Chapter12矩阵位移法

1、第十二章第十二章 矩阵位移法矩阵位移法12-1 概述概述力法和位移法力法和位移法传统结构分析方法，依靠手算，可解决的结构简单。传统结构分析方法，依靠手算，可解决的结构简单。计算机提供了强大的分析计算手段，使包括结构力学计算机提供了强大的分析计算手段，使包括结构力学在内的众多学科发生了巨大变化。在内的众多学科发生了巨大变化。许多过去靠手算难以解决，甚至是不可想象的结构问许多过去靠手算难以解决，甚至是不可想象的结构问题，由于以计算机为基础的计算分析技术的出现，都题，由于以计算机为基础的计算分析技术的出现，都迎刃而解。迎刃而解。在结构力学中，适合电算的计算方法主要为结构矩阵在结构力学中，适合电算的计

2、算方法主要为结构矩阵分析。分析。其特点：其特点：使用矩阵数学工具，适合编程及机器运算。使用矩阵数学工具，适合编程及机器运算。杆件结构的矩阵分析，也称杆件有限元法。杆件结构的矩阵分析，也称杆件有限元法。一、结构离散化一、结构离散化把结构分解为把结构分解为有限个单元有限个单元。对于杆件结构，一般一。对于杆件结构，一般一个杆件可作为一个单元。对单元进行分析：考察单个杆件可作为一个单元。对单元进行分析：考察单元的的内力和位移之间关系。元的的内力和位移之间关系。二、组装单元二、组装单元化整为零化整为零把各单元集合成原来结构，要求各单元满足平衡条把各单元集合成原来结构，要求各单元满足平衡条件和几何条件：如

3、支撑条件和结点变形连续条件。件和几何条件：如支撑条件和结点变形连续条件。对结构整体分析对结构整体分析化零为整化零为整根据所选未知量的不同，结构矩阵分析有根据所选未知量的不同，结构矩阵分析有矩阵位矩阵位移法（刚度法）和矩阵力法（柔度法）移法（刚度法）和矩阵力法（柔度法）。杆件有限元法的主要内容：杆件有限元法的主要内容：矩阵位移法的程序简单，通用性强，运用最广。矩阵位移法的程序简单，通用性强，运用最广。矩阵位移法很早提出，对手算很笨，很长时间没有矩阵位移法很早提出，对手算很笨，很长时间没有进展。进展。计算机出现后，由于它特别适合电算，一段时间发计算机出现后，由于它特别适合电算，一段时间发展非常迅速

4、，现在很成熟。展非常迅速，现在很成熟。12-1 概述概述 单元分析建立杆端力和杆端位移的关系。单元分析建立杆端力和杆端位移的关系。 除了转角位移方程外，还考虑轴向位移，以矩阵形式除了转角位移方程外，还考虑轴向位移，以矩阵形式表示。表示。局部坐标系局部坐标系 根据胡克定律和表根据胡克定律和表101，得出某杆端位移分量为，得出某杆端位移分量为1，其余分量为零时，各杆端力分量，然后叠加其余分量为零时，各杆端力分量，然后叠加,;,eeeeeeiiijjjNQMNQM杆端力为杆端力为杆端位移为杆端位移为,;,eeeeeeiiijjjuvwuvw杆端力和位移正负号：杆端力和位移正负号：轴力轴力 以以 正向

5、为正；剪力正向为正；剪力 以以 正向为正；正向为正；弯距逆时针为正弯距逆时针为正eNxeQy323222323222000012612600646200000012612600626400eeiieeiieeiiejejejEAEAllEIEIEIEINullllQvEIEIEIEIMllllNEAEAllQEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllejejejuv单元刚度方程单元刚度方程eeeFk简写简写为为eieieieejejejNQMFNQMeieieieejejejuvuv其中其中323222323222000012612600646200000012612600626400

6、eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为单元刚度矩阵的系数刚度系数的物理意义：单元刚度矩阵的系数刚度系数的物理意义：当其所在列对应的杆端位移分量当其所在列对应的杆端位移分量1，其余分量，其余分量0时，时，所引起的其所在行对应的杆端力分量的数值。所引起的其所在行对应的杆端力分量的数值。单元刚度矩阵性质：单元刚度矩阵性质：1）对称性）对称性 反力互等定理反力互等定理2）奇异性）奇异性 行列式行列式0，不存在逆矩阵，不存在逆矩阵杆端位移杆端位移杆端力；杆端力；由杆端力不能反求杆端位移由杆端

7、力不能反求杆端位移物理意义：物理意义：自由单元，两端无约束，有刚体位移自由单元，两端无约束，有刚体位移lejueiuijeeiNejN特例：特例：平面桁架中的杆件平面桁架中的杆件只有轴力，无剪力、弯距只有轴力，无剪力、弯距eeiieejjEAEANullNuEAEAll 单元刚度方程为单元刚度方程为12-3 单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵，在局部坐标系下建立。单元刚度矩阵，在局部坐标系下建立。对整体结构，各杆方位各不相同，局部坐标系也各对整体结构，各杆方位各不相同，局部坐标系也各不相同不相同需设定一个统一的坐标系：需设定一个统一的坐标系：整体坐标系整体坐标系ejXej

8、YejNejQeejjMMeeiiMMeiNeiXeiYeiQxyxy在整体坐标系中，在整体坐标系中，杆端力和杆端位杆端力和杆端位移向量为移向量为eieieieejejejXYMFXYMeieieieejejejuvuvcossin0000sin00000001000000cossin0000sincos0000001eeiieeiieeiieejjeejjeejjNXQYMMNXQYMM杆端力在局部坐标系和整体坐标系中的关系为杆端力在局部坐标系和整体坐标系中的关系为或者或者eeFTF同样同样eeT坐标转换矩阵为坐标转换矩阵为cossin0000sin00000001000000cossin0

9、000sincos0000001T性质：性质：正交矩阵正交矩阵1TTTeeeFkeeeTFk T1eeeTeeFT k TT k TeeeFk其中，整体坐标系中的单元刚度矩阵其中，整体坐标系中的单元刚度矩阵eTekT k T按单元的始末结点按单元的始末结点i,j进行分块进行分块eeeeiiiijieeeejijjjjFkkFkk单元刚度矩阵的具体形单元刚度矩阵的具体形式见式式见式12-23 平面桁架杆件，两端只承受轴力，在整体坐标系下平面桁架杆件，两端只承受轴力，在整体坐标系下的杆端力和杆端位移向量为的杆端力和杆端位移向量为ejXejYejNeiNeiXeiYxyxy,eeiieeeeiiii

10、eeeeeejjjjeejjXuFYvFFXuYvcossin00sincos0000cossin00sincosT坐标转换矩阵坐标转换矩阵12-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵矩阵位移法以结点位移为基本未知量。矩阵位移法以结点位移为基本未知量。整体分析（化零为整），把各单元的刚度矩阵组整体分析（化零为整），把各单元的刚度矩阵组装成整体结构刚度矩阵。装成整体结构刚度矩阵。为了避免混淆，需要对各单元和结点进行编号。为了避免混淆，需要对各单元和结点进行编号。1234,iiiiuv 结构的结点位移向量和结点力向量为结构的结点位移向量和结点力向量为1234,iiiiPXPPPYPMP Pi代表

11、结点代表结点i的外力向量，的外力向量，Xi,Yi和和Mi分别为作用于结分别为作用于结点点I的沿的沿x,y方向的外力和外力偶。方向的外力和外力偶。根据结构的平衡条件和变形连续条件组装结构原始刚根据结构的平衡条件和变形连续条件组装结构原始刚度矩阵，度矩阵，或者总体刚度矩阵或者总体刚度矩阵(1)(1)111112(1)(1)(2)(2)2221222223(2)(2)(3)(3)3332333334(3)(3)444344000000PkkPkkkkPkkkkPkk组装总体刚度矩阵规则：组装总体刚度矩阵规则：对号入座对号入座(1)(1)111213141112(1)(1)(2)(2)21222324

12、21222223(2)(2)(3)(3)3132333432333334(3)(3)414243444344000000KKKKkkKKKKkkkkKKKKKkkkkKKKKkk 把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码逐一送到总体刚度矩阵中相应的行和列的位置上面。逐一送到总体刚度矩阵中相应的行和列的位置上面。直接刚度法直接刚度法总体刚度矩阵性质：总体刚度矩阵性质：1）对称性）对称性2）奇异性）奇异性 对号入座时，具有相同下标的各单刚子块，在总刚对号入座时，具有相同下标的各单刚子块，在总刚中的同一位置叠加；没有单刚子块入座的位置为零中的同一位置叠

13、加；没有单刚子块入座的位置为零子块。子块。eiiiiKk1）总刚主子块）总刚主子块eimimKki,m相关结点相关结点零子块；零子块；i,m非相关结点非相关结点主子块主对角线上的子块；其余子块副子块。主子块主对角线上的子块；其余子块副子块。相交于同一个结点的所有杆件称为该结点的相关单相交于同一个结点的所有杆件称为该结点的相关单元；元；两个结点之间有杆件直接联结的称为相关结点。两个结点之间有杆件直接联结的称为相关结点。2）总刚副子块）总刚副子块12-5 支承条件的引入支承条件的引入(1)(1)111112(1)(1)(2)(2)2221222223(2)(2)(3)(3)3332333334(3

14、)(3)444344000000PkkPkkkkPkkkkPkk未知未知已知已知已知已知未知未知已知已知未知未知未知未知已知已知没有考虑支承条件，结构可以有任意刚体位移，总体没有考虑支承条件，结构可以有任意刚体位移，总体刚度矩阵奇异，逆阵不存在，不能求解结点位移。刚度矩阵奇异，逆阵不存在，不能求解结点位移。23,PP已知结点荷载；已知结点荷载；23,未知结点位移，待求；未知结点位移，待求；14,PP未知结点荷载（支座反力）；未知结点荷载（支座反力）；14,已知结点位移。已知结点位移。结点结点1,4为固定端，支承约束条件为为固定端，支承约束条件为1400 带入刚度方程得带入刚度方程得(1)(2)

15、(2)21222223(2)(2)(3)34323333PkkkPkkk或者或者PK这是引入支承条件的结构刚度方程，这是引入支承条件的结构刚度方程，P由已知结点荷由已知结点荷载构成；载构成；由未知结点位移构成。由未知结点位移构成。K为从总体刚度为从总体刚度矩阵中删除与已知为零的结点位移对应的行和列得矩阵中删除与已知为零的结点位移对应的行和列得到，称为结构刚度矩阵，到，称为结构刚度矩阵，缩减的总刚缩减的总刚 可以求出未知结点位移可以求出未知结点位移，进而求得支座反力，进而求得支座反力(1)212(3)344300PkPk引入支承条件，消除了结构的刚体位移，结构刚度引入支承条件，消除了结构的刚体位

16、移，结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可以求解。矩阵为非奇异矩阵，可以求解。结点位移求出，可以计算各单元内力。结点位移求出，可以计算各单元内力。eeeFk整体坐标系中杆端力整体坐标系中杆端力局部坐标系中杆端力局部坐标系中杆端力eeeeFTFTk12-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理 结构刚度方程中荷载向量为结点荷载向量，实际结结构刚度方程中荷载向量为结点荷载向量，实际结构常遇到非结点荷载，按静力等效原则处理。构常遇到非结点荷载，按静力等效原则处理。计算出结点位移和内力；计算出结点位移和内力；把把1）、）、2）两步内力叠加，即原来荷载作用下的内力）两步内力叠加，即原来荷载作用下的内力解答解答类似力矩

17、分配法类似力矩分配法步骤：步骤：1）施加附加链杆和刚臂阻止所有结点的线位移和角位）施加附加链杆和刚臂阻止所有结点的线位移和角位移；各单元产生固端力，附加链杆和刚臂上有附加反力移；各单元产生固端力，附加链杆和刚臂上有附加反力和反力矩（可由结点平衡算出）。和反力矩（可由结点平衡算出）。2）取消附加链杆和刚臂，即把附加反力和反力矩反号）取消附加链杆和刚臂，即把附加反力和反力矩反号后作为荷载施加到结点上，为等效结点荷载，带入结构后作为荷载施加到结点上，为等效结点荷载，带入结构刚度方程计算。刚度方程计算。单元单元(e)在非结点荷载作用下，在局部坐标系中的固在非结点荷载作用下，在局部坐标系中的固端力为端力

18、为eFieFieeFiFieFeeFjFjeFjeFjNQFMFFNQM在整体坐标系中的固端力在整体坐标系中的固端力为为eFieFieeFiFieTeFFeeFjFjeFjeFjXYFMFT FFXYM 把它们反号，成为等效结点荷载。对号入座，送到结把它们反号，成为等效结点荷载。对号入座，送到结点荷载列阵。任一结点点荷载列阵。任一结点i上的等效结点荷载上的等效结点荷载Pei为为eFieFieFiEiEiEiEiMYXMYXP结点结点i上的总的结点荷载等效结点荷载直接结点上的总的结点荷载等效结点荷载直接结点荷载荷载EiDiiPPPEDPPP各单元最后固端力固端力总的结点荷载产生的杆各单元最后固端

19、力固端力总的结点荷载产生的杆端力端力eeeFekFFeeeFeTkFF12-7 矩阵位移法的计算步骤矩阵位移法的计算步骤1）结点、单元编号，设定整体坐标系和局部坐）结点、单元编号，设定整体坐标系和局部坐标系标系2）计算各杆单元刚度矩阵）计算各杆单元刚度矩阵3）形成结构原始刚度矩阵）形成结构原始刚度矩阵4）计算固端力、等效结点荷载及综合结点荷载）计算固端力、等效结点荷载及综合结点荷载5）引入支承条件，修改结构刚度方程）引入支承条件，修改结构刚度方程6）解线形方程组，求出结点位移）解线形方程组，求出结点位移7）计算各单元杆端力）计算各单元杆端力12-8 几点说明几点说明n结点位移分量的编号结点位移

20、分量的编号iiiivu 第第i个结点位移在整体结点位移向个结点位移在整体结点位移向量总的位置为量总的位置为3i-2, 3i-1, 3i123323 13iii单刚子块对号入座形成总刚。单刚子块对号入座形成总刚。MATLAB语言可以这样做；语言可以这样做；FORTRAN语言需要语言需要对每个矩阵元素这样做。对每个矩阵元素这样做。每个单刚子块是每个单刚子块是33阶阶矩阵，矩阵，9个元素。个元素。每个结点有每个结点有3个位移分个位移分量量31241234567891011 12 32456789 4526783912134526783910114122. 总刚的带宽与存储方式总刚的带宽与存储方式结构

21、总刚度矩阵有许多零结构总刚度矩阵有许多零元素，大型结构的总刚矩元素，大型结构的总刚矩阵尤其明显。阵尤其明显。稀疏矩阵：稀疏矩阵：具有大量具有大量零元素的矩阵零元素的矩阵总刚中的非零元素通总刚中的非零元素通常集中在主对角线附常集中在主对角线附近的斜带形区域内，近的斜带形区域内，为为带状矩阵带状矩阵在带状矩阵中，每行从主对角线元素起到该行最外一个非在带状矩阵中，每行从主对角线元素起到该行最外一个非零元素止所包含的元素个数，称为该行的带宽。零元素止所包含的元素个数，称为该行的带宽。某行带宽该行结点位移分量号最小相关结点位移分量某行带宽该行结点位移分量号最小相关结点位移分量号号1所有各行带宽中的最大值

22、称为矩阵的最大带宽所有各行带宽中的最大值称为矩阵的最大带宽最大带宽相关结点位移分量号的最大差值最大带宽相关结点位移分量号的最大差值+1满阵存储：编程时，可以把总刚的全部元素存储在计算机满阵存储：编程时，可以把总刚的全部元素存储在计算机中起来中起来编程简单。编程简单。等带宽存储：只存储下半带（上半带）在最大带宽范围内等带宽存储：只存储下半带（上半带）在最大带宽范围内的元素的元素最大带宽愈大，存储量愈大。编程有些复杂。最大带宽愈大，存储量愈大。编程有些复杂。结点编号时，应该尽量使相关结点编号的最大差值为最小。结点编号时，应该尽量使相关结点编号的最大差值为最小。变带宽存储：对于对称带状矩阵，每行只存

23、储下半带在该变带宽存储：对于对称带状矩阵，每行只存储下半带在该行带宽内的元素。编程比较复杂。行带宽内的元素。编程比较复杂。3. 支承条件的引入支承条件的引入前面所述引入支承条件的办法，是删去零位移相前面所述引入支承条件的办法，是删去零位移相应的行和列，修改原始刚度矩阵。应的行和列，修改原始刚度矩阵。刚度矩阵的阶数降低，但总刚原来的行列编号也刚度矩阵的阶数降低，但总刚原来的行列编号也要改变，对于编程不便。要改变，对于编程不便。实际编程中，常采用实际编程中，常采用“乘大数法乘大数法”、“置大数法置大数法”和和“划零置一法划零置一法”来施加支承条件（边界条来施加支承条件（边界条件）件）a)置大数法置大数法11121111212222221212jnjnjjjjjnjjnnnjnnnnKKKKPKKKKPKKKKPKKKKP原始刚度方程原始刚度方程设结点位移分量设结点位移分量j等于已知值等于已知值Cj，将总刚中的主元素，将总刚中的主元素Kjj置换