PC= =21.1.如图所示，如图所示，C C是是O O外一点，由外一点，由C C作作O O的两条切线，切点的两条切线，切点为为B B、D D，BOBO的延长线交的延长线交O O于于E E，交，交CDCD的延长线于的延长线于A A，若，若AE=2AE=2，AB=23 AB=23 求：求：(1)BE的长；的长；(2)sin A的值的值. 解：解：(1)(1)BE=AB-AE=2(3-1)BE=AB-AE=2(3-1)(2)(2)连连ODOD，则，则OD=3-1OD=3-1CDCD为为O O的切线的切线ODCDODCDsin A=sin A=322324131321313OAO

13、D ) )( ( 课时训练课时训练3.3.ABCABC中，中，AB=10AB=10，外接圆，外接圆O O的面积为的面积为2525，sin Asin A，sin sin B B是方程是方程( (m+5)xm+5)x2 2-(2m-5)x+12=0-(2m-5)x+12=0的个两根，其中的个两根，其中m-5.m-5.(1)(1)求求m m的值；的值；(2)(2)求求ABCABC的内切圆的半径的内切圆的半径. .解解(1)(1)设设O O的内切圆的半径为的内切圆的半径为r r，O O的半径为的半径为R RRR2 2=25R=5=25R=5因因O O的内接的内接ABCABC的边的边AB=10=2RAB

14、=10=2RABAB是是O O的直径，且的直径，且ACBACB9090，则，则ABCABC是直角三角形，从而是直角三角形，从而A+B=90A+B=90，故，故sin B=cos Asin B=cos A因因sin Asin A、sin Bsin B是一元二次方程是一元二次方程( (m+5)xm+5)x2 2-(2m-5)x+12=0-(2m-5)x+12=0的两个根，故的两个根，故2 2- -2 2得得( (sin A+cos A)sin A+cos A)2 2-2sin Acos A-2sin Acos A消去消去sin Asin A和和cos Acos A，得，得m m2 2-18m-40

15、=0-18m-40=0解之得解之得m=20m=20或或m=-2m=-2 5m12AABA5m5m2AABAc co os ss si in ns si in ns si in nc co os ss si in ns si in ns si in n5m245m5m22 ) )( (2)(2)当当m=20m=20时，时，方程化为：方程化为：2525x x2 2-35x+12=0-35x+12=0解之得解之得x=3/5x=3/5，x=4/5x=4/5则则sin A=3/5sin A=3/5，sin B=45sin B=45或或sin A=4/5sin A=4/5，sin B=3/5sin B=3

16、/5即：即：AC=ABsin B=10AC=ABsin B=104/5=84/5=8BC=ABsin A=10BC=ABsin A=103/5=63/5=6或或AC=6AC=6，BC=8BC=8于是内切圆半径于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2当当m=-2m=-2时，方程化为时，方程化为x x2 2+3x+4=0+3x+4=0此方程无实根此方程无实根m=-2m=-2应舍去应舍去m=20m=20，r=2 r=2 4.4.如图所示，抛物线如图所示，抛物线y=axy=ax2 2-3x+c-3x+c交交x x轴正方向

17、于轴正方向于A A、B B两点，两点，交交y y轴正方向于轴正方向于C C点，过点，过A A、B B、C C三点作三点作D D，若，若D D与与y y轴相轴相切切. .(1)(1)求求a a、c c满足的关系式；满足的关系式；(2)(2)设设ACB=ACB=，求，求tan tan ；(3)(3)设抛物线顶点为设抛物线顶点为P P，判断直线，判断直线PAPA与与D D的位置关系，并的位置关系，并证明证明. . 解：解：(1)(1)A A、B B的横坐标是方程的横坐标是方程axax2 2-3x+c=0-3x+c=0的两根，设为的两根，设为x x1 1，x x2 2(x(x2 2x x1 1) )，

18、C C的纵坐标为的纵坐标为c c又又y y轴与轴与D D相切，相切，OAOB=OCOAOB=OC2 2xx1 1xx2 2=c=c2 2，又由方程又由方程axax2 2-3x+c=0-3x+c=0和已知和已知x x1 1xx2 2= =cc2 2= = 即即ac=1.ac=1. acac(2)(2)连结连结PDPD，交，交x x轴于轴于E E，直线，直线PDPD必为抛物线的对称轴，必为抛物线的对称轴，连结连结ADAD、BDBD，AE= ABAE= AB，ACB= ADB=ADE=ACB= ADB=ADE=aa0 0，x x2 2x x1 1AB=xAB=x2 2-x-x1 1= AE= AE=

19、又又ED=OC=cED=OC=c，tan = tan = 2121a5aac49 a2525DEAE(3)(3)设设PAB=PAB=，P P点坐标为点坐标为( )( )又又a a00在在RtRtPAEPAE中，中，PE=PE=tan =tan =tan=tan =tan=tan =PAE=ADEPAE=ADEADE+DAE=90ADE+DAE=90PAE+DAE=90PAE+DAE=90即即PAD=90PAD=90PAPA和和D D相切相切. . aa45,23a4525AEPE5.5.如图所示，已知如图所示，已知A(5A(5，-4)-4)，A A与与x x轴分别相交于点轴分别相交于点B B、C C，A A与与y y轴相切于点轴相切于点D D，(1)(1)求过求过D D、B B、C C三点的抛物线的解析式；三点的抛物线的解析式；(2)(2)连结连结BDBD，求，求tan BDCtan