可分离变量,齐次方程

1、一阶微分方程的初等解法第二章可分离变量微分方程 第2.1.1节xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22xxfyygd)(d)(设设 y (x) 是方程是方程的解的解, ( ( )( )d( )dgxxxf xx 两边积分两边积分, 得得 ( )dg yy ( )df xx ( )( )G yF xC 则有恒等式则有恒等式 ( )G y( )F x则有则有分离变量方程的解法分离变量方程的解法: :分离变量，两端积分分离变量法分离变量法例例1. 求微分方程求微分方程2d3dyx yx 的通解的通解.解

2、解: 分离变量得分离变量得2d3dyxxy 两边积分两边积分2d3dyxxy 得得31ln yxC 3lnlnyxC 即即31xCye 31,Cxe e 3xyC e 1,CCe 令令得得( C 为任意常数为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例2. 解初值问题解初值问题2d(1)d0 xy xxy 解解: 分离变量得分离变量得2dd1yxxyx 两边积分得两边积分得21lnlnln1yCx 即即21yxC由初始条件得由初始条件

3、得 C = 1,211yx ( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为(0)1y 例例3. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t) 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有d(0)dMMt 00tMM (初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量, dMM1ln|ln|,MtC 得得即即tMC e 利用初始条件利用初始条件, 得得0MC 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分然后积分:()d t 已知已知 t = 0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的

4、衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原kv R mg P kv R mg P 两两边边积积分分得得 mtkvmgvdd ， 可可得得 1|ln1Cmtkvmgk ， 整理得整理得 1e1ekCtmkkCCkmgv . . 0d,d|0.tvmmgkvtv 求下列方程的通解和要求的特解求下列方程的通解和要求的特解 :22(2)()d()d0;xx yxx yyy 提示提示:22dd11yxyxyx (2) 分离变量分离变量;xyye ( (1 1) )ddyxeyex xyeeC (1) 分离变量分离变量112222(1(1,(0)yCxC ）(0)C 例例4.4. 设曲

5、线设曲线 过点过点( )yf x 2 2 3 3( ,)P. .在曲线上任取在曲线上任取和曲线和曲线 围成的面积是另一条平行线与围成的面积是另一条平行线与y 轴轴( )yf x 和曲线和曲线 围成的面积的围成的面积的2 2倍，求曲线的方程倍，求曲线的方程. .( )yf x 1S2Sxyo)(xfy ),(yx一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴轴解解: :1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两

6、边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yxyxf 22)(3yyx 2分离变量，积分得分离变量，积分得,2cxy 29 c29.2yx可分离变量的方程可分离变量的方程可化为分离变量的类型 第2.1.2节 第十二章 ()dyyfdxx 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .一、齐次方程的解法()dyyfdxx ,xyu 作变量代换作变量代换,yxu 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu ( ).duf uudxx 即即可分离变量的方程可分离变量的方程分离变量，积分后再用分离变量，积分后再用代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.yx

7、()yuxu 例例1.1. 解微分方程解微分方程tan.yyyxx 解解:,yux 令令,yuxu代入原方程得代入原方程得tanuxuuu 分离变量，积分得分离变量，积分得cosddsinuxuux 得得ln sinlnln,uxC sinuC x 即即故原方程的通解为故原方程的通解为sinyC xx ( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 为任意常数为任意常数 )则则例例2.2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: 2d2,dyyyxxx,yux 令令则有则有22uxuuu 分离变量分离变量2dduxuux 积分得积分得1lnlnln

8、,uxCu 11dd1xuuux 即即代回原变量得通解代回原变量得通解即即(1)x uCu ()x yxC y (C 为任意常数为任意常数)方程变形为方程变形为例例2.2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: 2d2,dyyyxxx,yux 令令则有则有22uxuuu 分离变量分离变量2dduxuux 方程变形为方程变形为 原方程还有解：原方程还有解：0.y 注意到注意到0,1uu也是方程（也是方程（1）的解）的解.0u 由由得得0,y 它是原方程的解它是原方程的解.1u 由由得得,yx 它也是原方程的解它也是原方程的解; ()x yxC y 或令或令C=0. ()0 x

9、 yxC yy 1 1 求微分方程满足求微分方程满足(sin)sin0.yyxydxxdyxx(1sin )sin ()uuu uxu sin,dxudux 1cosln|,uxC cosln.yxCx微分方程的通解为微分方程的通解为解：解：方程变形为方程变形为(1sin)sin0.yyydxdyxxx ,yux 令令,yuxu则则2xy 的特解的特解.ln2C 2223dyyxydxxxy 22,31yyxxyx ,xyu 令令22,13uuuxuu 22.32dxdyxxyyxy 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,yuxu则则22,13uuxuu 22,13uuxuu 213,2udx

10、duuux 13,(2)udxduu ux 1151,222dxduduuux 115ln|ln|2|ln|ln|,22uuxC 5| +2|,xu uC 5|+2|.yyxCxx 例例3 3 设有连接点设有连接点O(0,0)O(0,0)和点和点A(1,1)A(1,1)的一段向上凸的曲的一段向上凸的曲线弧线弧 , 对于对于 上任意一点上任意一点 P(x,y) ，曲线弧，曲线弧OAOAOP与直线段与直线段 所围图形的面积为所围图形的面积为 ,求弧求弧 的方程的方程.OP2xOAxPyoxA1解：解：设弧设弧 的方程为的方程为OA( )yf x 则所围图形的面积为：则所围图形的面积为：01( )2

11、xSf t dtxy 201( )2xf t dtxyx 积分方程积分方程xPyoxA1解：解：设弧设弧 的方程为的方程为OA( )yf x ( )yf x ，则，则201( )2xf t dtxyx 11222yyxyx 4yxyx 两边求导两边求导齐次方程齐次方程4 ln|yxxCx 4 ln.yxxx 依题意得弧依题意得弧 的方程为：的方程为：OA方程的通解为方程的通解为求微分方程满足求微分方程满足2202 ( )( )( ).xy ttyt dtxy x 微分方程的通解为微分方程的通解为解：解：求导，得求导，得10 xy 的特解的特解.1C 222 ( )( )( )( )y xxyx

12、y xxyx 222yxyyxy221()yyyyxxx2212uuuxu21dudxxu 21ln|1| ln|ln|uuxC 21()yyCxxx ,xyu 令令例例6 6 探照灯反设镜面的形状探照灯反设镜面的形状. . 在制造探照灯的反射镜面时在制造探照灯的反射镜面时, ,总要求将点光源射出总要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状性，试求反射镜面的几何形状. .oyxTM光的反射定律光的反射定律:入射角入射角 = 反射角反射角可得可得 OMA = OAM = 解解: 设光源在坐标原点设光源在坐

13、标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 ( )yf x 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上任意点过曲线上任意点 M (x, y) 作切线作切线 M T,cotyx yxy 22OMxy取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO = OMAPOP而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : yxy 22.xy oyxTMAPy(齐次方程) 利用曲线的对称性利用曲线的对称性, 不妨设不妨设 y 0, 2d1dxxyy xy,xyv ,xuy 令令2d1duyuy dd.ddxuuyyy2ln(1)lnln,uuyC 积分得积分得2221yyuCC,y ux 代代入入

14、得得22()2CyC x (抛物线抛物线)故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面:于是方程化为于是方程化为(齐次方程) 222().2CyzC x 可化为分离变量的类型 第2.1.2节 第十二章 222111cybxacybxafy,(1,2)kkkabck 其其中中 222111cybxacybxafy 二二 . . 特殊齐次微分方程的解法特殊齐次微分方程的解法均为常数均为常数. . 222111cybxacybxafy 111222(1)abckabc （常数）（常数） 变形为变形为 yfk yfkxc （c为任意常数）为任意常数） 222111cybxacybxafy 111222

15、(2)abckabc（k 为常数）为常数） 变形为变形为221222()k a xb ycyfa xb yc 22,za xb y 令令22,dzdyabdxdx 则则1222.kzcdzab fdxzc 可分离变量方程可分离变量方程 222111cybxacybxafy 11122200a xb yca xb yc 00,xXxyYy 令令1122(3)abab 设设00(,)xy为直线为直线的交点的交点.则则1111122222a x b yca XbYa x b yca XbY2212(0)cc方程方程 便可如下转化成齐次方程：便可如下转化成齐次方程： dYYdXX即即1122a XbY

16、dYdyfdXdxa Xb Y1122YabXfYabX 222111cybxacybxafy 例例4. 求解求解d4d6yxyxxy 25.xy 解解:40 xy令令1,5 ,xXyY ddYXYXXY 得得再令再令 YX u , 得得令令60 xy1,5.xy 得得21dd.1uXuuX 积分得积分得arctanu212ln(1)uln.C X 5arctan1yx 215ln121yx ln(1)C x 25xy 利利用用得得 C = 1 , 故所求特解为故所求特解为5arctan1yx 221ln (1)(5).2xy 思考思考: 若方程改为若方程改为 d4,d6yxyxxy 如何求解如何求解? 提示提示:.vxy令令代回原变量代回原变量, 得原方程的通解得原方程的通解:例例5.5.33.235xyyxy 求求解解解解: : 由由 0532033yxyx2,3,xuyv 令令vuvududv323 (*)2,3.xy 得得323vdvuvduu 或或原方程可化为原方程可化为,vzu 再再令令dvdzzududu 于是方程于是方程 ( (* *) ) 进一步转化为进一步转化为, ,zzdudzuz323 分离变量分离变量: :ududzzzz )1(3322则则两边同时积分得两边同时积分得:221