医用物理学-第五章

1、医学物理学Medical Physics侯雪坤侯雪坤关于物理学概念和技术在医学上应用的一门学科第五章机械波学习要求:1. 掌握描述波动的基本物理量，能根据已知质点的简谐振动表达式建立平面简谐波的波函数，理解波函数的物理意义;2. 掌握波的相干条件，能运用相位差和波程差的概念确定相干波叠加后振幅的强弱条件。3. 理解波的能量和多普勒效应。4.了解驻波、声学的基本概念和超声波的特性及其医学应用。4 4按波面形状按波面形状平面波平面波（plane wave plane wave ）球面波球面波（spherical wave spherical wave ）柱面波柱面波（ cylindrical wa

2、ve cylindrical wave ）按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波（simple harmonic wave simple harmonic wave ）复波复波（ compound wave compound wave ）按持续时间按持续时间连续波连续波（continued wave continued wave ）脉冲波脉冲波（pulsating wave pulsating wave ）4. 4. 波的分类：波的分类：波动是振动的传播过程.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处v机械波的传播需要弹性介质;v电磁波的传播不需介质.2能量

3、传播2反射2折射2干涉2衍射两类波的共同特征物质波实物粒子运动时所对应的一种波.波源介质+弹性作用机械波一、机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.机械波：机械振动在弹性介质中的传播.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.二 横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部.1.波传播时介质中质元在各自平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。2 .“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动,某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-波是振动状态（相位）的传播。3 . 波动是

4、描写一系列质点集体运动。注意二.波线 波面 波前球 面 波平 面 波波前波面（同相面）波线振动相位相同的各点组成的曲面。某一时刻波动所达到最前面的各点所连成的曲面。三.波速 波长 波的周期和频率 波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。2OyAA-ux1.周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间。2.频率v：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.T1Tu3.波速u：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.注意周期、频率只取决于波源的振动!波速取决于介质的性质！简谐波：波源作简谐运动，波所传播到的介质中的

5、各点作同方向、同频率简谐振动，这种波称为简谐波。平面简谐波：波面为平面的简谐波.),(txyy 各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数.),(txy12.2.1 平面简谐波波函数O 的振动状态)cos(0tAyO点 Puxt P点t 时刻的位移O点 t-x/u时刻的位移以速度u 沿x 轴正向传播的平面简谐波 . ）（0costAyO0)(cosuxtAyP点P 振动方程时间推迟方法令原点O 的振动方程为 平面简谐波波函数例：在室温下，已知空气中的声速u1为340 m/s，水中的声速u2为145

6、0 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？m7 .1Hz200sm3401111um17. 0212um25. 7Hz200sm14501121um725. 0222u在水中的波长解：由 ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在u空气中的波长负向波一般形式 质点的振动速度，加速度)(sin0uxtAtyv)(cos0222uxtAtya12.2.3 波函数的物理意义)(cos0uxtAy1.若给定某点 P 的坐标xp ，距原点为 处质点振动的初相P点的波函数变为 P 点处质点的 2、当t=t0 一定时，波函数y=y(x)表示该时刻波线上不同质

7、点的位移分布情况.)(2cos0 xTtAy011)(2xTt022)(2xTtxxx221221波程差12xxxx2相位差yx波形图yxuOyxuO),(),(xxttxt)(2cosxTtAy)(2)(2xxTttxTtxTttux 3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.tx, t时刻tt时刻x 例2 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.)cm01. 0()2.50s(cos)cm5(-1-1xty解：方法一（比较系数法）. )(2cosxTtAy)cm201. 0()s22.50(2cos)cm5 (1 -1 -xty把题中波动方程改写成s8 . 0s5 . 22

8、Tcm20001. 0cm21scm250Tu比较得 例 如图一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程为 .s/m20utyA4cos10321）以 A 为坐标原点，写出波动方程m10 uTm1032As5 . 0T0)105 . 0(2cos1032xty)(2cosxTtAyuABCD5m9mxo8mx21052AB4cos1032tyB)105 . 0(2cos1032xty2）以 B 为坐标原点，写出波动方程uABCD5m9mxo8mtyA4cos1032B3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程uABCD5m9mxo8mtyA4cos1032点 C 的相位比点

9、 A 超前24cos1032ACtyC5134cos1032t点 D 的相位落后于点 A 594cos1032tm1024cos1032ADtyD4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差4 . 4102222CDDCxuABCD5m9mxo8mtyA4cos10326 . 110822BCCBxm10oytuabPm2 .0m04.02/0t = 0 时，o点处的质点位于平衡位置且向 y 轴负向运动 .波函数坐标原点的振动方程252cos04.0ty208.052cos04.0 xtyoy. oytuabPm2 .0m04.0P 点的振动方程Pxm4 .0208.04 .052cos04.0

10、ty252cos04. 0ty. a、b 振动方向如图所示。若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动形变最小形变最大时刻波形在波动中，各体积元产生不同程度的弹性形变，具有弹性势能各体积元以变化的振动速率 上下振动， 具有振动动能行波的能量22kd21d21dvvVmE)(cosuxtAy)(sinuvxtAty振动动能)(sind21d222kuxtVAE体积元的总机械能)(sindddd222pkuxtVAEEE讨 论1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是同相位的.tx,)(sind21d222puxtVAE振动势能。2）任一体

11、积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量，能量传播的速度等于波速。波动是能量传递的一种方式 .)(sindd222uxtVAE能量密度：单位体积介质中的波动能量.)(sindd222uxtAVEw平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.22021d1AtwTwT2. 波的强度uwdtSSwudtI单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能量. IudtSuuAI2221方向：波速的方向.例: 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.证:介质无吸收，单位时间内通过两个球面的平均能量相等.1s2s1r2r1221rrAA)(cos00urtrrAy2222

12、221221421421ruAruA即式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.r0rr 0A 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.惠更斯原理(1690年）一、 惠更斯原理（3）利用惠更斯原理可以解释波的衍射、反射、折射现象。球 面 波平 面 波O1R2Rtu讨 论（1）惠更斯原理适用于任何波动过程。（2）已知某时刻的波面，利用惠更斯原理可求解下一时刻的波面，从而确定波的传播方向。二、波的叠加原理几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.在相遇区域

13、内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和. 波的衍射 水波通过狭缝后的衍射波的衍射:波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.（4）不涉及次波的振幅、相位等分布，因此只能对衍射现象作定性讨论。二、 波的干涉水波的干涉实验A 水 槽B 弹簧片C 固定夹D 小 球满足相干条件的波称相干波； 其波源称相干波源。 相干条件:振动频率相同振动方向平行相位相同或相位差恒定 两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象. S1、S2振动方程分别为)cos(1011tAy)cos(2022tAy1s2sP*1r2

14、r1r21ty)11cos(Apr)22222cos(tAyp在P点引起的振动方程分别为：cos2212221AAAAA12122rr 其中合振动的振动方程为P点的两个分振动)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp)cos(tApppyyy21:合振动振幅； :合振动初相A讨 论1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点形成一种稳定的分布，即形成稳定的干涉图样.cos2212221AAAAA12122rr ,2,1 ,02kk,2, 1 ,0)12(kk21maxAAA振动始终加强 干涉相长 21minAAA振动始终减弱 干涉相消2 )当常量3 )若212则讨 论cos22

15、12221AAAAA12122rr 当k2当) 12(k干涉相消干涉相长波程差令12rr 当两相干波源初相相同时，凡是波程差为零或为波长整数倍的各质点振幅始终最大，干涉相长；而波程差为半波长奇数倍的各质点振幅始终最小，干涉相消。（ = 0,1,2, )时（ = 0,1,2, )时 例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.解15m20mABPm25m201522BPm10. 0m10010u 设 A 的相位较 B 超前，则 .BA2011 .

16、 0152522APBPAB点P 合振幅21AAA=0 静止不动驻波的产生 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.五. 驻波驻 波的形成)(2cos1xtAy正向)(2cos2xtAy负向CCCCCCCDDDDDD振幅与位置有关txA2cos2cos212.6.2 驻波方程(波函数）)(2cos1xtAy正向)(2cos2xtAy负向21yyy各质点都在作同频率的简谐运动)(2cos)(2cosxtAxtAtxAy2cos2cos2 驻波方程 讨论,2, 1 ,02kkx, 2 , 1 , 0)21(2kkxx2cos10 x波腹波

17、节AAkk2, 1 , 02max 1）振幅 随 x 而异， 与时间无关.xA2cos202 , 1 , 0221min Akk相邻波腹（节）间距为 2.2 , 1,2nnL驻波条件：驻 波2）每一时刻驻波都有确定的波形，此波形既不左移，也不右移，没有振动状态和相位的传播，故称为驻波。3）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反.（与行波不同，无相位的传播）.x2cos,44,0 xtxAy2cos2cos2)2cos(2cos2txAy,434, 0 xx2cosxyo224x为波节例4) 相位跃变（半波损失） 当波从波疏介质入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节。 入射波

18、与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失。 当波从波密介质入射到波疏介质，入射波与反射波在此处的相位相同，即反射波在分界处不产生相位跃变。55例例. .一平面简谐波沿着一平面简谐波沿着x x轴正向传播，速度为轴正向传播，速度为u u，已知，已知t t时刻的时刻的波形曲线如图所示，波形曲线如图所示，x x1 1处质元位移为处质元位移为0 0。试求：。试求：（1 1）原点）原点O O处质元的振动方程；处质元的振动方程；（2 2）该简谐波的波函数。）该简谐波的波函数。xyOx1-Au解：（解：（1 1）由图可知）由图可知t t时刻原点处

19、质元振动的相位为时刻原点处质元振动的相位为- -/2/2，则有：，则有：2t 122uttx 则振动的初相为：则振动的初相为：所以振动方程可以写出：所以振动方程可以写出：11cos()cos()2OuuyAtAttxx56cos2212221AAAAA2202111012202110112cos2cos2sin2sinrArArArAtg1210202rr n212 n21AAA21AAA式中相位加强减弱 ( n = 0 1 2) 相位差tAycoscos22121IIIII5758例、等幅反向传播的两相干波，在例、等幅反向传播的两相干波，在x x轴上传播，波长为轴上传播，波长为8m8m，A

20、A、B B两点相距两点相距20m20m，如图所示。若正向传播的波在，如图所示。若正向传播的波在A A处为波峰时，反处为波峰时，反向传播的波在向传播的波在B B处位相为处位相为- -/2/2。试求。试求A A、B B之间因干涉而静止的之间因干涉而静止的各点的位置。各点的位置。AB20mOx解、如图所示，以解、如图所示，以A A点为坐标原点，建立坐标系。点为坐标原点，建立坐标系。设正向传播的波的波动方程为：设正向传播的波的波动方程为：111cos2 ()cos2 ()8txtxyAATT则反向传播的波的波动方程为：则反向传播的波的波动方程为：222cos2 ()cos2 ()8txtxyAATT另

21、设另设t=0t=0时，正向传播的波在时，正向传播的波在A A点为波峰，反向传播的波在点为波峰，反向传播的波在B B点的点的位相为位相为- -/2/2，则有，当，则有，当t=0t=0，x=0 x=0时：时：591yA1cosAA10即：即：所以：所以：当当t=0t=0，x=20mx=20m时，反向传播的位相为：时，反向传播的位相为：22402 ()882txT 所以：所以：2112 于是，正向传播的波的波动方程为：于是，正向传播的波的波动方程为：1cos2 ()8txyAT60反向传播的波的波动方程为：反向传播的波的波动方程为：211cos2 ()82txyAT1211cos2 ()cos2 (

22、)88211112 cos(2)cos(2)844txtxyyyAATTxtAT11cos(2)084x合成波的方程为：合成波的方程为：所以静止点的位置就是合成驻波的波节位置：所以静止点的位置就是合成驻波的波节位置：即：即：112(0, 1, 2,.)842xkk解得：解得：413,(0, 1, 2,.)xkk 在在AB=20mAB=20m之间，则之间，则k k的取值为：的取值为：413,(3, 2, 1,0,1)xkk 61例、例、A A和和B B是两个相位相同的波源，相距是两个相位相同的波源，相距d=0.10md=0.10m，同时以，同时以30Hz30Hz的的频率发出波动，波速为频率发出波

23、动，波速为0.50m/s0.50m/s，P P点位于与点位于与ABAB呈呈3030度角，与度角，与A A相相距为距为4m 4m 处，如图所示，求两波通过处，如图所示，求两波通过P P点的相位差。点的相位差。ABP30。解：该波的波长为：解：该波的波长为：0.5013060um2PAPA2( )( )( )PAPAAtttPA设设A A、B B两个波源的相位分别为两个波源的相位分别为A A(t)(t)，B B(t)(t)。A A波在波在P P点的相位落后于点的相位落后于A A点，相位差点，相位差为：为：因而此波在因而此波在P P点的相位为：点的相位为：同理，同理，B B波在波在P P的相位为：的

24、相位为：2( )( )PBttPB62因此两波通过因此两波通过P P点，在点，在P P点的相位差为：点的相位差为：22( )( )( )( )2( )( )()PPBABAtttPBtPAttPBPA( )( )BAtt2()PBPA 根据题意，两个波源的相位相同，所以根据题意，两个波源的相位相同，所以则则P P点相位差为：点相位差为：其中其中22.222cos30340.1240.1023.914PBPAABPA ABm 所以，两波在所以，两波在P P点的相位差为：点的相位差为：22()(3.9144)10.4 ()160PBPArad 63例、如图所示，地面上一波源例、如图所示，地面上一波

25、源S S，与一高频率探测器，与一高频率探测器D D之间的距之间的距离为离为d d，从，从S S直接发出的波与从直接发出的波与从S S发出经高度为发出经高度为H H的水平层反射后的水平层反射后的波，在的波，在D D处加强。当水平层逐渐升高处加强。当水平层逐渐升高h h距离时，在距离时，在D D处没有测到处没有测到讯号，如果不考虑大气对波能量吸收，试求波源讯号，如果不考虑大气对波能量吸收，试求波源S S发出波的波长发出波的波长。解：自解：自S S发出的波，经过高度为发出的波，经过高度为H H的水平层反的水平层反射后至射后至D D，全程设为，全程设为d d1 1，经高度为（，经高度为（H+h)H+h

26、)的水的水平层至平层至D D，全程设为，全程设为d d2 2。直达波与经过高度为。直达波与经过高度为H H的水平层反射的波在的水平层反射的波在D D处同相。处同相。由于在由于在B B，C C处反射的情况是相同的，所以处反射的情况是相同的，所以两次测量不会由于反射引起不同的效果，两次测量不会由于反射引起不同的效果，所以可以假设在所以可以假设在B B、C C处反射时都有半波损处反射时都有半波损失，根据题意：失，根据题意：dhHSDBC1(1)2ddk直达波与经过高度为（直达波与经过高度为（H+hH+h）的水平层反射的波在）的水平层反射的波在D D处反相，则处反相，则2(21)(2)222ddkk64由（由（1 1）、（）、（2 2）式可以得到：）式可以得到：212()dd222()( )(3)22ddHh221( )(4)22ddH由图中几何关系可以看出：由图中几何关系可以看出：另外：另外：从（从（3 3）、（）、（4 4）解出）解出d d1 1和和d d2 2，从而可以得到波长的表达式：，从而可以得到波长的表达式：222222224 ()( )( ) 222 4()4d