123导数的四则运算法则

1、日照实验高中2007级数学导学案-导数1.2.3导数的四则运算法则教师备课学习笔记学习目标：1 .理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数.2 .理解两函数的积(或商)的导数法则，会求一些函数的导数.3 .会求一些简单复合函数的导数 .学习重点难点：导数的四则运算自主学习：一、知识再现1 .导数的定义：设函数 y= f(x)在x = x0处附近有定义，如果 Axt 0时,忸与Ax的比 处(也叫函数的平均变化率) 有极限即 曳 无限趋近于某个xx常数，我们把这个极限值叫做函数y = f (x)在xt x0处的导数，记作，即 f/（x。）= lxm0f（xox） - f （x。）2 .

2、导数的几何意义：是曲线 y = f (x)上点(x。，f (x。)处的切线的斜率. 因此，如果y = f(x)在点x。可导，则曲线y=f(x)在点(x,f(x。)处 的切线方程为 y-f(x。)= f/(xoXx-x。).3 .导函数(导数)：如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个 xw (a,b),都对应着一个确定的导数f1x),从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f/(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数二、新课探究：法则1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即(u 士v) = u士v.证明：令 y =

3、f (x) = u(x) 土v(x), :y =u(x :=x)二v(x :=x) 一u(x) ;v(x)= u(x + &x) -u(x) 士v(x + Ax) -v(x) = &u &v ,yUN.：y=u：v：u .：v-=士 ,lim =lim i = lim lim xxxx-0；：xx0xx口0x；x-，0. x即 u(x)v(x) =u(x)v(x).法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv)=uv + uvu v -uv法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母 的导数与分子的积，再除以分母的

4、平方，即(v = 0)说明：(uv)#uv, (uv)u+v；(Cu)=Cu Cu = 0 Cu = Cu两个可导函数的和、差、积、商一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导复合函数的导数 复合函数y=f (g(x)的导数和函数y = f (u)和u =g(x)的导数间的关系为 v； =yu即y对x的导数等于yu的导数与u对x的导数的乘积.若 y = f (g(x)则 y= f (g(x)= f (g(x)(x)三、例题解析：例 1 求 y =2x3 -3x2 +5x -4 的导数.解：y = 3x2 -6x 5 .例 2 求 y =(2x2 +3)(3x-2)的导数.解：y = (2x

5、2 3)(3x -2) (2x2 3)(3x-2)-4x(3x 2) (2x2 3) 3 =18x2 -8x 92例3.求y=的导数.sin xx2 , (x2) sinx - x2(sin x) 2xsin x - x2 cosx解：y =( ) = -L2-1口 =2sin x(sin x)sin xx 3例4.求y=-在点x=3处的导致.x2 322解：y=(x 3) (x2 3) -(x 3)( x2 3)2_ 2(x 3)3 - 2x(x 3)22(x 3)2-x2 -6x 322(x 3), y|x=3 =2-32 -6 3 3-24一 2 一 2(33)144例 5.求 y =

6、sin4x + cos 4x 的导数.解法一:y = sin 4x + cos 4x= (sin2x + cos2x)2 2sin2cos2x=sin22 x2. 1=14解法二：11 - cos 4 x) = + cos 4 x. v = sin 4 x.44V, =(sin4x) +(cos4x)= 4 sin3 x(sin x) +4 cos 3x(cos x) = 42x cos2x) = 2 sin 2 xsin 3 x cos x + 4 cos3 x ( sin x)= 4 sin x cos x (sin cos 2 x= sin 4 x例6.函数y = cos2x在点(-,0)处的切线方程是 4A. 4x+2y =0B. 4x2y+nC. 4x-2y -n =0D. 4x+2yn课堂巩固：1.函数y=x2cosx的导数为(A.C.y =2xcosx x2sinx，2y =x cosx 2xsi nxB. y =2xcosx+x2si nxD. y =xcosx x2si nx1.求2.求1 xy=的导数3 - x1 -x2y=