切换系统知识总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上切换系统来源于实际控制系统,所以对其研究不但是现代控制理论发展的需要,更是试图解决大量实际问题的迫切需求.不同于一般系统,切换系统在运行过程中,切换规则起着重要作用,不同的切换规则将导致完全不同的动态特征:若干个稳定的子系统在某一切换规则下可导致整个系统不稳定.而若干个不稳定的子系统在适当的切换下可使整个系统稳定,即其子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性.1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳定性分析的综述文章,并归结为如下三个基本问题:问题 1:切换系统在任意切换下渐近稳定的条件;问题 2:切换系统在受限切换

2、下是否渐近稳定;问题 3:如何设计切换信号,使得切换系统在该切换信号下渐近稳定.以上三个问题是在研究切换系统稳定时密不可分的。我们在研究切换系统稳定性的时候，大多围绕这三个问题展开.在对控制系统进行分析的过程中，已经有了很多的研究方法，在研究切换系统的稳定性时，我们经常用到的方法有：单 Lyapunov 函数方法，共同 Lyapunov 函数方法，多 Lyapunov 函数方法，共同控制 Lyapunov 函数方法，backstepping 方法，LMI等。切换系统基本知识定义 1一个切换系统被描述成以下微分方程的形式x=f（x） （1）其中这里fp：pP是一族RnRn的充分正则函数，：0,+

3、)P是关于时间的分段.常值函数，称为切换新号。有可能取决于时间t或状态x（t），或两者都有。P是某个指标集。以下非特别指明假设P都是有限集。如果这里所有的子系统都是线性的，我们就得到一个线性切换系统，x=Ax （2）1任意切换下稳定很明显，为了研究切换系统在任意切换下的稳定性，我们必须假设所有系统都是稳定的，这点对于切换系统的稳定只是必要条件。我们要研究的是为了使切换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。存在共同Lyapunov函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件，因而寻求共同Lyapunov函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。共同Lyapunov函数法与传统的Lapunov直接法基本

4、是一致的。其主要思想是:对于切换系统，如果各子系统存在共同Lyapunov函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定的。定理 1 Lapunov稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具，具体如下: 对于切换系统（1），如果存在正定连续可微的函数V：RnRn，正定连续的函数W：RnRn ，满足Vx=Vxfpx-Wx x，pP那么显然系统是稳定(渐近稳定)的。如果Vx是径向无界的，则结果是全局的。因此，这样一个Lapunov函数(称为共同Lyapunov函数)是研究切换系统的一个重要课题。对于线性系统 (1)，一般要找的是二次Lyapunov函数。定义 2给定一组稳定矩Ai，iQ，若存在一

5、个正定矩阵P>0使得AiTP+PAi<0，iQ则称它为Ai，iQ的一个共同二次Lyapunov函数。引理 1如果切换系统的子系统存在不稳定的凸组合，x=i=1nifi（x）其中，i>0 ，i=1ni=1，那么该切换系统不具有共同Lyapunov函数。由以上引理可见，切换系统存在共同Lyapunov函数Vx的必要条件为切换系统的子系统的凸组合均稳定。另外，对于下列一对二阶渐近稳定的线性系统还有以下充分必要条件。x=Aix，AiR2×2，i=1,2考虑两个子系统的矩阵凸组合A1，A2A1+1-A2，（0,1）定理 2一对二阶渐近稳定的线性切换系统具有共同二次Lyapun

6、ov函数当且仅当A1，A2和A1，A2-1中的矩阵都稳定。定理3 如果Ap：pP是由一些可交换的Hurwitz矩阵组成的有限集，那么这个相应的线性切换系统（2）是全局一致指数稳定的。令A1,A2,.，Am是一个给定的由交换的Hurwitz矩阵构成的集合，令P1是下面的Lyapunov方程的唯一的正定解A1TP1+P1A1=-I对于i=1,m，令Pi是下面的Lyapunov方程的唯一的正定解AiTPi+PiAi=-Pi-1然后函数Vx=xTPmx是所期望的给定的线性切换系统（2）的一个二次共同Lyapunov函数。Pm由以下公式给出Pm=0eAmTtm(0eA1Tt1eA1t1dt1)eAmtm

7、dtm由于Ai，i=1,m是可交换的，所以我们可以将上式可以重新写成下面的形式Pm=0eAiTtiQieAitidti这里Qi>0。定理4 如果fp：pP是由可交换的一次连续可微的斜向量场组成的有限集，并且所有的子系统的原点是一个全局渐进稳定的平衡点，那么交换的切换系统（1）是全局一致渐进稳定的。这里没有给出共同Lyapunov函数的明确结构，有两种方法能够构造这样的一个函数，但是，他们都要依靠更强的条件：系统（1）的各子系统是指数稳定的。并且仅仅给出一个局部的共同Lyapunov函数。方法一 考虑这样一个线性化的矩阵Ap:=fpx0，pP.如果非线性的斜向量场可交换，那么线性化的矩阵A

8、p也可交换。（假设fpC1，fp0=0，pP）。线性化的矩阵可交换是一个弱解条件。矩阵Ap是Hurwitz的当且仅当斜向量场fp是指数稳定的。这样对于线性化的系统的一个二次共同Lyapunov函数，就可以作为这个有限子族非线性系统原点处的一个局部的共同Lyapunov函数。方法二 令P=1,m，系统（1）的各子系统fp是指数稳定的。对于任意的pP，令p（t，z）表示系统x=fp（x）满足初始条件x0=z的解，定义V1（x）0T1（，z）2dVi（x）0TVi-1（i（，z）d， i=2,m这里T是一个足够大的正常数。那么Vm是一个各子系统的局部共同Lyapunov函数。如果函数fp：pP满足全

9、局Lipschitz条件，那么我们就得到一个全局的共同Lyapunov函数。定理 5（共同Lyapunov存在逆定理）假设切换系统（1）是全局一致渐进稳定的，集合fp（x）：pP对x有界，函数fp（x）对于x和一致的p满足局部Lipschitz条件，那么这个系统的各子系统有一个径向无界的光滑的共同Lyapunov函数。2受限切换稳定多Lyapunov函数法是Branicky从切换系统的特点出发提出的，这是因为共同Lyapunov要满足的条件往往过强，实际系统中存在共同Lyapunov函数的情形并不多见，而且很多切换系统虽然不存在共同Lyapunov函数，却可以选择适当的切换信号使系统渐近稳定。

10、对于这样的系统，多Lyapunov函数法是一种有效的方法。多Lyapunov函数:为切换系统定义一组Lyapunov-like函数Vi, i=1,2,m，然后判定切换系统稳定性。对于系统（1），假设各个子系统切换时状态不发生跳变，平衡点为xiRn, fi（x）是全局Lipschiz连续的，所谓Lyapunov-like函数Vi是定义在区域i上的一个连续可微的实值函数，且满足以下条件(1) 正定性: Vix=0，xi，当xx，Vi（x）>0 (2) 导数负定:当切换到子系统fi（x（t）时，其相应的Lyapunov函数Vi单调递减，即xi，Vx=Vxfix0。 共同Lyapunov函数法研

11、究切换系统对于任意切换序列是否稳定，而多Lyapunov函数法研究系统对于一类切换序列是否稳定。定理6 若切换系统（1）的各子系统都是全局渐进稳定的，令Vp，pP是相应的各子系统的径向无界的Lyapunov函数，若存在一族正定的连续函数Wp，pP，满足对于每一对切换时刻ti，tj，i<j，满足ti=tj=pP，并且tkp，ti<tk<tj，Vpxtj-Vpxti-Wp（xti）则切换系统（1）是全局渐进稳定的。基于逗留时间的稳定性对于切换系统，即使各个子系统均渐近稳定，如果切换不当，也可能使这个系统不稳定。直观地说，这是由于切换引起的“系统能量”增长趋势超过了各稳定子系统对“

12、系统能量”的衰减作用。一个自然的想法是，如果在各稳定子系统内停留的时间足够长，以对消并超过切换引起的“系统能量”增长趋势，那么切换系统就可以稳定了。这一方法被称为“长驻留时间”。衡量逗留时间长短的最简单直接的方法就是引入一个正常数>0，假设相邻切换时刻相差不小于的切换信号(即每次在子系统的逗留时间不小于)，我们考虑在这样一类切换信号下系统的稳定性。对于线性切换系统，如果各个子系统均渐近稳定，那么只要切换信号满足在各个子系统内的逗留时间足够长，即只要足够大，就可以保证线性切换系统全局指数稳定，并且还可以定量计算出逗留时间的下限。在一定条件下，还可以将上述结论推广到非线性切换系统。在这里，我

13、们仅以一组全局指数稳定的非线性系统为例来说明基于逗留时间的稳定性条件。假设切换系统（1）的各子系统是全局指数稳定的，对于任意的pP，都存在对应的Lyapunov函数Vp满足apx2Vp(x)bpx2 （3）Vxfpx-cpx2 （4）其中ap，bp，cp是正常数。 由（3）和（4）我们能够得到Vxfpx-2pVpx，pP这里pcpbp ，pP。这样Vpx（t0+）e-2pVpx（t0）当tt0,t0+，（t）=p。下面我们考虑以下两个子系统的情况P=1,2，=1，tt0,t1，=2，tt1,t2，ti+1-ti，i=0,1。由以上不等式我们知道V2（t1）b2a1V1（t1）b2a1e-21V

14、1t0V1（t2）b1a2V2（t2）b1a2e-22V2t1b1b2a1a2e-2（1+2）V1t0只要足够大，就可以保证V1t2<V1t0，引用多Lapunov函数稳定性条件可见，只要切换信号满足在各个子系统内的驻留时间足够大（其实只需>12（1+2）logb1b2a1a2），就可以保证切换系统全局渐近稳定。平均驻留时间平均驻留时间是将所考虑的切换信号扩充到只要随着时间区段的增长切换次数不会增加太快的切换信号。或者是线性增长NT,tN0+T-t，则称为是平均驻留时间。定理7对于切换系统（1），如果各子系统都存在连续可谓的函数Vp:RnR，pP，1，2是两个K类函数，0，是正常数

15、，若满足1xVpx2x ，x，pPVxfpx-20Vpx， x，pPVpxVqx x， p，qP则系统（1）对于有平均驻留时间>log20的任意切换信号是全局渐进稳定的。单Lyapunov 方法单 Lyapunov 函数作为一种特殊的多 Lyapunov 函数是针对每个子系统都不稳定提出的,一般结合凸组合技术来使用。单 Lyapunov 方法为首先的选用方法。令V 是切换系统所对应的 Lyapunov 函数，单 Lyapunov 的本质可描述为：1)当第 i 个子系统被激活时，V 递减；2) 第 i 个子系统激活时V 的末端值作为下一个被激活系统时V 的初始值。它与多Lyapunov函数

16、不同的是不要求 Lyapunov 函数在整个空间上都是递减的。3稳定的切换信号从应用角度看，这方面的内容意义最大，因为切换系统的精华在于“切换”，即设计一组切换信号使切换系统在这组切换信号下稳定。这是切换系统研究的重要内容。虽然切换系统是由若干子系统和一组切换信号组成，但绝不是各个子系统简单的叠加，切换信号的作用同样相当重要。其中，线性矩阵不等式方法，凸组合技术，线性化手段以及完备集概念都被应用到此领域中。这部分主要讲的是依赖于状态的稳定，书中所研究的也主要是线性矩阵，用到的关键技术是凸组合。下仅以子系统为2的情况说明。定理 8 若矩阵A1，A2存在一个Hurwitz的凸组合，那么就存在一个依赖于状态的策略使得P=1,2的线性切换系统（2）二次稳定。（它的逆也成立）。现在的切换系统研究也主要集中于研究具有特定结构的系统，设计一组切换信号使系统稳定。纵观近年来的切换系统发展，随着计算机技术的飞速进步和普及应用为切换系统实施控制提供了坚实的物质基础和广阔的发展前景，使切换系统的研究受到