复变函数的积分

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考0、内容与提要2学习要求与内容提要学习要求与内容提要教材及主要参考书：教材及主要参考书：复变函数复变函数复变函数复变函数. .积分变换积分变换目的与要求：掌握目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本定理与复合复变函数积分的概念、基本定理与复合闭路定理闭路定理 不定积分不定积分 柯西公式柯西公式 高阶导数高阶导数 调和函数调和函数教学内容与时间安排教学内容与时间安排7 7学时学时教学方法：讲授与提问结合教学方法：讲授与提问结合教学手段：

2、多媒体教学手段：多媒体PPTPPT软件软件作业：第作业：第100100页页 7-3)7-3)、7-6) 7-6) 、7-9)7-9)、8-1)8-1)、8-3)8-3)、8-5)8-5)、9-2)9-2)、9-4)9-4)、30-1)30-1)、30-2)30-2)。3重点与难点重点与难点重点：重点：难点：难点：1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算4内容提要内容提要有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原

3、函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数5复习复习 一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义: )( 个条件个条件在复平面内满足以下三在复平面内满足以下三当函数当函数zf;)( (1)在复平面内处处解析在复平面内处处解析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其其中中时时当当)sin(cosexp ,yiyezzx 记记为为的的指指数数函函数数此此函函数数称称为为复复变变数数6二、对数函数二、对数函数且且处处可导处处可导和其它各分

4、支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz .1)Ln(,1)(lnzzzz 7三、幂函数三、幂函数幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个分支个分支具有具有是多值函数是多值函数幂函数幂函数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,111n11()Lznnnnzzezn8

5、 ,) 1 ( (3)也是一个多值函数也是一个多值函数两种情况外两种情况外与与除去除去幂函数幂函数nnbzwb ., 是无穷多值的是无穷多值的为无理数或负数时为无理数或负数时当当b它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,.)(1 bbbzz9四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz ,2cos izizeez 我们定义余弦函数为我们定义余弦函数为 sin.2izizeezi正弦函数为复习结束复习结束10一、积

6、分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为11简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺

7、此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 除特殊声明外除特殊声明外, 正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.122.积分的定义积分的定义:, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设设分分点点为为个个弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲线线的的一

8、一条条光光滑滑的的有有向向曲曲线线终终点点为为内内起起点点为为为为区区域域内内定定义义在在区区域域设设函函数数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 13,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的的长长度度这这里里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无限增加且无限增加且当当 n , )( , , 记记为为的的积积分分沿沿曲曲线线函函数数那那么么称称这这极极限限值值为为一一

9、极极限限有有唯唯的的取取法法如如何何的的分分法法及及如如果果不不论论对对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 14关于定义的说明关于定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ),( )( , )2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 15二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件存在的条件.d)( , )(一一定定存存在在积积分分是是光光滑滑曲曲线线时时是是连连续

10、续函函数数而而如如果果 CzzfCzf证证 ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 16, 0)( ttz并并且且 , ),(),()( 内内处处处处连连续续在在如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 设设 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因因为为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 17knkkzf 1)( 所以所以 nkkkkkkkyix

11、viu1)(,(),( nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,18当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ),( , 下下式式两两端端极极限限存存在在的的取取法法如如何何点点的的分分法法任任何何不不论论对对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 19 : ddd )(相相乘乘后后求求积积分分得得到到与与

12、yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式202. 积分的计算法积分的计算法. d)( 积积分分来来计计算算函函数数的的线线可可以以通通过过两两个个二二元元实实变变 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf较详的推导2

13、1 ttztzfzzfCd)()(d)(则则光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.22例例1 解解 . 43 : ,d 的的直直线线段段从从原原点点到到点点计计算算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx , 3 4 (3 4 ) , Cz x iyt i ti t 在 上 ,d)43(dtiz

14、d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又又因因为为23 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关, 43 曲曲线线的的是是怎怎样样从从原原点点连连接接到到点点所所以以不不论论iC .2)43(d2izzC (- )y(x)0 ,1.xyyxyx24例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计

15、算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为( )= ( )( )=(01),z t x tiy t t itt ,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x25(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy 2( )( ) ( )= (01),z tx ti y tti tt ,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 2,(01)xt ytt 。26xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路

16、径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于于是是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 27例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆圆周周为为其其中中计计算算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2( z因因为为 20d)sin(cos4 ii. 0 28例例4 解解. , , ,d)(1 010为为整整数

17、数径径的的正正向向圆圆周周为为半半为为中中心心为为以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri29zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所所以以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .30三、积分的性质三、积分

18、的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线估值不等式估值不等式31性质性质(4)的证明的证明 , 1两两点点之之间间的的距距离离与与是是因因为为 kkkzzz , 度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)(

19、 nkkksf1)( 两端取极限得两端取极限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因为为 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所所以以证毕证毕32例例5解解. d1 , 43 绝对值的一个上界绝对值的一个上界试求积分试求积分的直线段的直线段为从原点到点为从原点到点设设 CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的参数方程为的参数方程为根据估值不等式知根据估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311 , 上上因因为为在在3322)14()3(1 tt2592542512 t,35 Czizd1 从从而而 Csd35325 .32

20、5d1 Cziz故故5 34四、小结与思考四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重本课中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.35思考题思考题?d)( )( 函数定积分是否一致函数定积分是否一致与一元与一元的积分定义式的积分定义式复函数复函数 Czzfzf36思考题答案思考题答案 , , 是实轴上区间是实轴上区间若若C,d)(d)( xxfzzfC则则,)(是实值的是实值的如果如果xf即

21、为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.d)( , , ,d)( )( ,C zzfzzfzf必必须须记记作作线线的的限限制制要要受受积积分分路路因因为为这这是是一一个个线线积积分分记记作作的的积积分分的的函函数数终终点点为为一一般般不不能能把把起起点点为为 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .37 设开区域设开区域G是一个单连通域，函数是一个单连通域，函数u(x,y),v(x,y)在在G内有一阶连续偏导数，则积分内有一阶连续偏导数，则积分 uvyxuvcdxdy在在G内与路径内与路径C无关的充要条件是：无关的充要条件是：在在G内恒成立。内恒成立。38000, 00343 ,

22、4 ,34(34 ) .zxiymxxnyyzizixmtt yntt zti ti t当点在直线上时，则。直线过点及点时，方程为 1. ( ),( ) () xx tyy tt 把平面上曲线方程写成参数形式：。2. , , ( )( )( ) ( ) () zxiyx yz tx tiy tzz tt 令代入即可得，即得曲线的复数形式：。0000 , , , xxm tyyntmnx y其中为直线的一组方向数，为直线上的一点。一、写出平面复数参数方程的步骤：一、写出平面复数参数方程的步骤：二、直线的参数方程：二、直线的参数方程：39()()uxvydtivxuydt()()uiv xviu

23、y dt ()( )( ) uiv xiy dtf z z dt4041第二节第二节 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理一、问题的提出二、基本定理三、典型例题四、小结与思考42一、问题的提出一、问题的提出观察上节例观察上节例1, , )( 在在复复平平面面内内处处处处解解析析被被积积函函数数zzf 此时积分与路线无关此时积分与路线无关. 观察上节例观察上节例4, ,1 0 0zzn 时时为为被被积积函函数数当当 , 0的的内内部部不不是是处处处处解解析析的的为为中中心心的的圆圆周周它它在在以以Cz cizzz. 02d1 0此时此时43观察教材例观察教材例3, ,)( iyxzzf 被积函数被积

24、函数由于不满足柯西黎曼方程由于不满足柯西黎曼方程, 故而在复平面内故而在复平面内处处不解析处处不解析. d 与与路路线线有有关关此此时时积积分分值值zzc . , 0域域但此区域已不是单连通但此区域已不是单连通的内部函数处处解析的内部函数处处解析的的虽然在除去虽然在除去Cz 由以上讨论可知由以上讨论可知, 积分是否与路线有关积分是否与路线有关, 可可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.44B二、基本定理二、基本定理柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的积积分分为为零零内内的的任任何何一一条条封封闭闭

25、曲曲线线沿沿那那末末函函数数内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数C定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.此定理也称为此定理也称为柯西积分定柯西积分定理理.柯西介绍柯西介绍古萨介绍古萨介绍45关于定理的说明关于定理的说明:(1) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界, )( 在在函函数数zf , 上解析上解析即在闭区域即在闭区域CBB , 上上解解析析内内与与CB czzf. 0d)( 那那末末(2) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界, )( 在在函函数数zf那那末末上上连连续续在在闭闭区区域域 , CBB , 内解析内解

26、析B定理仍成立定理仍成立.46三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内内解解析析在在函函数数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 1. 0d321zzz47例例2 2. ),1(0d)( 任意闭曲线任意闭曲线是是其中其中证明证明Cnzzcn 证证 , )1(为正整数时为正整数时当当n , )(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西古萨定理由柯西古萨定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(时时为为负负整整数数但但不不等等于于当当 n , )(平面上解析平面上解析的整个的整个在除点在除点zzn , :点点不不包包围围若若情情

27、况况一一 C48由柯西古萨定理由柯西古萨定理, ; 0d)( cnzz , :点点包包围围若若情情况况二二 C由上节例由上节例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(围围成成的的区区域域内内解解析析在在 Czn 第第73页页49例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解22111111,(1)12zz zzzzzizi , 21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因为为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz50 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izz

28、izi 221. i 51四、小结与思考四、小结与思考 通过本课学习通过本课学习, 重点掌握柯西古萨基本定重点掌握柯西古萨基本定理理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的积积分分为为零零内内的的任任何何一一条条封封闭闭曲曲线线沿沿那那末末函函数数内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数并注意定理成立的条件并注意定理成立的条件.52思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?53思考题答案思考题答案(1) 注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2) 注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用. . )( , 0d)(

29、内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)( :内内在在圆圆环环域域反反例例 zzzf . 11)( :2内内在在反反例例 zzzf放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .54Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料柯西资料 55GoursatBorn: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris,

30、 France古萨资料古萨资料56第三节第三节 基本定理的推广基本定理的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理复合闭路定理四、小结与思考57一、问题的提出一、问题的提出 2.d11 , zzz计算计算实例实例 , 1 2 在内的闭曲线在内的闭曲线是包含是包含因为因为 zz根据本章第一节例根据本章第一节例4可知可知, 1121 d2.1zziz 由此希望将基本定理推广到多连域中由此希望将基本定理推广到多连域中.58二、复合闭路定理二、复合闭路定理1. 闭路变形原理闭路变形原理 , )( 在在多多连连通通域域内内解解析析设设函函数数zf ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时针方

31、向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC. 11DDCC全全含含于于为为边边界界的的区区域域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作两两段段不不相相交交的的弧弧段段59DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符为为了了讨讨论论方方便便 . 均为封闭曲线均为封闭曲线 , D因为它们的内部全含于因为它们的内部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 60 AAEBAE

32、Bzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或61DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一条复合闭路成一条复合闭路看看及及闭曲线闭曲线如果我们把这两条简单如果我们把这两条简单CC : 的的正正方方向向为为 , 按逆时针进行按逆时针进行外面的闭曲线外面的闭曲线 C , 1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线 C ), , (的的左左手手边

33、边内内部部总总在在的的的的正正向向进进行行时时即即沿沿 . 0)( dzzf那那末末 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, , 不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值. .闭路变形原理闭路变形原理说明说明: : 在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .622. 复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在

34、是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC63DC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC 64三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲曲线线在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭为为包包含含圆圆周周计计算算积积分分 z

35、zzzz221-111 ( -1)-10 1,zz zzzz zzzzz因为函数在复平面内有两个奇点和依题意知依题意知, xyo 1 也也包包含含这这两两个个奇奇点点， 65, 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只只包包含含奇奇点点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 66例例2 2 . 1 2 ,d 所所组组成成向向圆圆周周和

36、和负负为为正正向向圆圆周周计计算算积积分分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上上处处处处解解析析在在此此圆圆环环域域和和其其边边界界函函数数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,. 0d zzez67例例3 3. , ,d)(1 1为为整整数数的的任任一一简简单单闭闭路路为为含含求求nazazn 解解 , 内内部部在在曲曲线线因因为为 a a , 故故可可取取很很小小的的正正数数 , : 1内内部部含含在在使使 az1 , )(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通

37、域在以在以 naz68由复合闭路定理由复合闭路定理,11111dd()()nnzzzaza a 1 ,20 ieaz令令111d()nzza 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 因为因为 不必是圆不必是圆, a也不必是也不必是圆的圆心圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲线在简单闭曲线 内即可内即可. 69例例4 4. , ,d)(121 00为为自自然然数数闭闭曲曲线线的的任任意意正正向向为为含含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nni

38、zazn , 0za 此此处处不不妨妨设设 . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin则则有有70四、小结与思考四、小结与思考 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn71思考题思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要要注意什么问题注意什么问题?72思考题答案思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主

39、要方法最主要方法.使用复合闭路定理时使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向要注意曲线的方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .73第四节 原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考74一、主要定理和定义一、主要定理和定义定理一定理一 . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数CzzfBzfC 由定理一可知由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, (如下页图如下页图)1. 两个主要定理两个主要定

40、理:75BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定76 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函数析函数内的一个解内的一个解必为必为那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理二定理二证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.B , 内内任任一一点点为为设设B

41、z z, KBz小圆小圆内的内的为中心作一含于为中心作一含于以以K77B zK , 内内在在充充分分小小使使取取Kzzz zz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)( 由于积分与路线无关由于积分与路线无关, , d)(00zzfzzz到到的积分路线可先取的积分路线可先取 , zzz 沿直线到沿直线到然后从然后从 0z ) d)( :(0路线相同路线相同的的这一段与这一段与注意注意 zzf , )( 的定义的定义由由zF78 )()( zFzzF于于是是,d)( zzzf zzzzf d)( 因因为为 zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF

42、 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz 79B zKzz 0z , )( 内内解解析析在在因因为为Bzf , )( 内连续内连续在在所以所以Bzf, 0, 0 故故 , 内内都都在在的的一一切切使使得得满满足足Kz , 时时即即 z,)()( zff总总有有由积分的估值性质由积分的估值性质,)()()( zfzzFzzF 80)()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d| )()(|1zffzzzz .1 zz, 0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于是于是).()( zfzF 即即 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的

43、对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕812. 原函数的定义原函数的定义:. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的的一一个个原原函函数数是是显显然然zffzFzz 原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf证证 , )( )( )( 的任何两个原函数的任何两个原函数是是和和设设zfzHzG82 )()()()( zHzGzHzG 那末那末0)()( zfzf .)

44、()( czHzG 于于是是) ( 为任意常数为任意常数c , )( )( zFBzf内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果如果那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, . )()(为为任任意意常常数数一一般般表表达达式式为为cczF 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕833. 不定积分的定义不定积分的定义: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 记记作作的的不不定定积积分分为为为为任任意意常常数数的的原原函函数数的的一一般般表表达达式式称称定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内内的的两两点点为为

45、域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )84证证 , )( d)( 0的的原原函函数数也也是是因因为为zfzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所所以以 , 0时时当当zz 根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所所以以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或证毕证毕说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就

46、可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.85二、典型例题二、典型例题例例1 1解解 . d 10的的值值求求 zzzz , 是解析函数是解析函数因为因为 z ,21 2z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 86例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)87例例3 3. dcos 0的值

47、的值求求 izzz解解 , cos 是解析函数是解析函数因为因为zz ,cossin zzz 它它的的一一个个原原函函数数是是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e88例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”89例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得 ,

48、)1( zzezze 的的一一个个原原函函数数为为 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 课堂练习课堂练习. dsin 10的值的值求求 zzz答案答案10d11sinsincos?.zz z 90例例5 5. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的的值值求求内内的的圆圆弧弧试试沿沿区区域域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在所设区域内解析在所设区域内解析函数函数 zz ,2)1(ln 2 z它它的的一一个个原原函函数数为为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82

49、ln2ln833222i 91例例6 6).cos1(),sin(:20 . d)182( 2 ayaxaCzzzC的摆线的摆线到到是连接是连接其中其中的值的值求求解解 , 182 2在在复复平平面面内内处处处处解解析析因因为为函函数数 zz所以积分与路线无关所以积分与路线无关, 根据牛根据牛莱公式莱公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 92三、小结与思考三、小结与思考 本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式. 在学习中应注意与在学习中应注意与高等数学高等

50、数学中相关内容中相关内容相结合相结合, 更好的理解本课内容更好的理解本课内容. d)()( 0 zzfzF )(d)(czFzzf )()(d )(0110zGzGzzfzz 93思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有何异同何异同?94思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.; , , , )( 0都都是是复复数数因因而而且且积积分分路路线线是是曲曲线线为为单单连连域域中中的的解解析析函函数数但但在在复复积积分分中中要要求求zzCzf.

51、, , , )( 都是实数都是实数数数上的连续实函上的连续实函为区间为区间在实积分中要求在实积分中要求xabaxf两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .95第五节 柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考96一、问题的提出一、问题的提出 . , 0中中一一点点为为为为一一单单连连通通域域设设BzB ,d)( 0 Czzzzf一一般般不不为为零零所所以以 .)( , )( 00不不解解析析在在那那末末内内解解析析在在如如果果zzzzfBzf 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线该积分

52、值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变, 求这个值求这个值. .0的的闭闭曲曲线线内内围围绕绕为为zBC97, , 00 zzzC的的正正向向圆圆周周半半径径为为很很小小的的为为中中心心取取作作以以积积分分曲曲线线 , )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)( d)(000缩缩小小将将接接近近于于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 98二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf

53、.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC证证 , )( 0连连续续在在因因为为zzf, 0 则则, 0)( 99D 0zCK , 0时时当当 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的的内内部部全全在在的的正正向向圆圆周周半半径径为为为为中中心心设设以以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()

54、()(2000100 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足够小足够小, 左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关, 所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍 Kzzzzfzfd)()(00101关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的

55、值表示值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是是圆圆周周如如果果0200001122( )()()d .iz zRf zf zf zR eizz 102三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 44.d3211)2(;d

56、sin21(1) zzzzzzzzi求下列积分求下列积分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位位于于 zz103 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西积分公式由柯西积分公式0sin221 zzii104例例2 2 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf , 2 1内内位位于于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 105例例3 3.d)1(1 212

57、 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 106例例解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圆周表示正向圆周设设 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, , 内内时时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以

58、所以107例例5 5;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中计计算算积积分分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 108例例5 5;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中计计算算积积分分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解109 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得例例5 5. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中计计算算积积分分解解 22d14sinzzzz 2112d

59、14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 110例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并并证证明明求求积积分分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 111 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0co

60、s e112课堂练习课堂练习.d)1( 32 zzzzze计计算算积积分分答案答案1, 1, 0 zzz有三个奇点有三个奇点21131221121 ddd(1)(1)(1)(1)(1) d(1)(1) (2).zzzzzzzzeeezzzz zz zzz zzezz zzi ee 113四、小结与思考四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表