《体育统计学》课程第4.5讲正态分布

1、体体 育育 统统 计计 学学 正正 态态 分分 布布 目目 标标 要要 求求n1 1 了解正态分布概念和掌握正态分布的性质了解正态分布概念和掌握正态分布的性质n2 2 了解正态分布转化标准正态分布的思路了解正态分布转化标准正态分布的思路n3 3 会查正态分布表会查正态分布表n4 4 掌握正态分布的计算方法掌握正态分布的计算方法n5 5 掌握正态分布在体育中的几种应用掌握正态分布在体育中的几种应用第一部分第一部分 正态分布的概念与性质正态分布的概念与性质n正态分布的由来正态分布的由来n正态分布的概念正态分布的概念n正态分布曲线的性质正态分布曲线的性质n标准正态分布及正态分布表标准正态分布及正态分

2、布表一一 正态分布的由来正态分布的由来n1 1 直方图直方图n在平面坐标上，以横轴根据各组组距的宽在平面坐标上，以横轴根据各组组距的宽度标明各组组距，以纵轴根据次数的高度度标明各组组距，以纵轴根据次数的高度标示各组次数绘制成的统计图。纵轴的左标示各组次数绘制成的统计图。纵轴的左侧标明次数，右侧标明频率，如果没有频侧标明次数，右侧标明频率，如果没有频率，直方图只在左侧标明次数。率，直方图只在左侧标明次数。 一一 市场及其相关概念市场及其相关概念一一 正态分布的由来（续）正态分布的由来（续）n2 2 折线图折线图n折线图是在直方图的基础上，用折线连接折线图是在直方图的基础上，用折线连接各个直方形顶

3、边中点，并在直方图形两侧各个直方形顶边中点，并在直方图形两侧各延伸一组，使折线与横轴相连。也可根各延伸一组，使折线与横轴相连。也可根据各组组中值与次数求出各组的坐标点，据各组组中值与次数求出各组的坐标点，并用折线连接各点而成。折线所覆盖的面并用折线连接各点而成。折线所覆盖的面积等于直方图条形的面积，表示总次数。积等于直方图条形的面积，表示总次数。 一一 正态分布的由来（续）正态分布的由来（续）一一 正态分布的由来（续）正态分布的由来（续）n3 3 正态曲线正态曲线n当样本的含量不断增大，组距越取越小，当样本的含量不断增大，组距越取越小，分组越来越多时，其频数分布直方图的阶分组越来越多时，其频数

4、分布直方图的阶梯逐渐接近；最后当样本含量梯逐渐接近；最后当样本含量n n ，组距，组距I 0I 0时可形成一条光滑的钟形曲线，这种时可形成一条光滑的钟形曲线，这种中间隆起，对称地向两边下降的曲线，我中间隆起，对称地向两边下降的曲线，我们称它为正态曲线。们称它为正态曲线。一一 正态分布的由来（续）正态分布的由来（续）频率频率组距组距产品产品尺寸尺寸（mm）ab总体在区间总体在区间 内取值的概率内取值的概率),(ba总体密度曲线总体密度曲线3 3 正态分布曲线图正态分布曲线图二二 正态分布的概念正态分布的概念n定义：若随机变量定义：若随机变量X X的概率分布密度的概率分布密度函数是：函数是：n n

5、式中，式中，和和都是常数，且都是常数，且0 0， x x，称随机变量，称随机变量X X服从参服从参数为数为和和的正态分布，记为的正态分布，记为X XN N（ ， 2 2）。）。( )f x 22()212xe 三三 正态分布的性质正态分布的性质n(1)(1)曲线在曲线在x x轴的上方，与轴的上方，与x x轴不相交轴不相交n(2)(2)曲线关于直线曲线关于直线x x对称对称n(3)(3)当当x x时，曲线位于最高点时，曲线位于最高点n(4)(4)变量变量x x可在全横轴（可在全横轴（-x -x ）取值，曲线覆）取值，曲线覆盖的区域里的概率等于盖的区域里的概率等于1.1.三三 正态分布的性质（续）

6、正态分布的性质（续）n(5)(5)当当x x时，曲线上升时，曲线上升( (增函数增函数) )；当；当x x时，时，曲线下降曲线下降( (减函数减函数) )并且当曲线向左、右两边无并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以限延伸时，以x x轴为渐近线，向它无限靠近轴为渐近线，向它无限靠近n(6)(6)一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定n越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，总体分布越分散；，总体分布越分散；n越小，曲线越越小，曲线越“高高”，总体分布越集中。，总体分布越集中。 四四 标准正态分布标准正态分布n为了分析问题的方便，把任何不同参数的为了分析问题的方便，把任何不同参数的正态分布

7、改造成标准正态分布。其具体步正态分布改造成标准正态分布。其具体步骤如下：骤如下：xu四四 标准正态分布标准正态分布n由此，可使正态分布的概率密度函数改造由此，可使正态分布的概率密度函数改造成标准正态分布的概率密度函数，其函数成标准正态分布的概率密度函数，其函数式为式为n n 2221)(ueuf案例分析：由一般正态分布转化成标准正态案例分析：由一般正态分布转化成标准正态分布分布n若有中学男生若有中学男生50m50m跑成绩的资料，其总体均数跑成绩的资料，其总体均数8.5s8.5s，总体标准差，总体标准差0.2s0.2s，假设该变量服，假设该变量服从正态分布（简称为正态）。从正态分布（简称为正态）

8、。( (如图如图5.5)5.5)案例分析：由一般正态分布转化成标准正态案例分析：由一般正态分布转化成标准正态分布分布n如果图如果图5.55.5的纵轴平移至均数的纵轴平移至均数 所在的位置，所在的位置，便得到图便得到图5.65.6中的横轴变量，即所有原始变量都中的横轴变量，即所有原始变量都减均数减均数 得得 = = ，此时已将均数转换为，此时已将均数转换为0 0。案例分析：由一般正态分布转化成标准正态案例分析：由一般正态分布转化成标准正态分布分布n最后再将最后再将 除以标准差得除以标准差得 ，可得到图，可得到图5.75.7中中的横轴变量，该变量为标准正态变量。此时已的横轴变量，该变量为标准正态变

9、量。此时已将标准差转换成将标准差转换成1 1。说明：说明：n在具体的研究工作中，我们常以样本的资料作在具体的研究工作中，我们常以样本的资料作为分析基础，往往难以获取总体的均数为分析基础，往往难以获取总体的均数和标和标准差准差，所以，在变量的标准化时，常常以样，所以，在变量的标准化时，常常以样本的均数本的均数 和标准差和标准差S S代替总体均数代替总体均数和标和标准差准差，这是一种近似处理方法。这样，就把，这是一种近似处理方法。这样，就把变量标准化的（变量标准化的（5.25.2）用下式代替，即）用下式代替，即Sxxu第二部分第二部分 正态分布表的使用正态分布表的使用n正态分布表的基本简况正态分布

10、表的基本简况n正态分布表的使用和计算方法正态分布表的使用和计算方法一一 正态分布表的基本简况正态分布表的基本简况n正态分布表由两部分构成，第一部分是标正态分布表由两部分构成，第一部分是标准正态分布的横轴变量准正态分布的横轴变量u u，也就是附表，也就是附表1 1中，中，左上角左上角u u所对应的行和列，列变量的值是所对应的行和列，列变量的值是0.00.03.43.4；行变量的值是；行变量的值是0.000.000.090.09；第；第二部分是附表二部分是附表1 1里面所里面所350350个数据，从个数据，从0.5000.5000.9980.998。这些数据是根据标准正态。这些数据是根据标准正态分

11、布的概率密度函数（分布的概率密度函数（5.35.3）式逐个积分）式逐个积分获得的，即获得的，即uduueu2221)(一一 正态分布表的基本简况（续）正态分布表的基本简况（续）n可以把（可以把（5.55.5）式看成是一个求面积的公式）式看成是一个求面积的公式（在正态分布曲线下某个（在正态分布曲线下某个（a a，b b）区间积分值）区间积分值是变量在该区间的分布的概率，由于在几何图是变量在该区间的分布的概率，由于在几何图形上概率值是以面积的形式表现出来的，故通形上概率值是以面积的形式表现出来的，故通常地称为（常地称为（a a，b b）区间的面积），式中的）区间的面积），式中的（u u）就是标准正

12、态曲线下由）就是标准正态曲线下由 到某个到某个u u值值所围成的面积（概率）时，就无需直接解所围成的面积（概率）时，就无需直接解（5.55.5）式，而只要查正态分布表就可以得到）式，而只要查正态分布表就可以得到相应区间的面积（概率）。相应区间的面积（概率）。一一 正态分布表的基本简况（续）正态分布表的基本简况（续）n要说明的是，由于正态分布曲线具有对称性质，要说明的是，由于正态分布曲线具有对称性质，附表中所给出的面积数据只是在附表中所给出的面积数据只是在u0u0时（时（ ，u u）的面积（概率）。如（）的面积（概率）。如（ ，1 1）的）的面积（概率）可直接查表求得，而面积（概率）可直接查表求

13、得，而 ，1 1）区间的面积（概率）是无法直接查到的，对于区间的面积（概率）是无法直接查到的，对于后一种情况只有通过对称性质方可求得。后一种情况只有通过对称性质方可求得。二二 正态分布表的使用和计算方法正态分布表的使用和计算方法n第一种是根据第一种是根据U U变量的值查出对应的面积（概变量的值查出对应的面积（概率）。率）。n第二种则是根据面积（概率）去找出相应的第二种则是根据面积（概率）去找出相应的U U变量的值。变量的值。二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n1.1.求从求从到某一正的到某一正的U U值所围成的面积（概值所围成的面积（概率）率）n例：有一例：

14、有一u u值为值为1.481.48，要求（，要求（ ，1.481.48）区）区间的面积（概率）。则：间的面积（概率）。则：二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n2.2.求从某一求从某一到某一负的到某一负的u u值所围成的面积值所围成的面积（概率）（概率）n要根据正态分布曲线的对称性和曲线下面积为要根据正态分布曲线的对称性和曲线下面积为1 1这两个性质，求出一这两个性质，求出一到某一负值所未成的到某一负值所未成的面积（概率）值。面积（概率）值。n例：要求（一例：要求（一，1 1）区间面积（概率）。）区间面积（概率）。二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布

15、表的使用和计算方法（续）n3.3.求某个求某个u u值以上的面积值以上的面积n由于正态分布曲线下从（由于正态分布曲线下从（ ，）所围）所围成的面积（概率）等于成的面积（概率）等于1 1，所以，在求某，所以，在求某u u值以值以上面积（概率）时，只要将上面积（概率）时，只要将 到该到该u u值的面值的面积（概率）查出，然后由积（概率）查出，然后由1 1减去该面积（概率）减去该面积（概率）值就可得到某个值就可得到某个u u值以上的面积。值以上的面积。n例：要求（例：要求（1.961.96， ）的面积（概率）的面积（概率）二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n4.4

16、.求两个正的求两个正的u u值所围成的面积（概率）值所围成的面积（概率）n由于在正态分布表中从由于在正态分布表中从 到正的到正的u u值所围成值所围成的面积（概率）都能查到，所以，要求两个正的面积（概率）都能查到，所以，要求两个正u u值所围成的面积（概率）时，只需将面积值所围成的面积（概率）时，只需将面积（概率）数值大的减去面积（概率）数值小的（概率）数值大的减去面积（概率）数值小的即可得到。即可得到。n例：求（例：求（1 1，2 2）所围成的面积（概率）。）所围成的面积（概率）。二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n5.5.求两个负的求两个负的u u值所围

17、成的面积（概率）值所围成的面积（概率）n当遇到要求出两个负当遇到要求出两个负u u值所围成面积（概率）值所围成面积（概率）时，就要根据正态分布曲线的对称性性质，在时，就要根据正态分布曲线的对称性性质，在正态曲线图的右边找出两个正正态曲线图的右边找出两个正u u值，使其所围值，使其所围成的面积（概率）与两个负成的面积（概率）与两个负u u值所围成的面积值所围成的面积（概率）相等，此时只要求出了两个正（概率）相等，此时只要求出了两个正u u值所值所围成的面积（概率），目的就达到了。围成的面积（概率），目的就达到了。n例：求（例：求（1.51.5，0.50.5）区间的面积（概率）？）区间的面积（概率

18、）？二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n6.6.求一个负的求一个负的u u值和一个正的值和一个正的u u值所围成的面积值所围成的面积（概率）（概率）n如果我们遇到要求出一个负的如果我们遇到要求出一个负的u u值和一个正的值和一个正的u u值所围成的面积（概率）的情况时，则运用正值所围成的面积（概率）的情况时，则运用正态分布曲线的对称性性质求解。态分布曲线的对称性性质求解。n例如：求（例如：求（1 1，2 2）的面积（概率）？）的面积（概率）？二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n7 7 已知某区间的面积（概率）求与之对应的已

19、知某区间的面积（概率）求与之对应的u u值值n上面上面6 6种情况，均是已知种情况，均是已知u u值去求出相应的面积值去求出相应的面积（概率），而本处所介绍的查表方式正好相反。（概率），而本处所介绍的查表方式正好相反。在一些情况下，我们要反查正态分布表，也就在一些情况下，我们要反查正态分布表，也就是说要通过面积去找相对应的是说要通过面积去找相对应的u u值。值。n例如，已知（例如，已知（0 0，u u）所围成的面积（概率）所围成的面积（概率）为为.3830.3830，试求对应的，试求对应的u u值。值。二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n在实际统计工作中，常

20、用到下列在实际统计工作中，常用到下列u u值以及相应值以及相应的面积（概率）。见图：的面积（概率）。见图：nIuIIuI1 1，区间（，区间（1 1，1 1）的面积（概率）的面积（概率）P P0.68260.6826，占整个正态曲线下面积（概率）的，占整个正态曲线下面积（概率）的68.2668.26。nIuIIuI1.961.96，区间（，区间（1.961.96，1.961.96）的面积）的面积（概率）（概率）P P0.950.95，占整个正态曲线下面积，占整个正态曲线下面积（概率）的（概率）的9595。二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）nIuIIuI2.5

21、82.58，区间（，区间（2.582.58，2.582.58）的面积）的面积（概率）（概率）P P0.990.99，占整个正态曲线下面积，占整个正态曲线下面积（概率）的（概率）的9999。n另外：另外：IuIIuI3 3，区间（，区间（3 3，3 3）的面积（概率）的面积（概率）P P0.99740.9974，占整个正态曲线下面积（概率），占整个正态曲线下面积（概率）的的99.7499.74。在以前曾介绍过。在以前曾介绍过 3S3S法审核法审核可疑数据，就是以这个原理为依据的。可疑数据，就是以这个原理为依据的。二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n上面是标准正

22、态分布，其横轴是标准变量上面是标准正态分布，其横轴是标准变量u u。若将标准正态分布还原成一般正态分布，则上若将标准正态分布还原成一般正态分布，则上述各类区间的上下限分别又可用原始变量述各类区间的上下限分别又可用原始变量X X的的值予以表示，即值予以表示，即n（11， 11） 所围成的面积（概率）所围成的面积（概率）P P0.68260.6826；（；（1.961.96， 1.961.96） 所围成的面积（概率）所围成的面积（概率） P P0.950.95；（2.582.58， 2.582.58） 所围成的面积所围成的面积（概率）（概率）P P0.990.99；（；（33， 33） 所围成的面

23、积（概率）所围成的面积（概率）P P0.99740.9974；二二 正态分布表的使用和计算方法（续）正态分布表的使用和计算方法（续）n由于一般情况下，我们很难获得总体的均数由于一般情况下，我们很难获得总体的均数和和标准差标准差，故在描述原始变量的区间时，常以样，故在描述原始变量的区间时，常以样本均数和标准差本均数和标准差S S代替总体均数代替总体均数和标准差和标准差。原始变量的各区间以及相应的面积概率为：原始变量的各区间以及相应的面积概率为：n（-1S-1S， +1s+1s） P P0.68260.6826，68.2668.26n（-1.96S-1.96S， +1.96s+1.96s）P P0

24、.950.95，9595n（-2.58S-2.58S， +2.58s+2.58s）P P0.990.99，9999n（ -3S-3S， +3s+3s） P P0.99740.9974，99.7499.74第三部分第三部分 正态分布在体育中的应用正态分布在体育中的应用n正态分布理论在制定考核标准研究中的正态分布理论在制定考核标准研究中的应用应用n正态分布理论在离差评价表中的应用正态分布理论在离差评价表中的应用n正态分布理论在人数估计研究中的应用正态分布理论在人数估计研究中的应用n正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用中的应用一一 正态分布理论在制定考核标准研

25、究中的应正态分布理论在制定考核标准研究中的应用用n在制定考核标准之前要做两件预备工作：在制定考核标准之前要做两件预备工作：n一是获取各项目建标数据，并求出各项目数据一是获取各项目建标数据，并求出各项目数据的平均数和标准差的平均数和标准差S S。n二是根据教学要求和实际需要，合理地定出达二是根据教学要求和实际需要，合理地定出达到优秀、良好、中等、及格和不及格的登记人到优秀、良好、中等、及格和不及格的登记人数的百分比例。数的百分比例。一一 正态分布理论在制定考核标准研究中的应正态分布理论在制定考核标准研究中的应用（续）用（续）n1 1 制定考核标准的步骤制定考核标准的步骤制作正态曲线的分布草图计算

26、出从到各ui值所围成的面积（概率）查表求各等级的ui求各等级标准的原始成绩Xi值一一 正态分布理论在制定考核标准研究中的应正态分布理论在制定考核标准研究中的应用（续）用（续）n2 2 考核标准的制定考核标准的制定n例例5.1 5.1 测得上届学生毕业时推铅球的平均数测得上届学生毕业时推铅球的平均数 7.3m7.3m，标准差，标准差S S0.4m0.4m，经检验，原始数据，经检验，原始数据基本服从正态分布。现要建立本届学生年末时基本服从正态分布。现要建立本届学生年末时推铅球的考核标准，假定本届学生的该项成绩推铅球的考核标准，假定本届学生的该项成绩与上届学生该项成绩具有相同的正态分布，那与上届学生

27、该项成绩具有相同的正态分布，那么，就可按上届学生的资料，规定各等级的人么，就可按上届学生的资料，规定各等级的人数比例为：优秀数比例为：优秀1010，良好，良好2020，中等，中等3030，及格及格32%,32%,不及格不及格8 8，试确定各等级的成绩标，试确定各等级的成绩标准。准。一一 正态分布理论在制定考核标准研究中的应正态分布理论在制定考核标准研究中的应用（续）用（续）n2 2 考核标准的制定考核标准的制定n步骤：步骤：n第一步：制作正态曲线的分布草图第一步：制作正态曲线的分布草图n第二步：计算从第二步：计算从 到各等级到各等级u ui i值的面积值的面积（概率）。（概率）。n第三步：求各

28、等级的第三步：求各等级的u ui i值。值。n第四步：求各等级的标准第四步：求各等级的标准x xi i。根据变量标准公。根据变量标准公式（式（5.45.4）可得：）可得：n X XuSuS x x二二 正态分布理论在制定离差评价表中的应用正态分布理论在制定离差评价表中的应用n在体育教学和训练中，广大的体育教师和教练在体育教学和训练中，广大的体育教师和教练员渴望了解学生或运动员的各种情况，同时，员渴望了解学生或运动员的各种情况，同时，学生或运动员也希望了解自己在某个时期的学学生或运动员也希望了解自己在某个时期的学习和训练中各种身体技能、素质等方面的发展习和训练中各种身体技能、素质等方面的发展状况

29、。离差评价表可以解决上述问题。状况。离差评价表可以解决上述问题。二二 正态分布理论在制定离差评价表中的应用正态分布理论在制定离差评价表中的应用n例如，测得某校初三年级女生的身高例如，测得某校初三年级女生的身高 X=154cm,S1=5cm;60mX=154cm,S1=5cm;60m跑跑 X2=11.2cm;S2=0.8;X2=11.2cm;S2=0.8;体重体重 X3=45kg,S3=5kg;X3=45kg,S3=5kg;铅球铅球X4=500cmX4=500cm，S4=45cm;S4=45cm;胸围胸围X5=74cm,S5=4cm,X5=74cm,S5=4cm,跳高跳高X6=96cm,S6=1

30、0cm,X6=96cm,S6=10cm,肺活量肺活量X7=2202X7=2202ml,S7=364ml,ml,S7=364ml,跑跑X8=92s,S8=9s,X8=92s,S8=9s,经检验，经检验，上述指标变量均服从正态分布，试根据该资料上述指标变量均服从正态分布，试根据该资料制定离差评价表。具体制法如下：制定离差评价表。具体制法如下：二二 正态分布理论在制定离差评价表中的应用正态分布理论在制定离差评价表中的应用（续）（续）n第一步，根据指标总数画好框表第一步，根据指标总数画好框表n第二步，将各指标的平均数，填入中间那条等第二步，将各指标的平均数，填入中间那条等级线与各指标线的交叉处级线与各

31、指标线的交叉处n第三步，计算各指标的第三步，计算各指标的 Xi+Si Xi+Si 和和 Xi+2Si Xi+2Si n第四步，将表重复制作多份，发给学生。第四步，将表重复制作多份，发给学生。三三 正态分布理论在人数估计研究中的应用正态分布理论在人数估计研究中的应用n在体育教学和运动训练的实践中，各等级成绩在体育教学和运动训练的实践中，各等级成绩一般事先已规定，在一定条件下可根据体育教一般事先已规定，在一定条件下可根据体育教学训练的情况，运用正态分布理论估计人数。学训练的情况，运用正态分布理论估计人数。在学校体育工作的检查过程中，常常以达标人在学校体育工作的检查过程中，常常以达标人数或达标率作为

32、评价指标。数或达标率作为评价指标。n在根据正态分布理论做人数估计前，需调查学在根据正态分布理论做人数估计前，需调查学生的原有水平，算出某项成绩的平均数生的原有水平，算出某项成绩的平均数 和和标准差标准差S S。三三 正态分布理论在人数估计研究中的应用正态分布理论在人数估计研究中的应用（续）（续）n估计人数的步骤有：估计人数的步骤有：n1.1.作一个正态分布草图，以确定估计范围；作一个正态分布草图，以确定估计范围；n2.2.计算估计范围的计算估计范围的u ui i值；值；n3.3.查表找到估计范围的面积（概率）；查表找到估计范围的面积（概率）；n4.4.计算估计范围的人数。计算估计范围的人数。n

33、现以例子说明估计人数的全过程：现以例子说明估计人数的全过程：三三 正态分布理论在人数估计研究中的应用正态分布理论在人数估计研究中的应用（续）（续）n例：已测得某大学男生跳远成绩的平均数例：已测得某大学男生跳远成绩的平均数 5.20m5.20m，标准差，标准差S S0.15m0.15m，原始变量基本呈，原始变量基本呈正态分布，该学校男生共正态分布，该学校男生共15001500人，现要分别估人，现要分别估计跳远成绩在计跳远成绩在5.50m5.50m以上、以上、5.305.305.50m5.50m、4.94.95.30m5.30m、4.9m4.9m以下的人数。以下的人数。n第一步：作正态分布曲线的草

34、图。第一步：作正态分布曲线的草图。n第二步：求各区间的第二步：求各区间的u ui i值。值。n第三步：根据第三步：根据u ui i值求各区间的面积（概率）。值求各区间的面积（概率）。n第四步：求各区间的人数。第四步：求各区间的人数。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价中正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用的应用n体育教学效果的评价、运动员的选材、学生的体育教学效果的评价、运动员的选材、学生的体质评价等方面的研究，从单一角度单一指标体质评价等方面的研究，从单一角度单一指标是不可能得到合理的结果的。只有从多角度多是不可能得到合理的结果的。只有从多角度多指标进行综合研究，才能得到科学的结果

35、。因指标进行综合研究，才能得到科学的结果。因此，我们在认识体育的各种事物、现象时，要此，我们在认识体育的各种事物、现象时，要将视点从单一角度单一指标转向多角度多指标将视点从单一角度单一指标转向多角度多指标的综合评价研究的方式上来。的综合评价研究的方式上来。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用中的应用n（一）综合评价模型（一）综合评价模型n1.1.平均型综合评价模型平均型综合评价模型n该模型对被判别事物的所有构成指标的得分该模型对被判别事物的所有构成指标的得分平均，得到综合评价值平均，得到综合评价值W W，其数学模型为，其数学模型为n式中式中W W为

36、综合评价值，为综合评价值，n n为评价指标的个数，为评价指标的个数，x xi i为各评价指标的数值（为各评价指标的数值（i i1 1，2 2，n n）。）。nxWnii/1三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n例：某一学生五项运动素质的情况分别为：例：某一学生五项运动素质的情况分别为：nx x1 1（100m100m）9090分，分，nx x2 2（1500m1500m）8282分，分，nx x3 3（立定跳远）（立定跳远）8888分，分，nx x4 4（引体向上）（引体向上）7373分，分，nx x5 5（铅球）（铅球）808

37、0分。分。n试求学生运动素质水平的综合得分。试求学生运动素质水平的综合得分。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n2.2.加权平均型综合评价模型加权平均型综合评价模型n该模型式将被判别事物所有的评价指标的得该模型式将被判别事物所有的评价指标的得分与其各自权重（所谓权重式指反映评价指分与其各自权重（所谓权重式指反映评价指标对某事物在评价中的重要程度的系数）乘标对某事物在评价中的重要程度的系数）乘积的和，得综合评价的值积的和，得综合评价的值W W。其数学模型为：。其数学模型为：iniixkW1三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价

38、正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n2.2.加权平均型综合评价模型加权平均型综合评价模型n式中式中W W为综合评价值，为综合评价值，n n为评价指标的个数，为评价指标的个数，x xi i为各评价指标的数值，为各评价指标的数值，k ki i为各评价指标的为各评价指标的权重。权重。n仍以前面为例进行计算仍以前面为例进行计算。iniixkW1三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n介绍了两种模型后，不难看出，平均型综合介绍了两种模型后，不难看出，平均型综合评价模型式把每个评价指标的重要程度等同评价模型式把每个

39、评价指标的重要程度等同处理，而加权平均模型综合评价模型是以权处理，而加权平均模型综合评价模型是以权重（重（k k系数）形式区分了各评价指标的重要系数）形式区分了各评价指标的重要程度，然后再加以处理。由于构成事物的各程度，然后再加以处理。由于构成事物的各模型时，应尽可能采用加权平均型模型。模型时，应尽可能采用加权平均型模型。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n1 U1 U分法分法nU U分法是将原始变量转换成标准正态分布的分法是将原始变量转换成标准正态分布的横轴变量的一种统一单位的方法。该方法的横轴变量的一种统一单位的方法。该方

40、法的计算公式与第一节的公式计算公式与第一节的公式5.45.4相同，在此不相同，在此不再详述。再详述。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n1 Z1 Z分法分法nZ Z分法是根据正态分布理论以插值的方式建分法是根据正态分布理论以插值的方式建立的一种统一变量单位的方法。该方法的计立的一种统一变量单位的方法。该方法的计算公式为：算公式为：100650100650SxxuZ三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n式中式中Z Z为标准分，为标准分，“”号是在不同情况下号是在不

41、同情况下选用的，在水平越高变量数值也越大的情况选用的，在水平越高变量数值也越大的情况下（如跳高、跳远等），使用下（如跳高、跳远等），使用“”；在水；在水平越低变量的数值越大的情况下（如平越低变量的数值越大的情况下（如100m100m跑，跑，400m400m跑等），使用跑等），使用“”。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n例已知有一群运动员例已知有一群运动员100m100m跑的跑的 1 111.8s11.8s，S S1 10.2s0.2s；反应时；反应时 2 20.3s0.3s，S S2 20.03s0.03s；大腿力量；大腿力

42、量 3 395kg95kg。S S3 35kg5kg。若有一位运动员的三项指标的成绩分别为：若有一位运动员的三项指标的成绩分别为：100m100m（x x1 1）11.5s11.5s，反应时（，反应时（x x2 2）0.28s0.28s，大腿力量（大腿力量（x x3 3）100kg100kg，试求该运动员各，试求该运动员各指标的标准指标的标准z z分。分。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n3 3 累进记分法累进记分法n体育项目有一个明显的特点，即运动水平越体育项目有一个明显的特点，即运动水平越高，成绩上升一个单位的难度越大。

43、例如，高，成绩上升一个单位的难度越大。例如，100m100m跑的成绩从跑的成绩从12s12s上升到上升到11.9s11.9s的难度要比的难度要比从从15s15s升到升到14.9s14.9s的难度大得多。所以，在很的难度大得多。所以，在很多情况下，在变量的标准化过程中还要考虑多情况下，在变量的标准化过程中还要考虑到运动项目变化的难度特征。到运动项目变化的难度特征。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n累进记分的分数是与运动成绩提高的难度相累进记分的分数是与运动成绩提高的难度相适应的。累进积分法的公式为适应的。累进积分法的公式为n

44、y ykDkD2 2Z Z （5.105.10）n式中，式中，y y为累进分数，为累进分数，k k为系数，为系数，D D为变量，为变量，Z Z为常数。为常数。n要使用（要使用（5.105.10）式，首先要求出系数）式，首先要求出系数k k和常和常数数Z Z，然后将，然后将k k和和Z Z带入方程式。（带入方程式。（5.105.10）式）式中的中的D D变量是一个新出现的变量，它与原始变量是一个新出现的变量，它与原始变量变量X X和标准变量和标准变量U U的对应关系见下表：的对应关系见下表：三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n表

45、表5.2 X5.2 X、U U、D D变量对应表变量对应表三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n根据这个对应表，根据这个对应表，D D变量的转换公式为：变量的转换公式为：n （5.115.11）n n （5.125.12）n（5.115.11）式中是用于田赛项目的变量转换，）式中是用于田赛项目的变量转换，（5.125.12）式是用于径赛项目的变量转换的。）式是用于径赛项目的变量转换的。在使用时要注意它们的区别。在使用时要注意它们的区别。 SxxuD55sxxuD55三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位

46、在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n例例 已知有一群运动员已知有一群运动员100m100m跑的跑的 1 111.8s11.8s，S S1 10.2s0.2s；反应时；反应时 2 20.3s0.3s，S S2 20.03s0.03s；大腿力量；大腿力量 3 395kg95kg，S S3 35kg5kg。若有一位运动员的三项指标的成绩分别为：若有一位运动员的三项指标的成绩分别为：100m100m（x x1 1）11.5s11.5s，反应时（，反应时（x x2 2）0.28s0.28s，大腿力量（大腿力量（x x3 3）100kg100kg，试求该运动员各指，试求该运动员各指标的累进记分。标的累

47、进记分。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n4 4 百分位数法百分位数法n百分位法是以某变量分布的百分位数记录分百分位法是以某变量分布的百分位数记录分数，它要求观测值从小到大进行排列，并以数，它要求观测值从小到大进行排列，并以一定的方式把某变量的值转换成分数。若某一定的方式把某变量的值转换成分数。若某一观测值一观测值X X0 0转换为转换为7575分，则表明在所测得的分，则表明在所测得的观测值中有观测值中有7575的观测值小于的观测值小于X X0 0。百分位数。百分位数的最大分为的最大分为100100分，最小分为分，最小分为0

48、 0分。在具体应分。在具体应用中，常常是以频数分布表来计算百分位数。用中，常常是以频数分布表来计算百分位数。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）n例：某年级学生纵跳成绩频数分布如表例：某年级学生纵跳成绩频数分布如表5.35.3n表表5.3 5.3 纵跳成绩频数分布表（纵跳成绩频数分布表（I I2cm2cm） 单位单位cmcm三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用（续）100(nixxi组前累计频数组距组内数组下限成绩的百分位数）式中：式中：XiXi为某人的某指标的实际观测值；组下限为为某人的某指标的实际观测值；组下限为xixi所在组下限；组内数为所在组下限；组内数为xixi所在组的频数；组前所在组的频数；组前累计频数为累计频数为xixi所在组的前一组的累计频数；所在组的前一组的累计频数；n n为为总频数。总频数。三三 正态分布理论统一变量单位在综合评价正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用（续）中的应用