《几何学》题库及答案

1、几何学题库及答案第7页共12页填空题);1 .若| a + b |=| a- b | ,则矢量a , b应满足的条件为（2 .两矢量a , 6夹角为 ，则cos =（）；3 .平面x 2y 5z 3 0的法式化方程为（）；4 .通过点M （1,-5, 3）且与x, v, z轴分别成600,450,1200的直线方程为（ ）；2225 .方程一x y z 1, （ABC 0） ABC当 （）时，方程表示双叶双曲面；6. 一直线上有三点 A, B,巳 满足AP= PB （-1）。O是空间一点，则 OP用OA, OB线性表示为（）；7. a =2 , -2 , -1,则 a =（）。8.连接两点 A

2、(3,10,-5),B(0,12,b)的线段平行于平面 7x+4y-z+1=0，则b=（9.两直线 x xi-一江 -刍（i=1,2 ）异面的充要条件为（）。XiYiZi2210 .写出双曲抛物面 与 I 2z的一族直母线方程（）。a b11 .二次曲线渐近方向满足的条件为（）。12.设二次曲线的方程为x f 1 (x,y)+y f 2 (x,y)+ f 3 (x, y) 0 ,则共轲于非渐近方向X:Y的直径方程为13 . 矢量2,-1,-2的单位矢量为（）。14 .在标架O; i，j，k下，（i j，j k，k i）=（）。2215 .方程x y 1在空间中表示的图形是（）。2y 2pz16

3、 .抛物线x 0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为（）。17 .二次曲线中心（x。，乂）满足的条件是（）。18.平面 1: Ax+By+Cz+D=01直线 l : x°?于平行的充要条件是（219.单叶双曲面当a2 z b22。1的腰椭圆方程为（ c20 .空间不共线三点Ai（xi, y i, zi） （ i =1,2,3）.则这三点决定的平面方程是21 .在空间右手坐标系下，点（1, -1 , 1）在第（）圭卜限。22 .写出三种直纹面的名称 （）。23 .两种双曲面分别是（）。24 .两种抛物面分别是（）。证明题1 .用矢量法证明平行四边形的对角线互相平分。2 .用矢量法证明三角

4、形的余弦定理。22xy2723.由椭球面 ab2自1c 的中心（即原点），沿某一方向到曲面上一点的距离是r ,设给定方向的方向余弦分别为, , ，试证:2222. 2 2abc 。4 .试证点M （xo，yo，zo）到平面Ax By Cz D 0间的距离为,|Ax° By。 Czo D| d '.A2 B2 C25 .设直线与三坐标平面的交角为，试证：222ccos cos cos 2。6.用向量证明半圆上的圆周角是直角。7.证明：经过坐标轴的平移、旋转，二次曲线方程的次数仍然是二次的。三.计算题1.设一平面与平面x+3y+2z=0平行，与三坐标平面围成的四面体体积为6,求平

5、面方程2.给定二次曲线 x2 6xy 7y2 6x 2y 1 0 ,求:(1)渐近线(2)主直径;(3)化简，并画出简图。23.试求单叶双曲面X162z 1与平面x-2z+3=0的交线对xoy平面的射影柱面方程。 54.试确定值，使直线3x y 2z 6 0与轴相交。x 4y z 15 05.给定二次曲线 5x2 12xy 22x 12y 19 0 ,求：(1)渐近线(2)主直径(3)化简，并画出简图。22，、， x y z ， ，一，,一、， 、一6.设柱面的准线为 x y z，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。x 2z7.求通过M1(0,0,1),M2(3,0,0)并且与坐标平面

6、Oxy的夹角为的平面方程。3228.给定二次曲线 x 3xy y 10x 10y 21 0,求:(1) 渐近线；(2) 主直径；(3) 化简，并画出简图。x 2yz 9 09 . l ,m为何值时，直线y在xOy平面内。3x ly z m 010 .设OA=1,1,1 ,OB=1,-2, 3 , 求以OA和OB为邻边的平行四边形的面积。22x y 2z 1 011 .通过直线x 2y z 2 0与平面x y z 1 0垂直的平面方程。12.求通过x轴，且与椭圆柱面 程+上=1的交线是圆的平面方程。4113 .求以三点A 1,1,1 , B 2,0,1 , C 1,0,2为顶点的三角形的面积。1

7、4 .求通过点P 0,4, 3 , P2 1, 2,6两点，而且平行于x轴的平面的方程。15.求通过点M 1,1,1 ,而且与两条直线I x_yz1i :, l123都相交的直线的方程。216.求通过x轴，而且与椭圆柱面 2y- 1的交线是圆的平面方程。17.化简二次曲线方程x4xy 4y2 12x y 1 0,并画出草图。几何学作业参考答案填空题a b|a|b|3.x302y.305z,300;4.7.10.13.16.19.5. BA6. opOA1OB.-18;9.x2XXX1y2y1Yi丫2Z2ZZZ12u11.(X,Y)12. XF1(x, y)YF2(x, y)0。0;u(- b)

8、x214. 2;15.圆柱面;y22pz ；17F1(x0,y。)F2 (x0, y0)18 . AXBYCZ 0且 AxoByo Czo2 x2 ay2匕1 b2020.2i.2429.xXiyyiz ziX2X3IV.XiXiy2y3椭圆抛物面;二.证明题i.证明2.3.4.yiyiZ2z3ZiZi22.柱面，锥面,双曲抛物面；25. 20 ;2;30.3; 3i.4切线曲面。23.单叶双曲面；双叶双曲面:在平行四边形ABCM,26.BOBO /AOBA BC；DODOBOi)同理O为AC中点。证明：在三角形中, 即 a2 b2 c22bc cos A o证明：定方向的方向余弦分别为的交点

9、坐标为(r ,r ,ri 3,i, 5 ; 27.,35；32. X2 z2DA DCBCn , W, VI, vrn ； 28.(-i,-2,3);即有BA解得a2 (bBCBAom(BC BA)i ,即O为bd中点,22c) b2bccos则定方向和椭球面),将此代入椭球面方程中得:2,2ab0,(a,b)，证明：过M作平面的垂线,垂足为Q (x, y, z),所以 MQX0Ay。z0 一 =mCX0mAy0mB而Q点在平面上，所以有z0mCA ( x0 mA)+B (y0mB ) +C ( z0 mC) +D=0 ,2 X-2 a2 y b2A,B,C第5页共i2页Ax。 By。 Czo

10、 DA B2 C2d |MQ| （x x。）2 （y y。）2 （z z。）2二 |m| A2 B2 C2|Ax。 By。 Cz。 D | -Oi A2 B2 C25.证明：设直线的方向为 l,m,n,坐标平面xoy与直线的交角为，则22nsin 222 ，1 m n2 i 2同理 sin2-2马2 , sin 2 刀22 ，l m nl m n所以 cos2 cos2 cos2206.证明：如图AC AO OC OB OC CB OB OCAC CB OB OC OB OC'2 - 2 2 2 = OB OC r r G 所以AC Cb .7.证明：设二次曲线的方程为aiix2 2a

11、i2xy a22y2 2ax 2a23y a33。经过平移变换x x xGy y y。曲线的方程变为 22aiix2ai2xy a22y2日仪。，丫。 252（*。，丫。）丫 53仪。，丫。） 。可以看出，二次项的系数没有改变，因此，方程还是二次的 经过转轴第21页共12页设曲线的方程变为a11x可知因为2 a12x ya11ai2a22x cosy sinx siny cos2 a22 y2a11 cos1 .八 a11 -sin 22一 一 2a11 sin2 cos 1sin2 22 sin2a. 2a23ya12 sin 2ai2 cos2a12 sin 2sin 2cos2sin22

12、 sin 1sin2 22 coaa330_2a22 sin1 .八 a22 - sin 222a22 cos=1所以，当a11,a12,a22不全为零时，a11,a12,a22也不全为零.因此，曲线的次数不改变8.证明：sin 21 cos22 cos. .2_ 2- 2 1(2)(3)得z2 4所以，曲线在球面S1x24上.（2）可以写成y 1 cos2，则2(2)2(y 1)2 1所以，曲线又在圆柱面S2:x2 (y1)21上.z24 cos24(1一 2 sin4sin24 22 sin24 2 (1cos2 ) 42y所以，曲线又在抛物柱面 S3:z24 2 y 上.三.计算题1.设

13、平面方程为x+3y+2z+D=0在x, y, z轴上截距分别为D, , D321 Q 1体积 V=_ | D3| 二6。 得 D= 666所以方程为x+3y+2z 6=0。22.二次曲线x2 6xy 7 y 6x 2y 1 0的渐近万向为 X: Y=1: 1或(-7):131 x 3y 0;中心坐标为(，)，所以渐近线为x y 1 0 ; x 7y 5 0 .两条主直径分别是22_ . 223x y 5 0。化简得 4x y 3 0。 222xyz13 .解：柱面的方向为0, 0, 1,准线为 16 7 5 11645x 2z 3 0解得柱面方程为(x 12)22602 y131。5。4 .解

14、：设与z轴交点坐标为（0, 0, a）,代入直线方程得5 .解：（1）渐近方向为0 ： 1和-12 ： 5,中心为（1,1）,渐近线为x 1; 5x 12y 17 0.（2）主直径为3x2y 5 0; 2x 3y 10.6.柱面的准线为故准线所在的平面为x=2z,母线的方向为1 , 0,-2得柱面的方程为:x 2z4x222一 一一25y z 4xz 20x 10z 0。7.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则与oxy坐标平面的交角有C一A2 * 41cos32M 1（0,0,1）,M 2 （3,0,0）的坐标代入平面方程得:C+D=0 3A+D=0 。三式联立求解得 A: B: C:

15、D=1: ( $26):1 : (-1 )372, 2无),平面方程为x V26 y z 1 0。8. （1）渐近方向为 X: Y=1: 1或5: 1,中心坐标为（渐近线为 x y 5J2 0 5x y 17yp2 0。(2)主直径为xy ,2 0x 5y 74r2 0。(3)化简结果为(3.13)x2(3 03)y2 10 0。9. l 6,m27.10. V38111.由平面束的方程得:入=。所以，所求平面万程为3x-3z+4=0.212. Z=± J3 y.13.解：AB 1, 1,0,AC0,1,1AB AC1, 1,1 - 三角形的面积=1 AB2l14.解：设所求平面方程

16、是By把P1,P2的坐标代人上式得ACCz1，32D 04B3C2B 6C D 0由以上两式得B : C : D 3:2:(-6)故所求平面方程是3x 2y 6 015.解：由于点M的坐标满足12的方程，所以M在上因此，M与1i决定的平面上通过M1i不平行的直线均为所求设所求直线方程为则X,Y,Z应该满足X :Y :Z 1:2:3X 2Y Z 0X:Y:Z 1:2:316.解：由对称性知，所求圆的圆心在坐标原点，半径是3.设所求平面的方程是zky2x则圆的方程为 yz2y4 ky该圆又可以看成是球面2_ 2 .z 3与z ky的交线，即kyk29ky32,亦即1(2),一，r 1比较(1),(

17、2)得系数得-41 k295 一 一一 、一解得k-2一,所以，所求平面方程是 z,55 y17.解：由公式ctg2a22a11 /曰得：2a121 tg22tgctg2由此得到tgtg 2sin这样，转轴公式为1 , x (x51 _y (2x5代入原方程得化简得tgcos2y )5x 2 . 5x5.5y八】J-即x , 5y 05作移轴.5x x 5y y代入的曲线的标准方程是x 5y18.解：AB 1, 3,2 , AC 2,0, 8.AB AC 24, 12, 6所以，三角形的面积是 S 14242 122 623X;212AB,1222. 14所以，AB边上的高6 21143, 619. 解：设所求的平面