华南理工大学材料力学-杆扭转杆件的强度和刚度计算

1、 乐考无忧，考研我有！第5章 扭转杆件的强度和刚度计算5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算5.3 非圆截面杆的自由扭转简介 乐考无忧，考研我有！5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算一、描述变形的指标二、薄壁圆筒的扭转三、等直圆杆扭转的应力返返 回回 乐考无忧，考研我有！*扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动的相对角位移。*剪应变（剪应变（）：直角的改变量一、描述变形的指标返返 回回 乐考无忧，考研我有！* 平面假设 横截面象刚性平面一样绕轴线转过一个角度。 乐考无忧，考研我有！薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）1、实验：、实验：*实验

2、前：实验前：绘绘纵向线，圆周线纵向线，圆周线二、薄壁圆筒的扭转返返 回回 乐考无忧，考研我有！*实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。*结论结论各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动绕轴线作了相对转动各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。 乐考无忧，考研我有！ acddxbdy 无正应力 横截面上各点，只产生垂直于半径的均布的剪应力 ，沿周向大小不变*微小矩形单元体微小矩形单元体： 乐考无忧，考研我有！

3、2、薄壁圆筒剪应力：、薄壁圆筒剪应力： A0：平均半径所作圆的面积。MnArA0dMnAtrrAr000 2d tAtrMMnn 2 2 0 乐考无忧，考研我有！3、剪应力互等定理剪应力互等定理acddxb dy tz0zmdxdytdxdyt 纯剪切应力状态纯剪切应力状态 乐考无忧，考研我有！4、剪切虎克定律：、剪切虎克定律： GMn= 乐考无忧，考研我有！ 剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料：)1 ( 2EG* 重要关系 乐考无忧，考研我有！三、等直圆杆扭转的应力1 1、实验观察：、实验观察：横截面仍为平面；横截面仍为平面；轴向无伸缩；轴向无伸缩

4、；纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。返返 回回 乐考无忧，考研我有！2、横截面上的应力：、横截面上的应力：1）. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的与到圆心的距离距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。 乐考无忧，考研我有！2）. 物理关系物理关系代入上式得： GxGxGGddddxGdd 虎克定律： 乐考无忧，考研我有！3）. 静力学关系静力学关系AIApd2令代入物理关系 得：xGdd AAnMdAxGAddd 2AxGAddd2xGI pnMdd OdAMnpnGIxM ddpnIM 乐考无忧，

5、考研我有！* 讨论： 仅适用各向同性、线弹性材料，小变形仅适用各向同性、线弹性材料，小变形 的圆截面等直杆。的圆截面等直杆。 Mn横截面上的扭矩，由横截面上的扭矩，由平衡方程求得。平衡方程求得。 该点到圆心的距离该点到圆心的距离Ip极惯性矩，纯几何量极惯性矩，纯几何量pnIM 乐考无忧，考研我有！ Ip的计算的计算AIApd2单位：单位：mm4，m4对于实心圆截面：DdOAIApd2202d2 D441 . 032 DD 乐考无忧，考研我有！对于空心圆截面：)1 (1 . 0)1 (32 )(32 d2 d4444442222DDdDAIDdAp)(DddDO 乐考无忧，考研我有！ 应力分布应

6、力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。MnM 乐考无忧，考研我有！ 确定最大剪应力确定最大剪应力max , 2dRWp 抗扭截面系数（抗扭截面模量） pnIM22maxdIIdpnpnMM2 dIppW令pnWMmaxmm3或 乐考无忧，考研我有！对于实心圆截面：对于空心圆截面：332 . 016DDRIWpp16)1 (43DRIWpp)-(12 . 043D 乐考无忧，考研我有！5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算5.2.1 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算5.2.3 圆轴扭转时斜截面上的应力圆

7、轴扭转时斜截面上的应力返返 回回 乐考无忧，考研我有！5.2.1 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：max( ：许用剪应力)*强度的三种计算：强度的三种计算： 校核强度： 设计截面： 求许可载荷：maxtnWMmaxmaxtnWMmaxMnpW ）（空：实：433116 16 DDWpmaxpnWM返返 回回 乐考无忧，考研我有！ 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴， =30M Pa, 试校核其强度。m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503解：作扭矩图，确定危 险截面此轴满足强度要求D3 =135

8、D2=75 D1=70ABCmmMnmxnNmBCnM2103tnWMmax1607. 01055. 133MP 乐考无忧，考研我有！，动轴，外径无缝钢管制成的汽车传mmD90,5 . 15 . 2maxKNmmmtM，壁厚，MPa60、校核强度) 1 (，并比较重量变，求、改为实心轴，强度不D)2(944. 09025 . 290Dd)1 (1614. 3944. 09043)1 (1643DWpmm329400WMpmaxmax910294001500（1） 乐考无忧，考研我有！（2）强度相同MPaMWp51max3116MD36105114. 3150016mm1 .53（3）比较重量A

9、AAAQQLL2121实空DdDDdD21222122)(4)(431. 乐考无忧，考研我有！5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算1、扭转时的变形、扭转时的变形由公式长为长为 l 的两截面间相对扭转角的两截面间相对扭转角 为pnGIxM ddlpnxGIM0d dpnGIlM（当M为常量时）返返 回回 乐考无忧，考研我有！2、单位长扭转角、单位长扭转角 (rad/m) dd pnGIMx /m)( 180 dd pnGIMx 3、刚度条件、刚度条件 (rad/m) maxpnGIM /m)( 180 maxpnGIM 乐考无忧，考研我有！4、刚度的三种计算、刚度的三种计算 校核刚度： 设计截面 求

10、许可载荷： max max GIMnp max pnGI M 乐考无忧，考研我有！ 传动轴，n = 500 r / min，输入N1 = 500 马力， 输出 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：作内力图 500400N1N3N2ACB Mnx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN 乐考无忧，考研我有！500400N1N3N2ACBxMn7.0244.21(kNm)16 31MnpdW 3116Mnd 36

11、107014. 3702416mm80 3216Mnd 36107014. 3421016mm4 .67* 由强度条件 乐考无忧，考研我有！500400N1N3N2ACBMn7.0244.21(kNm)* 由刚度条件 32 4 GdIMnp mm75 mm8521 d,dmm841108014. 3180702432 3249241 GdMn42 32GdMn 4921108014. 3180421032mm4 乐考无忧，考研我有！(2),全轴选同一直径时 mm851 ddMnx 4.21(kNm)2.814应换位。、轮越小越合理，21max),3(Mnmmd75max此时，轴的 乐考无忧，考

12、研我有！5.2.3 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。分析原因返返 回回 乐考无忧，考研我有！(a)M1. 点M的应力单元体(b) (c)(d) x2. 斜截面上的应力； 乐考无忧，考研我有！(d) xnt2cos ; 2sin 转角规定：0nF0)cossind()sincosd(dAAA0tF0)sinsind()coscosd(dAAA 乐考无忧，考研我有！2cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 0 45