概率论第二章第三节

1、广东工业大学广东工业大学2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 2.3.1 全概率公式全概率公式2.3.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 广东工业大学广东工业大学2.3.1 全概率公式全概率公式定理定理7 设设 满足下面条件满足下面条件nBBB,21则对任一事件则对任一事件,有有 nkkkBAPBPAP1)|()()()|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 即即0)( kBP), 2 , 1(nk 且且称称 构成一构成一个完备事件组个完备事件组nBBB,21(或划分或划分), jiBBnjiji, 2 , 1,; (1) nBBB21(2)全概率公式全概率公式广东工业大

2、学广东工业大学全概率公式的文氏图解释：全概率公式的文氏图解释：1B2B3B4B5B1AB2AB3AB4AB5ABAnABABABA 21)()()()(21nABPABPABPAP 即即从而有从而有 将事件将事件A分解分解为若干个互不为若干个互不相容的较简单相容的较简单事件之和。事件之和。)|()()|()()|()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBP 广东工业大学广东工业大学全概率公式的推广全概率公式的推广:推论推论1 设设 满足下面条件满足下面条件nBBB,21则对任一事件则对任一事件,有有 nkkkBAPBPAP1)|()()()|()()|()()|()()(2211nnBAP

3、BPBAPBPBAPBPAP 即即0)( kBP), 2 , 1(nk 且且, jiBBnjiji, 2 , 1,; (1)nBBBA 21(2)证明：证明：在在定理定理7的证明的证明过程中，注意到过程中，注意到)(21nBBBAA 即得所以结论。即得所以结论。 nBBB21(2)定理定理7 广东工业大学广东工业大学全概率公式的推广全概率公式的推广:推论推论2 设设 满足下面条件满足下面条件,21BB则对任一事件则对任一事件,有有 1)|()()(kkkBAPBPAP )|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP即即0)( kBP), 2 , 1( k且且, jiBB, 2 , 1

4、,; jiji(1) nBBB21(2)定理定理7中，把有限个事件中，把有限个事件 推广到无限多个，推广到无限多个，nBBB,21结论仍成立：结论仍成立：广东工业大学广东工业大学例例1 袋中有大小相同的袋中有大小相同的a个黄球个黄球,b个白球个白球.现做不放回的摸球两现做不放回的摸球两次次,求第求第2次摸得黄球的概率次摸得黄球的概率?解：解：“第第1次摸到黄球次摸到黄球”, 1B“第第1次摸到白球次摸到白球” 2B设设则显然有则显然有,21 BB 21BB记记 A=“第第2次摸到黄球次摸到黄球”，有有)(AP)()(21ABPABP )|()()|()(2211BAPBPBAPBP baa 1

5、 ba1 abab a1 babaa 黄黄 球球白白 球球个个 数数第一次后第一次后aba - 1bab - 1广东工业大学广东工业大学例例2 盒中放有盒中放有12个乒乓球个乒乓球,其中其中9个是新的个是新的,3个是旧的个是旧的.第一次比第一次比赛时赛时,从中任意地取出从中任意地取出3个来用个来用,用毕仍放回盒子中用毕仍放回盒子中(新球用后成了新球用后成了旧球旧球),第二次比赛时再从盒中取出第二次比赛时再从盒中取出3个球来用个球来用,求第二次取出的求第二次取出的3个球均为新球的概率个球均为新球的概率?解解: 第二次取球时第二次取球时,盒中有几个新球未知盒中有几个新球未知,这是与第一次取球的这是

6、与第一次取球的A=“第二次取出第二次取出3球全是新球球全是新球” kB“第一次取出第一次取出3球中有球中有 k 个新球个新球”,3 , 2 , 1 , 0 k按全概率公式按全概率公式,有有:)|()()|()()(1100BAPBPBAPBPAP )|()()|()(3322BAPBPBAPBP 各种可能结果有关各种可能结果有关,可设可设广东工业大学广东工业大学)|()()|()()|()()|()()(33221100BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP 例例2 盒中放有盒中放有12个乒乓球个乒乓球,其中其中9个是新的个是新的,3个是旧的个是旧的.第一次比第一次比赛时赛时,从中任意地

7、取出从中任意地取出3个来用个来用,用毕仍放回盒子中用毕仍放回盒子中(新球用后成了新球用后成了旧球旧球),第二次比赛时再从盒中取出第二次比赛时再从盒中取出3个球来用个球来用,求第二次取出的求第二次取出的3个球均为新球的概率个球均为新球的概率? 33 312 312 23 19 13 312 29 312 312 312 312 38 39 37 39 312 361458. 0 新新 球球旧旧 球球第一次摸球后第一次摸球后第一次摸球前第一次摸球前93第一次摸的球第一次摸的球0393128421750366广东工业大学广东工业大学例例3 某工厂有四条流水线生产同一产品某工厂有四条流水线生产同一产品

8、, 已知这四条流水线的已知这四条流水线的产量分别占到总产量产量分别占到总产量15%,20%,30%和和35%,又知这四条流水线又知这四条流水线的次品率依次为的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及及0.02.现从该工厂的这一产品现从该工厂的这一产品中任取一件中任取一件,问取到次品的概率是多少问取到次品的概率是多少?解解: 设设A=“任取一产品任取一产品,结果为次品结果为次品”,“任取一产品任取一产品,结果是第结果是第 k 条流水线的产品条流水线的产品”, kB4 , 3 , 2 , 1 k由已知条件由已知条件,可得可得15. 0)(1 BP20. 0)(2 BP30. 0)(3 BP35

9、. 0)(4 BP05. 0)|(1 BAP03. 0)|(3 BAP04. 0)|(2 BAP02. 0)|(4 BAP于是于是,由全概率公式由全概率公式,有有广东工业大学广东工业大学例例3 某工厂有四条流水线生产同一产品某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的已知这四条流水线的产量分别点到总产量产量分别点到总产量15%,20%,30%和和35%,又知这四条流水线又知这四条流水线的次品率依次为的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及及0.02.现从该工厂的这一产品现从该工厂的这一产品中任取一件中任取一件,问取到次品的概率是多少问取到次品的概率是多少?解解: 设设A=“任取一

10、产品任取一产品,结果为次品结果为次品”,“任取一产品任取一产品,结果是第结果是第 k 条流水线的产品条流水线的产品”, kB4 , 3 , 2 , 1 k由已知条件由已知条件,可得可得15. 0)(1 BP20. 0)(2 BP30. 0)(3 BP35. 0)(4 BP05. 0)|(1 BAP03. 0)|(3 BAP04. 0)|(2 BAP02. 0)|(4 BAP于是于是,由全概率公式由全概率公式,有有 41)|()()(kkkBAPBPAP05. 015. 0 04. 020. 0 03. 030. 0 02. 035. 0 0315. 0 广东工业大学广东工业大学定理定理8 设设

11、 满足下面条件满足下面条件nBBB,21则对任一具有正概率的事件则对任一具有正概率的事件,有有0)( kBP), 2 , 1(nk 且且, jiBBnjiji, 2 , 1,; (1) nBBB21(2)贝叶斯公式贝叶斯公式2.3.2 2.3.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(广东工业大学广东工业大学定理定理8 设设 满足下面条件满足下面条件nBBB,21则对任一具有正概率的事件则对任一具有正概率的事件,有有0)( kBP), 2 , 1(nk 且且, jiBBnjiji, 2 , 1,; (1) nBBB21(2)贝叶斯公式贝叶斯公

12、式2.3.2 2.3.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(证明证明: 由条件概率的定义由条件概率的定义,有有)()()|(APABPABPkk 上式分子应用乘法公式上式分子应用乘法公式:即得所要结论即得所要结论.)|()()(kkkBAPBPABP分母利用全概率公式分母利用全概率公式, niiiBAPBPAP1)|()()(广东工业大学广东工业大学 niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|( 从推导上看从推导上看,这个公式平淡无奇这个公式平淡无奇,其之所以著名其之所以著名,主要在于主要在于它的现实解释上它的现实

13、解释上: 概率概率 是在没有进一步是在没有进一步信息信息(不知事件不知事件 A 是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对各事件人们对各事件 发生可能性大小的认识发生可能性大小的认识,现在有了新的信息现在有了新的信息(已知已知A发生发生),人们人们对事件对事件 发生可能性理应有新的估价发生可能性理应有新的估价.)(,),(),(21nBPBPBP)(,),(),(21nBPBPBPnBBB,21 这种情况在日常生活中也屡见不鲜这种情况在日常生活中也屡见不鲜:原以为不大可能的事原以为不大可能的事,可以因为发生了某种事件而变得可能可以因为发生了某种事件而变得可能,或者相反或者相反.而贝叶斯公而贝

14、叶斯公式则从数量上刻画了这种变化式则从数量上刻画了这种变化.广东工业大学广东工业大学例例3(续续) 某工厂有四条流水线生产同一产品某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线已知这四条流水线的产量分别点到总产量的产量分别点到总产量15%,20%,30%和和35%,又知这四条流水又知这四条流水线的产品不合格率依次为线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及及0.02.现从该工厂的现从该工厂的这一产品中任取一件这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少问取到不合格品的概率是多少? 若厂部规定若厂部规定, 出了不合格的产品要追究有关流水线的责任出了不合格的产品要追究有关流水线的责任

15、. 现在在出厂的该产品中任取一件现在在出厂的该产品中任取一件,检查出为不合格品检查出为不合格品,但该产品但该产品系哪一条流水线生产的标志已看不清楚系哪一条流水线生产的标志已看不清楚, 问厂方应怎样处理这问厂方应怎样处理这条不合格品的责任较为合理条不合格品的责任较为合理?解解: 设设A=“任取一产品任取一产品,结果为次品结果为次品”,“任取一产品任取一产品,结果是第结果是第 k 条流水线的产品条流水线的产品”, kB4 , 3 , 2 , 1 k由已知条件由已知条件,可得可得15. 0)(1 BP20. 0)(2 BP30. 0)(3 BP35. 0)(4 BP05. 0)|(1 BAP03.

16、0)|(3 BAP04. 0)|(2 BAP02. 0)|(4 BAP由全概率公式求得由全概率公式求得0315. 0)( AP广东工业大学广东工业大学解解: 设设A=“任取一产品任取一产品,结果为次品结果为次品”,“任取一产品任取一产品,结果是第结果是第 k 条流水线的产品条流水线的产品”, kB4 , 3 , 2 , 1 k由已知条件由已知条件,可得可得15. 0)(1 BP20. 0)(2 BP30. 0)(3 BP35. 0)(4 BP05. 0)|(1 BAP03. 0)|(3 BAP04. 0)|(2 BAP02. 0)|(4 BAP由全概率公式求得由全概率公式求得0315. 0)(

17、 AP于是于是,由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )|(1ABP0315. 005. 015. 0 2381. 0 )|(2ABP0315. 004. 020. 0 2540. 0 )|(3ABP0315. 003. 030. 0 2857. 0 )|(4ABP0315. 002. 035. 0 2222. 0 41)|()()|()()|(iiikkkBAPBPBAPBPABP从而从而广东工业大学广东工业大学 由此可知由此可知,较为合理的分摊责任的方案较为合理的分摊责任的方案,既不是由不合格率最既不是由不合格率最高的第高的第1条流水线条流水线,也不是由占产品分额最高的第也不是由占产品分额最高的第4第

18、流水线承担第流水线承担最多的责任最多的责任,而是由第而是由第3条及第条及第2条流水线承担了较多的责任条流水线承担了较多的责任. 在统计学中在统计学中,依靠收集的数据依靠收集的数据(相当于这里的事件相当于这里的事件A )去寻找去寻找感兴趣问题的答案感兴趣问题的答案.这是个这是个“由结果找原因由结果找原因”性质的过程性质的过程. 若将若将“抽检一件产品抽检一件产品”说成一次试验说成一次试验,那么那么 是在试验是在试验之前就已经知道的概率之前就已经知道的概率,所以习惯上称为所以习惯上称为先验先验(先于试验先于试验)概率概率,这这是过去已掌握情况的反映是过去已掌握情况的反映,这试验将出现的结果提供了一

19、定的信这试验将出现的结果提供了一定的信息息.在本例中在本例中,条件概率条件概率 反映了在试验以后反映了在试验以后,对对A发生的发生的各种各种“原因原因”(即不合格品的来源即不合格品的来源)的可能性的定量描述的可能性的定量描述,通常称通常称为为后验概率后验概率.)(kBP)|(ABPk 依据贝叶斯公式的思想发展的一整套统计推断的方法依据贝叶斯公式的思想发展的一整套统计推断的方法,称称“贝叶斯统计贝叶斯统计”.广东工业大学广东工业大学例例4 用血清甲胎蛋白法普查肝癌用血清甲胎蛋白法普查肝癌.令令C =“受检查者患肝癌受检查者患肝癌”A=“受检查者的甲胎蛋白检验结果呈阳性受检查者的甲胎蛋白检验结果呈

20、阳性”检验方法虽相当可靠但还不尽完善检验方法虽相当可靠但还不尽完善,已知有已知有95. 0)|( CAP90. 0)|( CAP其中其中 表示表示“受检查者的检验结果呈阴性受检查者的检验结果呈阴性”,A而而 表示表示 “受检查者受检查者C又设人群中患肝癌的概率已知为又设人群中患肝癌的概率已知为.0004. 0)( CP现若有一人被此检验法诊断为阳性现若有一人被此检验法诊断为阳性(患肝癌患肝癌),求此人确患肝癌的求此人确患肝癌的?)|(ACP并不患肝癌并不患肝癌”.概概率率解解: 由贝叶斯公式可得由贝叶斯公式可得)|(ACP)|()()|()()|()(CAPCPCAPCPCAPCP 95. 0

21、0004. 0 95. 00004. 0 1 . 09996. 0 0038. 0 广东工业大学广东工业大学一种直观的解法一种直观的解法:平均平均10000个人中个人中, 有肝癌患者有肝癌患者 人人,40004. 010000 为清楚起见为清楚起见, 列表如下列表如下肝癌患者肝癌患者未患肝癌者未患肝癌者总和总和阳性阳性阴性阴性总和总和10000499968 . 395. 04 4 .89969 . 09996 6 .9994 .89969996 2 . 08 . 34 8996.61003.4因此已检出阳性条件下因此已检出阳性条件下(总共总共1003.4人人),患有肝癌患有肝癌(3.8人人)的

22、的条件概率为条件概率为)|(ACP4 .10038 . 3 0038. 0 对发病率很低对发病率很低,检查费用又很高的某些疾病检查费用又很高的某些疾病,随便用普查随便用普查的做法是不可取的的做法是不可取的.广东工业大学广东工业大学例例5(市场问题市场问题) 某公司计划将一种无污染副作用的净化设备投某公司计划将一种无污染副作用的净化设备投放市场放市场.公司市场部事先估计该产品畅销的概率是公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5,一般为一般为0.3.滞销为滞销为0.2.为测试销路为测试销路,决定先进行试销决定先进行试销,并设定了以下的标准并设定了以下的标准:若产品畅销若产品畅销,则在试销期内卖出

23、则在试销期内卖出7000到到10000台产品的概率是台产品的概率是0.9;若产品的销路一般若产品的销路一般,则在产品的试销期内卖则在产品的试销期内卖7000到到10000台台产品的概率是产品的概率是0.6;若产品滞销若产品滞销,则在试销期间能卖出则在试销期间能卖出7000到到10000台产品的概率是台产品的概率是0.2. 若在试销期满后若在试销期满后,实际卖出产品是实际卖出产品是9000台台.问该产品是问该产品是(1)“销销路为一般路为一般”;(2)“畅销畅销”;(3)“畅销或销路一般畅销或销路一般”的概率各是多少的概率各是多少?解解:该产品是畅销品该产品是畅销品 1A该产品的销路一般该产品的

24、销路一般 2A该产品是滞销品该产品是滞销品 3A记记0000台0000台能卖出7000到1能卖出7000到1 B5 . 0)(1 AP3 . 0)(2 AP2 . 0)(3 AP9 . 0)|(1 ABP6 . 0)|(2 ABP2 . 0)|(3 ABP由题意知由题意知求求)|()|(),|(321BAPBAPBAP及及广东工业大学广东工业大学解解:该产品是畅销品该产品是畅销品 1A该产品的销路一般该产品的销路一般 2A该产品是滞销品该产品是滞销品 3A记记0000台0000台能卖出7000到1能卖出7000到1 B5 . 0)(1 AP3 . 0)(2 AP2 . 0)(3 AP9 . 0

25、)|(1 ABP6 . 0)|(2 ABP2 . 0)|(3 ABP由题意知由题意知求求)|()|(),|(321BAPBAPBAP及及由贝叶斯公式由贝叶斯公式,有有)()()|(11BPBAPBAP )|()()|()()|()()|()(33221111ABPAPABPAPABPAPABPAP 67. 0 (1) 9 . 05 . 0 9 . 05 . 0 6 . 03 . 0 2 . 02 . 0 67. 045. 0 广东工业大学广东工业大学解解:该产品是畅销品该产品是畅销品 1A该产品的销路一般该产品的销路一般 2A该产品是滞销品该产品是滞销品 3A记记0000台0000台能卖出70

26、00到1能卖出7000到1 B5 . 0)(1 AP3 . 0)(2 AP2 . 0)(3 AP9 . 0)|(1 ABP6 . 0)|(2 ABP2 . 0)|(3 ABP由题意知由题意知求求)|()|(),|(321BAPBAPBAP及及由贝叶斯公式由贝叶斯公式,有有(2)()()|(22BPBAPBAP )|()()|()()|()()|()(33221122ABPAPABPAPABPAPABPAP 27. 0 6 . 03 . 0 9 . 05 . 0 6 . 03 . 0 2 . 02 . 0 67. 018. 0 广东工业大学广东工业大学解解:该产品是畅销品该产品是畅销品 1A该产

27、品的销路一般该产品的销路一般 2A该产品是滞销品该产品是滞销品 3A记记0000台0000台能卖出7000到1能卖出7000到1 B5 . 0)(1 AP3 . 0)(2 AP2 . 0)(3 AP9 . 0)|(1 ABP6 . 0)|(2 ABP2 . 0)|(3 ABP由题意知由题意知求求)|()|(),|(321BAPBAPBAP及及(3)|()|()|(213BAPBAPBAP 27. 067. 0 94. 0 321,AAA由由 两两互斥及两两互斥及 ,可得可得: 321AAA广东工业大学广东工业大学人人 数数发发 病病775052507000750042003500例例18(贝叶

28、斯决策贝叶斯决策) 假定具有症状假定具有症状S 的疾病有的疾病有 三种三种.现现从从20000份患有疾病份患有疾病 的病史卡中的病史卡中,统计得到下列数据统计得到下列数据:321,ddd321,ddd1d2d3d试求当一个具有症状试求当一个具有症状S的病人前来就诊时的病人前来就诊时,他患有疾病他患有疾病 的可能性各有多大的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?321,ddd出现症状出现症状S 的人数的人数解解: 设设A=“患者出现症状患者出现症状S ”,=“患者患有

29、疾病患者患有疾病 ”,iDid. 3 , 2 , 1 i 每观察一张病卡可看成是作了一次试验每观察一张病卡可看成是作了一次试验,由于统计的病卡由于统计的病卡A1D3D2D于是于是,由统计数字由统计数字,得得很多很多, 根据频率的稳定性根据频率的稳定性,用频率来近似代替概率是可行的用频率来近似代替概率是可行的.广东工业大学广东工业大学人人 数数发发 病病775052507000750042003500例例18(贝叶斯决策贝叶斯决策) 假定具有症状假定具有症状S 的疾病有的疾病有 三种三种.现现从从20000份患有疾病份患有疾病 的病史卡中的病史卡中,统计得到下列数据统计得到下列数据:321,dd

30、d321,ddd1d2d3d试求当一个具有症状试求当一个具有症状S的病人前来就诊时的病人前来就诊时,他患有疾病他患有疾病 的可能性各有多大的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?321,ddd出现症状出现症状S 的人数的人数A1D3D2D)(1DP200007750 3875. 0 )(2DP200005250 2625. 0 )(3DP200007000 3500. 0 )|(1DAP77507500 9677. 0 )|(2DAP52504200 8 . 0 )

31、|(3DAP70003500 5 . 0 广东工业大学广东工业大学例例18(贝叶斯决策贝叶斯决策) 假定具有症状假定具有症状S 的疾病有的疾病有 三种三种.现现从从20000份患有疾病份患有疾病 的病史卡中的病史卡中,统计得到下列数据统计得到下列数据:321,ddd321,ddd试求当一个具有症状试求当一个具有症状S的病人前来就诊时的病人前来就诊时,他患有疾病他患有疾病 的可能性各有多大的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?321,ddd人人 数数发发 病病775

32、0525070007500420035001d2d3d出现症状出现症状S 的人数的人数A1D3D2D)(1DP200007750 3875. 0 )(2DP200005250 2625. 0 )(3DP200007000 3500. 0 )|(1DAP77507500 9677. 0 )|(2DAP52504200 8 . 0 )|(3DAP70003500 5 . 0 )|(1ADP9677. 03875. 0 9677. 03875. 0 8 . 02625. 0 5 . 035. 0 4934. 0 )|()()|()()|()()|()(33221111DAPDPDAPDPDAPDPD

33、APDP 于是于是,有有广东工业大学广东工业大学)(1DP200007750 3875. 0 )(2DP200005250 2625. 0 )(3DP200007000 3500. 0 )|(1DAP77507500 9677. 0 )|(2DAP52504200 8 . 0 )|(3DAP70003500 5 . 0 人人 数数发发 病病7750525070007500420035001d2d3d出现症状出现症状S 的人数的人数A1D3D2D )|(2ADP9677. 03875. 0 8 . 02625. 0 5 . 035. 0 2763. 0 )|()()|()()|()()|()(33221122DAPDPDAPDPDAPDPDAPDP 同理有同理有:8 . 02625. 0 广东工业大学广东工业大学)(1DP200007750 3875. 0 )(2DP200005250 2625. 0 )(3DP200007000 3500. 0 )|(1DAP77507500 9677. 0 )|(2DAP525