第五讲波动理论

1、1波动理论（浅水运动中的平面波）2一 平面波的基本概念 频散关系 相速度和群速度 频散波和非频散波)(0)(0ReReitlykxiee3频散关系 频散关系是指波动的频率和波数之间的关系，它代表了某种波动的特征，任何一种特定的波动都有其特定的频散关系，因而频散关系也是确定波动性质的非常有效的工具。4相速度和群速度CgC5频散波和非频散波 如果一种波动的相速度和群速度一样，就称为非频散波；如果一种波动的相速度和群速度不一样，就称为频散波。22lkkckcxlcyjciccgygxgkcgxlcgy6频散波和非频散波的特点非频散波频散波7二 浅水运动中的小振幅波动 运动方程 f=0（无旋转）下平面

2、无限等深流体内的波动 浅水重力波 f=C（f平面）下平面无限等深流体内的波动 Poincare（邦加莱）波 f=C（f平面）下水平有界等深流体内的波动 Kelvin（开尔文）波 f不为常数下的波动Rossby（罗斯贝）波81 运动方程 浅水中的线性化方程，非线性平流项已经去掉，由上述方程组消去u，v，就可以得到水位方程xgfvtuygfutv0)()(00vHyuHxt9水位方程0),()()(020222HgfJcftt020gHc 10定常运动 如果运动为定常的浅水小振幅运动即为如果运动为定常的浅水小振幅运动即为地转流地转流 yfguxfgv11非定常运动波动 对波动而言波动的主控动力学方

3、程是相同的，对波动而言波动的主控动力学方程是相同的，不同主要是边界条件的不同，不同的边界条不同主要是边界条件的不同，不同的边界条件（强迫）决定了不同的波动的频散关系件（强迫）决定了不同的波动的频散关系（频散关系即频率和波数之间的关系，它决（频散关系即频率和波数之间的关系，它决定波动的特性），也就决定了不同性质的波定波动的特性），也就决定了不同性质的波动下面我们就在不同的边界条件下讨论不动下面我们就在不同的边界条件下讨论不同性质的波动同性质的波动 122 f=0（无旋转）下平面无限等深流体内的波动 浅水重力波是二列方向相反，频率大小相同的波动 ，这是一种非频散波。Kc00ccttc2xx 0,c

4、 gH13浅水重力波x0u=(g/H)1/2=0Cott=0t=t1t=t214浅水重力波x0t=0u=0, =0t=t3t=t20/2wavewakewavefrontt=t10/2153 f=C（f平面）下平面无限等深流体内的波动 无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同的波动。在海洋上这种长波称为邦加莱波（Poincare）。在气象上，这种长波称为惯性重力波，即在地球旋转影响下的重力波。旋转（地转）旋转（地转）使波速增大使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运动频率。 212202Kcf16邦加莱波特点 其中R为Rossby变形半径=C0/

5、f 短波： 旋转的影响相对于重力的影响是次要的 长波：惯性振荡，重力的影响是次要的 2221)(KRf1RKRKf1RKf174 f=C（f平面）下水平有界等深流体内的波动考虑一个平行于考虑一个平行于x轴的宽度为轴的宽度为L的通道。的通道。 引入边界条件：引入边界条件：y=0，l时，时，v=0 ，代入动力方程。)()(Retkxiey18频散关系 离散的邦加莱波 Kelvin波 惯性震荡 地转流19离散的邦加莱波 此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波，亦是向正，反两个方向传播的，不同之处在于y方向的波数l只是特定的值，l不可能任意取值，这恰恰是由边界条件的特性决定波动的特性，只有特定频率

6、的波才满足一定的边界条件。此波也是Poincare波，是一种特定条件下离散的Poincare波。 212222202)(Lnkcfn20Kelvin波 波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减 。开尔文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右侧，而在南半球，边界位于其左侧。 kc021特殊的Kelvin波赤道Kelvin波 Kelvin波作为一种边界波，需要边界的存在。科氏参数f在赤道为0，形成了一种特殊的边界，产

7、生了赤道Kelvin波。22惯性振荡 和地转流 惯性震荡的解代入原式求解，解也为开尔文波 。 等深渠道中波解的完全谱包括Poincare波，kelvin波，地转流 。f0235 f不为常数下的波动Rossby（罗斯贝）波 如果绝对涡度的梯度不为0，即存在行星涡度梯度和环境涡度梯度，就会产生一种特殊的波动Rossby波，这是一种低频的缓慢的波动，与前述的快波不同。24三 准地转Rossby波 Rossby波是大洋调整中最重要的波动，是大洋中信息的携带者。本节将重点讲解有关Rossby波的知识。251 Rossby波的动力方程准地转位涡方程 Rossby波的产生和位涡密切相关，位涡梯度的存在是Ro

8、ssby波的恢复机制。2222000()0BfffyhtHgxyyxHHg2200gBffyhHHg ( ,)0ggJt26考虑基本流和地形作用BDhDfLyfq0220q q q U(y)dy U0yyhB y h022fgHLD27位涡方程变形为q f0y 2LD2f0D(y h0)qx 0,qyyyUULD2f0D,qt 0q 2LD20022xDxtxxt)L)(U.(e . iq)U(28定常情况 有地形存在而不存在行星涡度梯度下，流动沿等深线；不存在地形而存在行星涡度梯度下，流动沿纬线。J(,Q) 029非定常情况Rossby波 此时可以发现地形、海面起伏（环境涡度梯度）和科氏参数

9、变化（行星涡度梯度）是等价的，即如果只存在地形的话就可以产生地形Rossby波；只存在行星涡度梯度的话也可以产生Rossby波。DfLUUqDyyy02302 Rossby波的频散关系 Rossby波的频率及相速度都依赖于波数，因此是频散波。 Rossby波是低频波 。 Rossby 波仅当有位涡梯度存在时才能发生，即位涡梯度是产生Rossby波的必要条件。 UkkKLD22313 Rossby波的形成机制 位涡守恒和位涡梯度的存在是Rossby波形成的机制。xwestwardf, so y324 Rossby波的相速度和群速度 假定U=0，不存在基本流的作用，Rossby波的相速度都是向西的

10、，反映了旋转的存在导致的东西不对称；Rossby波的群速度长波也都是向西的，短波可以向东。kLKLlkcDDgx222222)()(22DLKkc335 纬向基本流中的Rossby波 西向波 东向波 驻波 以上体现了基本流的多普勒效应ckUKLD22346 长波的非多普勒效应 长Rossby波的一个特殊性质就是非多普勒效应，产生这个情况的原因是平流的多普勒效应和平流产生的环境位涡梯度效应相互抵消，因而长Rossby波的波速是不变的，假定不考虑地形效应，长Rossby波的波速为kLD22c U K2 LD2U LD2 f0DLD22DxLcDfLUUqDyyy0235观测到的长Rossby波波速

11、367 Rossby波的能量传播图 波矢必须位于k-l平面的一个圆上 圆心： 半径：2DLF022kFlkFlk222242)0 ,2(2122)4(F37能量传播图klCgK/(-2), 0(a, 0)Where a=/(-2)-(/(-2)2-LD-21/2388 有界区域中的Rossby波反射、Rossby波的Normal Mode 由于边界的存在，波动的波数不再是连续的了，与前述离散的邦加莱波类似，此时的Rossby波的波数也只能取离散的特定值。39反射的示意图40在能量图中的表现41反射波形成的Normal ModeK1CgK2CgIncident wavereflectedwave

12、lkK2K142Y方向Normal Mode的推导1111Re()A ei k x l ytx12|yY 0A2eil2Y A1eil1Y 0k1k12 l12 LD212 k1k12 l22 LD2l2 l1 0l2 l1 0A2 A1e2il1Y2121111 Re()A eei k x l ytil YReResin( ()()()AeeeAeel yYi k xtil yil yil Yil Yi k xt121111111111243Normal Mode的特点 Normal Mode是一个系统固有的本征的波动模态，在一个有边界条件约束的系统中，稳定波动状态下只有Normal Mod

13、e存在。 大洋Rossby波的Normal Mode是大洋调整的波动周期，也是大洋记忆的一种表现444546479 强迫Rossby波 与自由波不同，强迫波的波数和频率已经由外强迫所确定，振幅未知。 所得的解一般不满足初始条件。)(22)(tmxioxDteFL)(0tmxie)(2200mLmiFD48共振的发生 此时发生共振，一般情况下共振的发生都是在外强迫的频率和系统Normal Mode的频率一致时发生的。22DLmm049四 斜压Rossby波的初步知识 垂直方向的层结，相当于增加了垂直方向的边界，因而斜压Rossby波实际上就是垂直方向的边界产生的Normal Mode波动，因而也

14、将斜压Rossby波的各个模态称为Baroclinic Mode。501 一层半模式及第一斜压模Rossby波 一层半模式又称为约化重力模式z1, u1zB2, u2 051一层半模式的一个重要结论：海面起伏和次表层温跃层起伏方向相反，量级相差3个左右。z12p2z zBzzB -zB5253正压模和斜压模A t w o - b a l l system2 “baroclinic” mode 1 21, “barotropic” mode54第一斜压模在大洋中的例子5556第一斜压模波速的多普勒效应572 两层半模式及第二斜压模Rossby波 表现为温跃层厚度的变化，可以从温度异常信号的传播上

15、发现该波动，这种波动和平流的方向基本一致，因而被称为平流模态。58591971-731974-761977-79北太平洋热异常信号（北太平洋热异常信号（第二斜压模态第二斜压模态RossbyRossby波波）的）的“潜沉潜沉”从北向南；从上向下；从东向西。斜压第二模态斜压第二模态Rossby波不仅可以通过波不仅可以通过“内内部通道部通道”直接到达赤道太平洋（研究的成果很多），还可以通过向南、向西的传播，直接到达赤道太平洋（研究的成果很多），还可以通过向南、向西的传播，到达西边界到达西边界 （如何影响黑潮几乎没人研究）。（如何影响黑潮几乎没人研究）。温度和平均流 50-300mZhang R-H

16、等2001603 连续层化模式及各个垂直模态Rossby波61根据层结流体准地转位涡守恒方程其中将其线性化：222210ssytx yy xxyzsz 222210sstxyzszx22220sNDsfL2ssg dNdz 62边界条件： 侧向无界 垂向 ：限于 之内 当z1时， （海面刚盖） 当z=0时， （忽略地形 加热 底摩 擦等）01z20t z 20tz 63设位涡方程的解为：其中 为垂直结构函数将波解带入位涡方程，得到：其中 ()Rei kx lytezz1ssdddzsdz 22kkl 64边界条件转化为：当 z=0 时 (海底）当 z=1 时 （海面）0dd z0dd z65假

17、设海洋从上到下的密度是常数,那么代入边界条件解得:ddsdzdz cos n z 01,2,n ，1ssdddzsdz 660.17680.17680.1768-800-600-400-2000barotropic mode-0.500.5-800-600-400-2000 mode1-0.500.5-800-600-400-2000 mode2-0.500.5-800-600-400-2000depth mode3-0.500.5-800-600-400-2000 mode4-0.500.5-800-600-400-2000 mode5-0.500.5-800-600-400-2000vertical functiondepthmode6-0.500.5-800-600-400-2000vertical functionmode7-0.500.5-800-600-400-2000vertical functionmode8 密度为常数67差分格式：jj1j212sjN12j