讲课用----优质课双曲线的标准方程

1、该上课了，你准备好了吗？该上课了，你准备好了吗？ 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的的距离的2F1FxoMy椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？回顾：回顾： 若把椭圆定义中的若把椭圆定义中的“与两定点的与两定点的距离之和距离之和”改为改为“距离之差距离之差”，这时轨迹又是什么呢？，这时轨迹又是什么呢？思考：思考：和和 等于常数等于常数( 2a|F1F2|=2c0)的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆.即即:MF1 +MF2 =2a(2a2c)2a 热电厂冷却塔热电厂冷却塔广州新电视塔广州新电视塔双曲线导航系统双曲线导航系统“双曲线双曲线”式交通结构式交通结构思考：思考： |F1

2、F2|.一、双曲线的定义一、双曲线的定义两支曲线上的点分别满足什么条件？两支曲线上的点分别满足什么条件？思考：思考：一、双曲线的定义一、双曲线的定义 2c,轨迹又是什么呢？轨迹又是什么呢？3.若若2a = 2c,轨迹又是什么呢？轨迹又是什么呢？注意：注意： 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的的距离的 等于等于常数常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.一、双曲线的定义一、双曲线的定义这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点.两焦点的距离叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的焦距焦距.F2F1M差的差的绝对值绝对值（小于小于F1F2）aycxycx22222二、

3、双曲线的标准方程推导二、双曲线的标准方程推导 如图建立直角坐标系，设M（x ，y）是双曲线上任意一点，F1（c，0），），F2（c，0）.aMFMF221M| xOy 椭圆的标准方程的推导椭圆的标准方程的推导 以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立坐标系. | |F F1 1F F2 2|=2c(c0),|=2c(c0),则F1(-c,0)、F2(c,0)设M(x ，y)为椭圆上的任意一点.2|21aMFMFMPaycxycx2)()(22222F1FxoMyF2F1M点M 满足的集合：由两点间距离公式得：二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程)()(22222222

4、 acayaxac 0022222 bbacac令,22 acac即：由双曲线定义知：222222b xa ya b平方整理得222()cxaaxcy 再平方得222()cxaaxcy )()(22222222caayaxca22ac即ac022ca222acb令222222b xa ya b代入上式，得即)0(12222babyax22221(0,0)xyabab即代入上式，得平方整理得再平方得2222()2()xcyaxcy移项得移项得2222()2()x cyax cy二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程xOy12222byax( 0，b0)这个方程叫做双曲线的这个方程叫做双曲线的标

5、准方程标准方程. .它所表示的双曲线的焦点在它所表示的双曲线的焦点在 轴轴上上, ,焦点是焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)x这里这里222cabF2F1MxOy222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一定大于不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab221916xy例例1:1: 已知已知F F1 1(-5(-5，0)0)，F F2 2

6、（5 5，0 0），动点），动点P P到到 F F1 1、F F2 2的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为6 6，求点，求点P P的轨迹的轨迹方程方程. .221(0)916xyx两条射线两条射线轨迹不存在轨迹不存在1 1、若、若|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=6|=6呢？呢？3 3、若、若|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=12|=12呢？呢？2 2、若、若|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=10|=10呢？呢？注意注意没有没有“绝对值绝对值”这个条件时这个条件时, ,仅表示双曲线的仅表示双曲线的一支一支F2F1MOyx思考思考1 1：在图形中，设

7、双曲线与：在图形中，设双曲线与x x轴的交点分别为轴的交点分别为 你能从图中找到长度等于你能从图中找到长度等于a,ca,c的线段吗？的线段吗？你能在你能在y y轴上找一点轴上找一点B B使得使得OB=OB=b b吗？吗？=x2a2-y2b21(a0,b0)例2.说明下列方程各表示什么曲线 (2) 设点P(x,y)，点P(x,y)到点(-4，0)的距离大于到(4,0) 的距离，且86，所以方程表示双曲线的右支(a0，b0). 122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0). 122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).

8、122ba2x2y(a0，b0). 122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y( 0，b0). 122ba2x2y二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程( 0，b0).OyxMF1F2想一想想一想焦点在焦点在 轴上的标准方程是轴上的标准方程是y122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0). 122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0). 122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y( 0， 0)1

9、22ba2x2yF2F1MxOyF2F1MxOyF2F1MyOx焦点在焦点在 轴上的标准方程是轴上的标准方程是x焦点是焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0) 1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出、判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出其焦点的坐标其焦点的坐标.1(6,0)F 2( 6,0)F， 1(0,13)F2(0, 13)F， 22194yx12422yx22032xy224936yx22149xy22194yx解解是是 是是 (3)不是不是(4)不是不是思考思考:1.如何区分焦点位置？如何区分焦点位置？ 2.双曲线中双曲线中a,b的大小关系怎样？的大小关系怎样？ （5）(5) 是

10、是F ( c, 0)12222 byax12222 bxayF(0,c)F2F1MxOyOyxMF1F2(1)双曲线标准方程中的关系是：双曲线标准方程中的关系是：222baccba,0, 0ba(2)双曲线方程中双曲线方程中,但不一定大于但不一定大于 ；ab(4)如果如果 的系数是正的，那么焦点在的系数是正的，那么焦点在 轴上，轴上， 如如 果果 的系数是正的，那么焦点在的系数是正的，那么焦点在 轴上轴上.2x2yxy椭圆中:0ab椭圆中:222cab二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程) 0( 12222babyax(3)双曲线标准方程中左边用双曲线标准方程中左边用“- -”相连，右边为

11、相连，右边为1.) 0( 12222babxay椭圆的标准方程椭圆的标准方程确定焦点位置确定焦点位置:椭圆看分母的大小椭圆看分母的大小,焦点跟着大的跑；焦点跟着大的跑；双曲线看系数的正负双曲线看系数的正负,焦点跟着正的去焦点跟着正的去.椭圆中:用“+”相连椭圆中 的系数都为正的，双曲线的 系数一正一负变式训练变式训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点在）焦点在x x轴上，轴上， ，4a3b（2）焦点）焦点( (0，6),(),(0，6),),经过点（经过点（2，5） 问题问题7：用待定系数法求标准方程的：用待定系数法求标准方程的步骤是什么？步骤是什么

12、？1、定位：确定焦点的位置；、定位：确定焦点的位置；2、设方程、设方程3、定量：、定量：a,b,c的关系的关系焦点在焦点在x轴上轴上:焦点在焦点在y轴上轴上:).0, 0( 12222babyax).0, 0( 12222babxay 例例1题型二：考查双曲线的标准方程形式题型二：考查双曲线的标准方程形式11mym2x22 变式变式: :如果方程如果方程 表示双曲线，求表示双曲线，求m m的的取值范围取值范围. .11mym2x22 例例1已知双曲线已知双曲线 上一点上一点P到它的一到它的一个焦点的距离等于个焦点的距离等于1，那么点，那么点P到另一个焦点的距离到另一个焦点的距离等于等于三、常见

13、题型三、常见题型题型一：考查双曲线的定义题型一：考查双曲线的定义变式：若把例变式：若把例1中距离改为中距离改为“等于等于18”呢？结果呢？结果又怎样又怎样 例（例（1）已知已知F F1 1( (5 5，0)0)，F F2 2(5(5，0)0)，求动点求动点M到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6的轨迹方程的轨迹方程.题型三：考查求双曲线的标准方程题型三：考查求双曲线的标准方程（2） 221916xy解：解：由定义知动点由定义知动点M的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线，轴上的双曲线，所以可设它的标准方程为所以可设它的标准方程为22221xyab2a = 6 a

14、= 3 b2 = 52 32 = 16 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为又又 c = 5(X0)221916xy 练练3:3:已知双曲线已知双曲线 上一点上一点P到到双曲线的一个焦点的距离为双曲线的一个焦点的距离为9 9，则它到另，则它到另一个焦点一个焦点的距离为的距离为 . .3 3或或1515思考：思考：若把距离若把距离9 9改为改为3 3，则现在有几解？则现在有几解？例例2 2：求适合下列条件的双曲线的标准方程。：求适合下列条件的双曲线的标准方程。（1 1）4,5ac焦点在焦点在 轴上轴上y思考：思考：要求双曲线的标准要求双曲线的标准方程需要几个条件方程需要几个条件（3）已知

15、椭圆的方程为）已知椭圆的方程为 ， 求以求以 此椭此椭 圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双 曲线的标准方程曲线的标准方程.116y9x22 4a经过点经过点)17, 1(A（2 2）思考探究思考探究 过双曲线过双曲线 的左焦点的左焦点F F1 1的的弦弦ABAB的长为的长为6 6，则，则ABFABF2 2（F F2 2是右焦点）的是右焦点）的周长是周长是 221169xy练习：练习：根据下列条件，求双曲线的标准方程：根据下列条件，求双曲线的标准方程：1、过点、过点 P ( 3 , )、Q ( , 5 ) 且焦点在坐标且焦点在坐标轴上；轴上；2、 c = ，经过点，经过

16、点 (5 , 2 )，焦点在，焦点在 x 轴上；轴上；3、与双曲线、与双曲线 有相同焦点，且经过有相同焦点，且经过点点 ( 3 , 2 )415316 62141622yx22(1)1916yx15)2(22 yx1812)3(22 yx 例例4:4:一炮弹在某处爆炸。在一炮弹在某处爆炸。在A A处听到爆炸声的时处听到爆炸声的时间比在间比在B B处晚处晚2s.2s.已知已知A A，B B两地相距两地相距800m800m，并且，并且此时声速为此时声速为340m/s.340m/s.问爆炸点应在什么样的曲问爆炸点应在什么样的曲线上？并求出轨迹方程。线上？并求出轨迹方程。BAMxOy以以ABAB所在直线为所在直线为 x x轴，轴，ABAB的中点的中点为原点建立如图的直角坐标系为原点建立如图的直角坐标系2800,2680ca22244400bca22111560044400 xy解：设点解：设点P P为爆炸点，则为爆炸点，则|PA|- |PB|=340|PA|- |PB|=34