38函数的极值

1、3.8函数的极值第一课时：函数的极值(一)教学目标(1)知识目标：1 .极大、小值的定义和判断别方法2 .极值的慨念.3 .求可导函数f(x)的极值的步骤能力目标：1 .理解极大值、极小值的慨念 .2 .能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值3 .掌握求可异函数的极值的步骤 .(3)德育目标：1 .加深学生对局部与整体之间的理解 .2 .培养学生数形结合的数学思想 .3 .培养学生自己归纳、总结的能力.教学重点难点1 .教学重点：极大、极小值的概念与判别方法，以及求可导函数的极值的步骤2 .教学难点：对极大、极小值概念的理解，可以结合图像进行说明.并且要说明函数的极值就是函数在某一点处

2、的小区间而言的.从图像观察得出判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 .教学方法：建构主义观点下的高中数学教学实践.让学生通过观察图像，得到极大值、极小值的定义，并让他们比较与最大、 最小值的区别，让学生自己观察图像， 得到判别极大、 极小值的方法，并通过例 1,自己归纳、总结解题的步骤 教学过程:【概念引入】观察右图可以看出，函数在X 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大， 我们说f (0)是函数的一个极大值;函数在x 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值【新知探索】1 .极大值与极小值的定义：设函数f (x)在x X0及其附近有定

3、义，如果 f(X0 )的值比X0附近所有各点的函数值大，我们说f (X0 )是函数f (x)的一个极大值；如果f (X0)的值比X0附近所有各点的函数值小，我们说f(X0)是函数f(X)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值对定义的理解，要注意以下几点：由定义，极值是一个局部概念， 是某个点的函数值与它附近点的函数值相比较是大的或小的，并不意味着它在整个定义域内最大或最小.极值不是唯一的，一个函数在某区间上的极大、 值可以不止一个；并且极大值与极小值之间无确定大小关 系，一个函数的极大值未必大于极小值 .如右图所示, 极大值点，X4是

4、极小值点，而f(X4) f(Xi).函数的极值点一定在区间内部，区间的端点不能成为极值点2 .由上图可知，在函数的极值点X0处，曲线如果有切线，则切线是水平的，于是有3f(X0) 0 .但反之不然，比如函数 y X在X 0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近点的函数值大，也不比它附近点的函数值小减，即f (X) 0 .则X0是f(X)的极大值点.同理，如上右图所示，X0的左侧附近f(X)单调减，即f (x) 0; X0的右侧附近f(X)单调增，即f (x) 0.则X0是f(X)的极小值点从而我们得出结论.：若X0满足f (x0) 0,且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是 f

5、 (X)的极值点；如果 f (x)在xo两侧满足“左正右负”，则xo是f (x)的极大值点；如果f (x)在xo两侧满足“左负右正”，则xo是f(x)的极小值点.注意：若xo满足f (xo) 0 , “在xo的两侧f(x)的导数异号”是“xo是f (x)的极值点”2. I的充分条件，不一定必要.比如函数f(x) x(sinx)(x 0)在x o处取得极大2(x o)值，但f (x) cos- 2x(2 sin1)(x o)在以x o为心的任意小区间内，都时升时降 . xx函数在极值点处是连续的.【典例精讲】1 3例1.求函数y -x3 4x 4的极值. 3解：yx24,令 y o ,即x24o

6、 .解得：x12 ,x22.当x变化时，y与y的变化情况如下表.x(,2)2(2,2)2(2,)yooy极大值238极小值43234. .当x 2时，有极大值，且ymax;当x 2时，有极小值，且ymin.83例2.求函数y (x2 1)3 1的极值.解：y (x21)31,令 y o,即x24 o.解得：x12 ,x22.o.当x变化时，y与y的变化情况如下表.x(,1)1(1,o)o(o,1)1(1,)yoooy无极值极小值o无极值当x o时，有极小值，且 ymina例3.求函数y x ( a 0)的极值. xa .29斛：y 1 f ,令 y 0 ,即 x a 0 .解得：x14a, x

7、2 Va .x当x变化时，y与y的变化情况如下表.x(,病(va,0)(0,va)ia(V,)y00y极大值 2百极小值2 ja当x市时，有极大值，且ymax2而；当x 3时，有极小值，且ymin 2庭.【巩固练习】1 .求下列函数的极值2 一 八_23_23(1) y x 7x 6 ; (2) y 2x 5x ; (3) y x 27x; (4) y 3x x .【总结提炼】1求极值常按如下步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程y 0的根，这些根也称为可能极值点； 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.(最好通过列表法)【布置作业】1 .求下列函数的极值223_ 2(1) yx4x 1

8、0；y2x4x 7 ；(3)y x 3x1；3.3-224(4) y612x x ；(5)y4x3x 6x；(6)y 2x x【板书设计】课题：函数的极值(一)函数极值的定义求极值的步骤：例1.例2.例3.小结与作业【课后小计】第二课时：函数的极值(二)教学目标( 1)知识目标：1 .极大、极小值的定义和判别方法；2.极值的概念；3.求可导函数f (x) 的极值的方法.( 2)能力目标：熟练掌握可求导函数的极值的步骤，并灵活应用.( 3)德育目标：2 .培养学生的应用能力.3 .培养学生的推理能力.教学重点难点1 .教学重点：极大、极小值的判别方法，可求导函数的极值的步骤.2 .教学难点：求可

9、导函数的极值.教学方法：讲练结合，以练为主.通过学习对求可导函数的极值的训练，熟练掌握解题的步骤 .教学过程：【复习回顾】【师】我们上节课学习了函数的极值，如何判别f (x0) 是极大值还是极小值？【生】当函数f(x)在点X0处连续时，判别f(Xo)是极大值或极小值的方法是：( 1 ) 如果在x0 附近的左侧f ( x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，那么f (x0 ) 是极大值.(2) 如果在X0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(Xo)是极小值.【师】那么求可导函数f (x) 的极值步骤呢？【生】求可导函数f (x) 的极值的步骤是：确定函数的定义区间，求导数f (X);

10、求方程f (x) 0 的根；用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f (x)在方程根左右的值符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负， 那么 f (x) 在这个根处无极值【师】回答得很好.看来同学们已基本上掌握了，我们这节课还是再来看一些有关极值的题目，巩固一下.【例题讲解】例1.已知二次函数f(x)满足：在x 1时有极值；图像过点(0, 3),且在该点处的切线与直线2x y 0平行.(1)求f(x)的解析式.(2)求函数g(x) f(x2)的单调递增.

11、【师生共析】先求出f (x) 的表达式，用待定系数法求.分析：设f (x)ax2 bxc(a 0) .由题意有f (1)0, f(0)2, f (0)3 .从而求出f (x) ，再由复合函数的导数法则求出g (x) 的导数 .【生】解：( 1)设f (x) ax2 bx c,( a 0)由条件知f (1) 0, f (0)2, f (0)3 .2a b 0f (x) 2ax b. b 2,a 1, ，f (x)x2 2x 3.c3(3) g(x) f(x2)x42x23,g (x) 4x3 4x4x(x2 1).令 g (x) 0得 x10, x2 1,x31 .当 x 1 时， g (x)

12、0；当 0 x 1 时， g (x) 0；当 1 x 1 时， g (x) 0 ；当 x 1 时， g (x) 0 .g(x)的单调递增区间是(-1 , 0)和(1,).【师】 过程较为详细、规范，我们平时在解题过程中要养成好的习惯，要规范，这是考高得 分的秘密武器 .例2. (1)对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的()A .充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件(2)下列函数中x 0是极值点的函数是()221A.yxB. y cos xC. y tanx x D. y -x(3)下列说法正确的是()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大；B.函数

13、在闭区间上的最大值一定是极大值；C.对于 f(x) x3 px2 2x 1,若 p J6,则 f(x)无极值；D.函数f (x)在区间(a,b)上一定存在极大值.解：(1)答案：充分条件.有极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件，有极大值点的定义，任意x xc f (x) f(x0),但左侧未必递增；同样 x xc f (x) f(x0),但右侧未必递减，所以x0两侧的导数不一定异号.(板书) (2)【师】做这道题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗?【生】不需要，因为它只要判断x 0点两侧的导数是否异号可以了【生】yx3, - y ( x3)3x2,当x 0或x 0时，y 0. x 0

14、不是极值点.(板书)2,2【生】 y cos x , , y (cos x) 2cos x( sin x) sin 2x,当 x 0时， sin 2x 0, y 0 , 当 x 0 时，sin 2x 0, y 0 ,x 0是y cos2 x的极大值点.(板书)1,【生】y tanx x, y (tanx x) 21 ,cos x当x 0或x 0时，0 cos2 x 1 , y 0, . . x 0不是极值点.(板书)【生】y , y()工，当x 0或x 0时，y 0,，x 0不是极值点.(板书)x x x(3)分析：答案C.其它由学生举反例.一处具有极值，求a的值. 31 .一 例 3. (1

15、)函数 f (x) asin x -sin3x在 x 3(2)函数 f (x)aln x bx2x在x 1和x 2处具有极值，求a、b的值.解：(1) f (x) a cosx cos3x. f (-) 0,. acos cos(3 ) 0, a 2.aa(2)f(x) 2bx 1. f (1) 0,且 f(2) 0, a 2b 1 0, 4b 1 0,x2-21解得a2,b1.364231 31例4.设f (x) 8x 16bx cx ,当x 和x -时都取得极值，且(一，一)是f (x)的424 2一个单调区间，求证：当 x 0时，f(x) 0.331.3.1斛：f (x)32x32bx c , . x一和 x- 是极值点，f(-)0 ,f(-)0.42423 331 31即 32( -)3 32b( -) c 0,且 32( -)3 32b( -) c 0,联立解得195b 一 , c 15.代入f(x) 0,求得另一个根为 x .16431531 5列表讨论可知：f(x)在(-,-),(-,)是增函数，在(，工)，(3，7)是减函数.当 x 0时，f(x) 0.例5.求函数yx2 ln x的极值.解：y 2xln x x ,令 y0,即 2xln x x 0 ,解得 x11 ,e.、一 1. 一.当0 x 7时，y 0,当x0.1，当x 7 时，函