勾股定理的各类题型

1、精品文档勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法 1：方法 2：方法 3：。1 欢迎下载精品文档二：方程思想和勾股定理结合的题目1.（ 2016 春 ?宜春期末） 一旗杆在其的 B 处折断，量得 AC=5米，则旗杆原来的高度为 （）A米B2米C10米 D米【考点】勾股定理的应用【分析】可设AB=x，则 BC=2x，进而在 ABC中，利用勾股定理求解x 的值即可【解答】解：由题意可得，222222，解得 x=，AC=BC AB，即（ 2x） x =5所以旗杆原来的高度为3x=5，故选 D【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形2. （ 2016 春 ?防城区期中）如图，在ABC中，

2、 B=40， EF AB， 1=50， CE=3， EF 比CF大 1，则 EF 的长为（）A5B 6C3D4【考点】勾股定理；平行线的性质【分析】由平行线的性质得出 A= 1=50，得出 C=90，设 CF=x，则 EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出 x，即可得出 EF 的长【解答】解：EFAB， A= 1=50， A+ B=50+40=90，。2 欢迎下载精品文档 C=90，设 CF=x，则 EF=x+1，根据勾股定理得：222CE+CF=EF ，即 32 +x2=（ x+1） 2，解得： x=4，EF=4+1=5，故选： A【点评】 本题考查了平行线的性质、 直角三角形的判定

3、、 勾股定理； 熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键3. （ 2015 春 ?蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中， AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与 D重合，折痕为EF，则 BE的长为（）A 3cmB 4cmC 5cmD 6cm【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质可得 BE=ED，设 AE=x，表示出 BE=9 x，然后在 Rt ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：长方形折叠点B与点 D 重合， BE=ED，设 AE=x，则 ED=9 x， BE=9x，222在 Rt ABE中， AB +AE=BE，即 32 +x2

4、=（ 9 x） 2，解得 x=4，AE 的长是 4，BE=9 4=5，故选 C【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键4. （ 2008 秋 ?奎文区校级期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面那么水深多少？芦苇长为多少？。3 欢迎下载精品文档【考点】勾股定理的应用【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理解答【解答】解；设水深为x

5、 尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得： x=12（尺），芦苇的长度 =x+1=12+1=13（尺），答：水池深12 尺，芦苇长13 尺【点评】 此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就三：勾股定理应用：求最短距离问题1. （ 2014 秋 ?环翠区期中）如图，长方体的底面边长为1cm和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A 12cm B 11cm C 10cm D 9cm【考点】平面展开- 最短路径问题【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点

6、之间线段最短”得出结果【解答】解：将长方体展开，连接A、 B，则 AA=1+3+1+3=8（ cm）， AB=6cm，根据两点之间线段最短，AB=10cm故选 C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决2. （ 2016 春 ?繁昌县期末）如图，是一长、宽都是3cm，高 BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点 P， PC= BC，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是（）。4 欢迎下载精品文档A 6cmB 3cmC 10cm D 12cm【考点】平面展开- 最短路径问题【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通

7、过计算，得到较短的即可【解答】解：（1）如图 1， AD=3cm， DP=3+6=9cm，在 Rt ADP中， AP=3cm；（ 2）如图 2， AC=6cm， CP=3+3=6cm，Rt ADP中， AP=6cm综上，蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是6cm故选 A【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键3. （ 2016?大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是 20cm，那么所需彩带最短的是（）A 13cm B 4cmC 4cmD 52cm【考点】平面展开- 最短路径问题【

8、分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据 “两点之间线段最短 ”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 A 处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的 B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是 12cm，高是 20cm，。5 欢迎下载精品文档222 x =（12 4） +20 ，所以彩带最短是 52cm故选 D【点评】 本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长， 高等于圆柱的高， 本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， “化曲面为平面 ”，用勾股定理解决4.

9、 （ 2016?游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm 和 6cm，在罐内点 E 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm（）A7BC24D【考点】平面展开- 最短路径问题【分析】 做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算【解答】解： 若蚂蚁从平面ABCD和平面 CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：HE=7， 若蚂蚁从平面ABCD和平面 BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：。6 欢迎下载精品文档HE=故选 B【点评】考查了平面

10、展开最短路径问题， 此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段5. （ 2015 秋 ?宜兴市校级期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是10cm【考点】平面展开- 最短路径问题【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】 解：底面圆周长为2r ，底面半圆弧长为r ，即半圆弧长为：2=6（ cm），展开得： BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB=10（ cm）故答案为： 10。7 欢迎下载精品文档【点评】 此题主要考查了立体图形的展开和两点之间

11、线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度四：网格问题（简单） 1、在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，则 ABC 中 BC边上的高为答案：设 ABC中 BC边上的高为h AB 2 =5 ，AC 2 =20 ， BC 2 =25 ，BC 2 =AB 2 +AC 2， A=90，11S ABC = 2 ABAC= 2 BCh，即5 2 5 =5h 解得， h=2故答案是： 22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形 ”如图（一）中四边形 ABCD就是一个 “格点四边形 ”（1）求图（一）

12、中四边形 ABCD的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使 EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形。8 欢迎下载精品文档ADBC图（一）图（二）1答案：解：（ 1）方法一： S 2 64 121111方法二： S 46 2 21 2 41 2 34 2 23 12（2）（只要画出一种即可）3、如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上请按要求完成下列各题：（ 1）画 AD BC（ D为格点），连接 CD；（ 2）试判断 ABC的形状？请说明理由；答案：（ 1）图象如图所示；（2）由图象可知AB2=12+22=5，。9 欢迎下载精品文档A

13、C2=22+42=20，BC2=32+42=25， BC2=AB2+AC2，ABC是直角三角形。4、如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处， ?它想先后吃到小朋友撒在B、 C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？ABC答案： AB=5cm， BC=13cm ?所以其最短路程为18cm（难题） 5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积。（ 2）图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（ 3）求出图中线段

14、AC的长（可作辅助线）。【答案】（ 1）单位正三角形的高为，面积是。（ 2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有 24 个单位正三角形，因此其面积。10 欢迎下载精品文档（ 3）过 A 作 AK BC于点 K（如图所示），则在 Rt ACK中，故五：方位角问题1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发， 沿北偏东60方向走了 5003 m到达 B 点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C 点（ 1）求 A、 C 两点之间的距离；（ 2）确定目的地 C在营地 A 的什么方向？2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知

15、对话机的有效距离为15 千米早晨8：00 甲先出发， 他以 6 千米 /时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以5 千米 / 时的速度向北行进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？。11 欢迎下载精品文档答案：如图 , 甲从上午 8： 00 到上午 10： 00 一共走了 2 小时 , 走了 12 千米 , 即 OA=12乙从上午9： 00 到上午 10： 00 一共走了1 小时 ,走了 5 千米 , 即 OB=5在 Rt OAB中 ,AB2=122 十 52=169, AB=13,因此 , 上午 10： 00 时, 甲、乙两人相距13 千米15 13, 甲、乙两人还能保持联

16、系答：上午10： 00 甲、乙两人相距13 千米 , 两人还能保持联系3、如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16 海里 / 时速度向北偏东40航行，乙船向南偏东 50航行， 3 小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛. 若 C、 B 两岛相距60 海里，问乙船的航速是多少？答案：从两船航行的方向看 , 北偏东 40 度和南偏东 50 度的夹角为 90 AC AB甲船速度每小时16 海里 , 所以 AC=16 3=48 海里AB2=BC2-AC2=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度为每小时：363=12 海里4、如图，北海海面上， 一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距 A 地 40 海里的 B 处训练，突然接基地命令， 要该舰前往 C 岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知 C岛在 A的北偏00B 处出发，平均每小时走20 海里，需要多少东 60方向，且在 B 北偏西 45 方向，军舰从时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1 小时，参考数据：3 1.73 ， 2 1.41。12 欢迎下载精品文档解：作 CD AB 于 D，根据题意，得CAB=30， CBD=45不妨设