角形三角形相似及全等

1、.三角形、三角形相似及全等一、三角形的边例1：3、4、x为三角形的三边，求x的取值范围。3、4、x为直角三角形的三边，求x的取值。3、4、x为等腰三角形的三边，求x的取值。例2：a、b、c为三角形的三边，它们存在如下关系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请问三角形为什么三角形？并说明理由。课堂练习1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，4 cm B8 cm，6cm，4cm C12 cm，5 cm，6 cm D2 cm，3 cm ，6 cm2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a，则（ ） Aa =8 Ba =4 Ca =4或8 D4a<83.等

2、腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（ ） A15cm B20cm C25 cm D20 cm或25 cm4已知a，b，c为ABC三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，则它的形状为（ ）A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形5若3，m，5为三角形三边，化简：二、三角形的角例1：三角形的三个角的比值为1：2：3，求三角形三个角的度数及三角形的三边比。例2：ABC中，A，B均为锐角，且有，则ABC是（ ）A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形C等腰（不等边）三角形 D等边三角形三、三角形的线（一）角平分线：过三角形的顶点引一条射线，把这个角

3、分成二等分，这条线就叫做三角形的角平分线。角平分线上的点到三角形的两边相等。例1：如图，OE是AOB的平分线，CDOB交OA于C，交OE于D，ACD=50o，则 CDE的度数是 课堂练习ABCDE1已知：如图，ABC中，BD平分ABC，且D为AC的中点，DEBC交AB于点E，若BC=4，则EB长为_.A CMBD2已知ABC中，B=C，D为BA延长线上的点，AM是CAD的平分线，求证：AMBC.（二）中线、高、垂直平分线（1）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高

4、（3）线段的垂直平分线：垂直并平分这条线段的线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。例2：如图，在ABC中，B22.5°，C60°，AB的垂直平分线交BC于点D，BD，AEBC于点E，求EC的长课堂练习1如图1，在ABC中，AC27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，ACE的周长为50，则BC= ADBEC 图1 图2 图32如图2，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点已知，则的度数为（ ）A B C D3如图3，在RtABC中，ACB90°BC3,AC4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（

5、）A B CD2（三）中位线例1：如右图，在ABC中，DE两点分别在BCAC边上若BD=CD，B=CDE，DE=2，则AB的长度是（ ） A4 B5 C6 D7 四、三角形相似（一）相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边例1：如图，在ABC中，DEBC,求证: ABCADE

6、.例2： 如图所示，在ABC中，AB=8cm，AC=10cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒2cm的速度向A点运动，设运动时间为x。当x为何值时，以A、B为顶点的三角形与APQ相似？（二）相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方例1：如图，RtABC中，ACB=90°，CDAB于D（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ；（2）若ABBC=91，则ADBD= 2如图，平行四边

7、形ABCD中，AEEB=12，若SAEF=6，则SCDF= 课堂练习1.如图1，在ABC中，DEBC，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= 图1 图2 图32如图2，ABC中，DEBD，ADDB=23，则SADESECB= 3如图3，平行四边形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分点，DP延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF=_4.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ） A B C D 5如图，CD是RtABC的斜边上的高线，BAC的平分线交BC，CD

8、于E，F求证：（1）ACFABE； （2）AC·AE= AF·AB6如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFE=C（1）求证：ABFEAD；（2）若AB=4，BAE=30°，求AE的长；（3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF的长7如图，在ABC中，AB>AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P求证：BPCP=BDCE8 如图，BD、BE分别是ABC与它的邻补角ABP的平分线，AEBE，ADBD，E、D为垂足 （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）若3

9、，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且3，求证：AHG是等腰三角形9如图所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQBC？（2）当，求的值；（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。10已知AOB=90°，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：(1)  将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点G

10、是CD与OP的交点，且PG=PD，求POD与PDG的面积之比.（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长. 五、全等三角形（一）全等三角形的判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角

11、边”或“SAS”（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”（二）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等（三）注意事项：（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等例1：如图，已知AB、CD相交于点O，ACBD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，求证：（1）AOCBOD（2）CEDF例2：（2010四川宜宾）如图，分别过点

12、CB作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为EF求证：BF=CE例3：(2009南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，交AG于F求证：DCBAEFG例4：已知：如图，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 求证： M B=MC课堂练习1.如图，CB=CD，ABC=ADC=90°，BAC=35°，则BCD的度数为（） A145° B130° C110° D70°图图图2.两个直角三角形全等的条件是（ ） A一锐角对应相等 B两锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等3.如图，点D、E、F分别为ABC三边的中点，且 SDEF=2，则ABC的面积为（ ）