镜像法与电轴法

1、镜像法和电轴法镜像法和电轴法电工基础教研室 金钊哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学工程电磁场导论工程电磁场导论2022-3-16电工基础教研室金钊2基本思想：将基本思想：将待求场区域边界上的感应电荷分布待求场区域边界上的感应电荷分布用一些该用一些该区域外区域外，而且能保证，而且能保证边界条件不变边界条件不变的集的集中虚设电荷来代替，用这些中虚设电荷来代替，用这些虚设电荷虚设电荷（镜像电荷）（镜像电荷）与原电荷共同计算场分布。此法的正确性由与原电荷共同计算场分布。此法的正确性由唯一唯一性性定理来保证。定理来保证。求解区域的三个不变求解区域的三个不变电荷分布电荷分布不变不变介质分布介质分布不变不变微分方

2、程微分方程不变不变边界条件边界条件不变不变解唯一解唯一2 即即 不变不变一、镜像法一、镜像法2022-3-16电工基础教研室金钊3一、镜像法一、镜像法例例1. 自由空间，点电荷对无限大接地导体平面自由空间，点电荷对无限大接地导体平面。zq(0,0, )d( , , )P x y zI00zI0r2I0除点除点 外外(0,0, )d2II0II00zII0r区域区域I ：(0)z 区域区域II ：(0)z 2022-3-16电工基础教研室金钊4一、镜像法一、镜像法例例1. 自由空间，点电荷对无限大接地导体平面自由空间，点电荷对无限大接地导体平面。zq(0,0, )d( , , )P x y zq

3、 (0,0,)d1R2RI01021144qqRR22212222()( + )RxyzdRxyz d由边界条件不变确定由边界条件不变确定qI00Zqq 2022-3-16电工基础教研室金钊5一、镜像法一、镜像法zq(0,0, )d( , , )P x y zI222222001144()( + )qqxyzdxyz d例例1. 自由空间，点电荷对无限大接地导体平面自由空间，点电荷对无限大接地导体平面。思考：导体表面的电荷分布思考：导体表面的电荷分布密度密度?I00zn I00zz 222 3/22 ()qdxyd2022-3-16电工基础教研室金钊6一、镜像法一、镜像法q(0,0, )d(

4、, , )P x y z例例2. 自由空间，接地导体球与点电荷自由空间，接地导体球与点电荷。zoa球外球外(r a)：I0r aI0r2I0除点除点 外外(0,0, )d2II0II0r aII0r球内球内(r a)：2022-3-16电工基础教研室金钊7一、镜像法一、镜像法q(0,0, )d( , , )P x y z例例2. 自由空间，接地导体球与点电荷自由空间，接地导体球与点电荷。zoaq(0,0, )b1r2r由边界条件不变确定由边界条件不变确定 和和qbI01021144r aqqrr2212222cos2cosradadrababI0r a2/( /)badqa d q 2022-

5、3-16电工基础教研室金钊8121212nn一、镜像法一、镜像法例例3. 点电荷对无限大介质分界面点电荷对无限大介质分界面。q(0,0, )d10r22020r210除点除点 外外(0,0, )d12z分界面分界面 上：上：0z 区域区域I ：(0)z 区域区域II ：(0)z o2022-3-16电工基础教研室金钊9一、镜像法一、镜像法例例3. 点电荷对无限大介质分界面点电荷对无限大介质分界面。q(0,0, )d12zo( , , )P x y zq(0,0,)d11r2r111121144qqrr22212222()()rxyzdrxyzd2022-3-16电工基础教研室金钊10一、镜像法

6、一、镜像法例例3. 点电荷对无限大介质分界面点电荷对无限大介质分界面。q2zoq(0,0, )d12( , , )P x y z3r22314qr2223()rxyzd2022-3-16电工基础教研室金钊11一、镜像法一、镜像法例例3. 点电荷对无限大介质分界面点电荷对无限大介质分界面。111121144qqrr22212222()()rxyzdrxyzd22314qr2223()rxyzd1212120znn12122122qqqq 2022-3-16电工基础教研室金钊12二、电轴法二、电轴法2022-3-16电工基础教研室金钊13二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场xyo

7、(,0,0)b( ,0,0)b( , , )P x y z212022-3-16电工基础教研室金钊14二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场22222010()lnln22()xbyxby讨论两传输线电场的分布：等位线和电力线讨论两传输线电场的分布：等位线和电力线k等位线：等位线：ddyxEEEyx 电力线：电力线：2022-3-16电工基础教研室金钊15二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场k等位线：等位线：0221ekk22222()()xbykxby22222212()()11kbkxbykk2022-3-16电工基础教研室金钊16二、电轴法二、电轴法1.

8、 两传输线的电场两传输线的电场令：令：2221121khbkbkak222()xhyaxyo2022-3-16电工基础教研室金钊17二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场一个重要关系：一个重要关系：222abhxyoaaabbhh电轴法分析基础2022-3-16电工基础教研室金钊18二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场E 电力线：电力线：222222202 ()42()()xyb yxb ebxyeExbyxby222d2dddyxEEyxyyxxyxb2022-3-16电工基础教研室金钊19二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场E 电力线：电

9、力线：2222()24mmxybxyo2022-3-16电工基础教研室金钊20二、电轴法二、电轴法1. 两传输线的电场两传输线的电场场图场图2022-3-16电工基础教研室金钊21基本思想：用虚设的集中线电荷来代替导体柱面基本思想：用虚设的集中线电荷来代替导体柱面上的感应电荷对场的贡献上的感应电荷对场的贡献。原则：维持求解区域的三个不变。原则：维持求解区域的三个不变。电荷分布电荷分布不变不变介质分布介质分布不变不变微分方程微分方程不变不变边界条件边界条件不变不变解唯一解唯一二、电轴法（镜像法特例）二、电轴法（镜像法特例）2022-3-16电工基础教研室金钊22二、电轴法二、电轴法2. 电轴法电

10、轴法xyodd例例4. 自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况。0R0R导体圆柱外部导体圆柱外部0dlln C 圆柱面20导体圆柱表面导体圆柱表面2022-3-16电工基础教研室金钊23二、电轴法二、电轴法2. 电轴法电轴法xyodd例例4. 自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况。0R0Rbb222abh2220Rbd0Rbd2022-3-16电工基础教研室金钊24二、电轴法二、电轴法2. 电轴法电轴法xyo1h2h例例5. 自由空间，不同半径的平行导体圆柱的情况自由空间，不同半径的平行导体圆柱的情况。1R2Rbb222abh22211Rbhd22222Rbh12hhd2022-3-16电工基础教研室金钊25镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的实质实质是用虚设的镜像电荷（电是用虚设的镜像电荷（电轴）替代边界未知电荷的分布，使计算场域为无限大轴）替代边界未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；均匀介质； 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的原则原则是电荷分布不变，介质分是电荷分布不变，介质分布不变，边界条件不变；布不变，边界条件不变；镜像法（电轴法）的镜像