数学建模---概率模型

1、84219561073 买 专 利 自 研 制 成 功 0 .8 失 败 0.2 失 败 0.4 成 功 0 .6 原 产 增 产0.50.40.10.50.4 原 产 量 增 产 价 低 0 .1 中 0 . 5 高 0 . 4 价 低 0 .1 中 0 . 5 高 0 . 40.10.50.40.10.50.4-20050150-30050250-1000100-1000100-2000200-300-25060011解：解：8421956107382 买 专 利 自 研 制8263 成 功 0 .8 失 败 0.2 失 败 0.4 成 功 0 .695303085 原 产 增 产0.50

2、.40.10.50.4 原 产 量 增 产65956085 价 低 0 .1 中 0 . 5 高 0 . 4 价 低 0 .1 中 0 . 5 高 0 . 40.10.50.40.10.50.4-20050150-30050250-1000100-1000100-2000200-300-250600110.115103不咨 询咨 询37.60投 资存 银 行可 投 资不 宜 投 资37.603030-15.6060 -500301189P(E1)=0.96P(E2)=0.04652.72 -50060P(E1/T1)=0.987P(E2/T1)=0.0133030P(E1/T2)=0.865P

3、(E2/T2)=0.135303060 -500452.7227P(T1)P(T2)42.72投资投资存银行存银行47.72练习：练习： 为生产某种新型的港口装罐机械，提出了两个建厂方案：一是为生产某种新型的港口装罐机械，提出了两个建厂方案：一是投资投资300万元建大厂；二是投资万元建大厂；二是投资160万元建小厂，均考虑万元建小厂，均考虑10年经营期。据年经营期。据预测，在这预测，在这10年经营期内，前年经营期内，前3年该产品销路好的概率为年该产品销路好的概率为0.7；而若前；而若前3年销路好，则后年销路好，则后7年销路好的概率为年销路好的概率为0.9；若前；若前3年销路差，则后年销路差，则

4、后7年的销年的销路肯定差。另外，估计每年两个建厂方案的益损值如表路肯定差。另外，估计每年两个建厂方案的益损值如表7-14所示，要求所示，要求用决策树法确定采用哪种建厂方案？用决策树法确定采用哪种建厂方案？两个建厂方案益损表两个建厂方案益损表 表表7-14解解: (1) 画决策树如图画决策树如图7-3所示所示图图 两个建厂方案决策图两个建厂方案决策图销路差0.3销路好(2) 计算各方案节点的期望益损值计算各方案节点的期望益损值节点节点：0.90.9100+0.1(-20) 7=616(万元万元) )节点节点：1.0(-20) 7=140(万元万元)节点节点： (0.940+0.110) 7=25

5、9(万元万元)节点节点 ： (1.010) 7=70(万元万元)节点节点： 0.71003+0.3(-20) 3+0.7616+0.3(-140) 300=281 (万元万元)节点节点 ：（：（0.7403+0.310 3）+（0.7259+0.370） 160=135 (万元万元)（3）比较、剪枝、决策）比较、剪枝、决策 比较节点比较节点和节点和节点的期望收益值，节点的期望收益值，节点的期望收益值大，的期望收益值大，故：最优方案为建大厂。将节点故：最优方案为建大厂。将节点上方标上期望收益值上方标上期望收益值281 (万万元元)，并剪去小厂方案枝。，并剪去小厂方案枝。现假定两个方案中，除了建大

6、厂的方案以外，另一个方案现假定两个方案中，除了建大厂的方案以外，另一个方案是：先投资是：先投资160万元建小厂，若产品销路好，则万元建小厂，若产品销路好，则3年后考虑年后考虑是否扩建成大厂，扩建投资为是否扩建成大厂，扩建投资为140万元。扩建后经营期为万元。扩建后经营期为7年，每年的收益情况与大厂相同。此时，应选择哪个建厂年，每年的收益情况与大厂相同。此时，应选择哪个建厂方案？方案？解解 （1 1）画决策树）画决策树 第一方案与上相同，故在本题中，略去第一方案的部第一方案与上相同，故在本题中，略去第一方案的部分节点和树枝，只保留第二个节点及其计算结果。第二个分节点和树枝，只保留第二个节点及其计

7、算结果。第二个方案的决策树模型如图所示。方案的决策树模型如图所示。(1) 决策树模型为：决策树模型为：图图 第二个方案的决策树模型第二个方案的决策树模型(2) 计算各方案节点的期望益损值计算各方案节点的期望益损值节点节点：建大厂方案，其值与例：建大厂方案，其值与例1 1相同，为相同，为281281万元。万元。节点节点： 0.9100+0.1 (-20) 7 140=476(万元万元)节点节点：（：（0.940+0.110） 7=259(万元万元)节点节点：决策节点，比较节点：决策节点，比较节点和节点和节点的值，因为的值，因为476259，故选择扩，故选择扩建方案为好，剪去不扩建方案，并且将建方

8、案为好，剪去不扩建方案，并且将476写在节点写在节点上方。上方。节点节点：（1.010） 7=70(万元万元)节点节点：（：（0.740 3 +0.310 3 ）+（0.7476+0.370） 160=287 (万元万元)节点节点：决策节点，比较节点：决策节点，比较节点和节点和节点的值，因为的值，因为287281，故剪去建，故剪去建大厂方案。大厂方案。 最优方案为：先投资最优方案为：先投资160万元建小厂，万元建小厂，3年后，再追加投资年后，再追加投资140万元，扩万元，扩建成大厂，建成大厂，10年的总收益为年的总收益为287万元。万元。1 问题的提出问题的提出 有时在机场会出现一些乘客本已订

9、好了某家航空公司的某趟航班，却被意外地告知此趟航班已满，航空公司将为他们预定稍后的航班的情况。这不但会引起乘客的不便，还会加剧他们对航空公司的抱怨程度。 在如今这个使用计算机系统来实行订票的时代，是否可以通过设计某种系统来抑制这类事件的发生。 试建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。 2 符号约定符号约定f 维持航班的总费用（成本）n 乘坐航班的乘客数量g 每名乘客支付的运费（机票票价）N 航班的满舱载客数量k 误机的乘客数 k人误机的概率kPm 预定航班的乘客数量S 航班的收支差额b 安置一名剩余乘客的费用p 订票乘客登机的概率q 订票乘客误机的概率（1-p）j 航班卖出折价票的数量r 航

10、班票价的折扣率3 建模目标建模目标建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。 航空公司制定超客订票策略，是为了从航班中获得尽可能大的利润。 顺着这条脉络，很自然地以求出航空公司期待从一趟预定航班中获得的利润来建立模型。1）初步建模（从简单情形入手）首先，摒除对所求利润带来复杂影响的参量，从利润最根本的角度出发建立基本模型。4 建立模型建立模型 一趟航班运行的成本基本与实际搭乘的乘客数量无关。航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料费用、机场承担的起飞、降落和操作费用，以及一些其它的费用（比如飞机维修费用，地面工作人员的薪金，广告费用）。不管航班是否满舱，航空公司都必需给飞行员、领航员、工程师和舱

11、内全体职员支付薪金。而相对于半舱的航班，满舱的航班所多消耗的燃料在总体的燃料负担中仅占很小的比例。 利润利润 = = 收入收入成本成本一趟航班运行的成本记为f如果一趟航班实际搭载了 名乘客，那么所得的余额是nfngS其中，g为每名乘客支付的运费。 当乘客的数目增加时，利润也跟着增加。最大可得利润是 fNgSmax其中，N是航班的满舱载客量。 不同类型的乘客支付不同的运费，例如头等舱、公务舱、经济舱都有各自的定价。为了建模方便，现在假设所有的乘客都支付同样的运费。一趟航班的收入取决于实际的乘客人数 n当乘客所付的总运费恰好能维持航班的费用时，达到一个临界人数 gfn/当乘客人数少于它时，航班的经

12、营将会造成损失。容易看出，为了获得尽可能大的利润，航空公司应当让每一趟航班达到满舱。 误机者会影响满舱。分析初步模型模型每趟航班能否达到满舱？因此，需要在基本模型上加进反映“乘客误机”这一条件的参量，并考察其对所求利润的影响。2）扩充模型N时也不一定能保证利润达到最大，则订票上限便不应局限于N 值。假设订票的总人数是 m，m有可能超出 N航空公司可能从航班中得到的利润为fNgSfgkmS当NkmNkm考虑到发生乘客误机的情况，使得即使订票数为 当有 k个人误机时，乘客没有搭乘航班属于偶然事件，要反映这一事件，必须加进乘客搭乘航班的概率这一参量。设有 k个人误机的概率是 kP则所得利润的表达方式

13、只能是利润的数学期望值，用 S表示，有10NmkmNmkkkfgkmPfNgP设有 mkkkmPS0利润名乘客乘坐的航班所得有如果 Nm ，则第一项和不存在， S仅由第二项和表出，并且求和下限由0代替。由于对航班需求的不同，显然订票的乘客数有可能小于航班载客量，航空公司并不需要考虑超额订票的问题。根据求解的问题，需要假设各种情况，不论航空公司决定的最大订票数 m为多少，在一些时间的热门航线中它都是有可能会达到的。为研究 kP对S的影响，将上式改写为mkmNmkkkmkmNmkkkgkNmPPfNgfNgfgkmPfNgPS00根据 kP的定义， 10mkkP，因此，有NjjNmmNmkkjPg

14、fNgkNmPgfNgS0而在和都为正数的条件下，有 fNgS。则唯一能达到预期利润最大值的方法是降低所有的jNmP，使之趋近于0。 当订票数量 m充分的大于 N时，可以达到所要结果。因为，当订票的乘客数目增加时，任意大的误机人数出现的概率便随之降低。因此，第二个模型通过预测已订票乘客的真正登机数目表明，可以令订票数充分地大于航班客载量来使预期的利润趋近于理论上的最大值，即航班满舱时的可获得的利润。在这个模型中对订票的超额数量并没有任何限制，它甚至可能是航班载客量的好几倍。但是，一旦实行了超额订票策略之后，除了对航班的利润带来保障外，也会带一些负面的影响。即到达机场要求登机的乘客数 m-k ,

15、可能要比航班的载客量大得多。对被挤兑的乘客数为 NkmN单从表面上来看，显然航空公司最后得到的利润需要扣除这一部分费用，并且这笔费用是随着 m 的变化而变化。因此，需要在模型里加进代表“被挤兑的乘客所支出的费用”这一参量，并考察其对所求利润的影响，以及它与 m的相互关系。 被挤兑的乘客造成航空公司两方面的损失：滞留费用，机票签转的费用。来自乘客的抱怨，影响公司形象的潜在费用。当出现超额订票并有超出航班载客量的乘客抵达机场的情况时，假设航空公司通过各种方法处理被挤兑的乘客，每一名所需要的费用是 b 建立包括处理超出乘客所需费用在内的，航空公司从某趟航班中期望获得的平均利润的模型。设实际登机的乘客

16、数为 km，则航班所得的利润为bNkmfNgSfgkmSNkmNkm当3）改进的模型事实上，将利润看成一随机变量，有 km个人登机所对应的概率为 kP，则航空公司从航班中所获得的预期利润，或说平均利润，便是取遍所有可能的误机人数的情况下，利润的数学期望。因此，有mkkkmPS0名乘客中所得利润从 10NmkmNmkkkfgkmPbNkmfNgPmkkmkkNmkkkPgPfmgbNkmgkmNP001010mkkP，且表示预计的误机人数，我们用 mkkkP0k表示，有 1010NmkkNmkkkNmPgbfgkmkNmPgbgkfmgSmkkmkkNmkkkPgPfmgbNkmgkmNP001

17、0现在，已经得到一个相对复杂的中间结果。将10P和从1k开始令0kP代入上式中进行检验。这符合乘客误机的概率为0，即每一名订票的乘客都抵达了机场。在这种情况下，上式简化为NmbfNgNmgbfgkmS从0k这个结果表明，如同预测的，如果有 m名乘客预定了载客量为 N的航班并且他们都抵达了机场，那么利润将是满舱的收支差 额fNg 减去承担 Nm名剩余乘客的费用 。在这种bNm情况下，最大平均利润在Nm 时可以达到，就如同最初的基本模型所表示的一般。相较于基本模型，此时的模型已经考虑了“乘客误机”与“安排被挤兑乘客”两种情况。其中“有 名乘客误机”这一偶然事件的概率 kP，还可进一步分解以方便估计

18、与计算。k接着，便来讨论关于kP的形式。最简单地，假设一乘客登机的概率为p，而误机的概率为 q。进一步假设抵达机场的乘客两两无关，则可得到 kP的二项式结构为 kmkkmkpqCP当然，事实上这个误机者两两无关的假设并不是完全正确的一部分的乘客是两人或是以小组为单位一起行动的。现在，先从最简单的情况开始入手。由这个结构 qmk 可得10NmkkkNmPgbfpmgS航空公司将要尝试的就是找出航班所得平均利润的最大值。上式中表达的平均利润依赖于 mqfbg,和N。成本 f，票价 g和费用 b则在航空公司短期控制范围之外（运费是由IATA决定，而不是由个别的航空公司决定），q和N由客观因素约束，只

19、有订票数目上限m是航空公司可以改变的参数。fpmgqmgfmgkPgPfmgkgfmgPSkkmkk0上式中的部分和结果表明，这个问题可以通过列举细表来得到解决。但是，明显地，最佳的订票上限至少不低于航班的载客量 N。当Nm 时，所得利润可化简为这是关于 m的增函数。 我们计算得kP包含各种取值，每一个对应于一个订票上限 kPm。通过 mqfbg,和N来求得利润，并根据各组不同数值的 Nqfbg,来选出最佳的订票上限。 式中的和其实是一个关于 SmNq,的函数，在给出 估算这个和，然后便会发现预期的利润是一个关于 mNq,的值后，可以编写计算程序来Nbfgmq,的函数。 航空公司综合考虑大量的

20、因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，所以可以估计一个最佳近似值，即是 fNg 60.。因此，可以得到1160110NmkkkNmPgbpmNfS.用计算程序比照订票数量来计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设 10050.,.q和20./gb结果很明显，依据超额订票程度来达到最大的可能利润是可行的。同样，也可以计算 j个或是更多乘客发生座位冲撞的概率： jNmkkPjP0位冲撞个或是更多乘客发生座结果表明，当超额订票的乘客数分别为20和39时，可以达到最大的预期利润。有5名或更多乘客发生座位冲撞的概率在46%和55%之间。当考虑到安排一名被挤兑乘客的费用所带来的影响时，得到的结果和从直观上所得的结果是一致的，因为安排剩余乘客所需费用增加，为从航班中得到的最大预期利润所需要的超额订票数便会减少，发生任意多名乘客座位冲撞的概率（这里以发生5名或更多的乘客座位冲撞例）也就降低了。能达到最大预期利润的订票水平，将作为构成机票价格的一部份。对300座的客机，设 fNg 60.对于 b值的估计，这笔费用大致是由实际和相对潜在的，例如公司信誉的损害与将来的潜在客源流失，两笔花费构成。这个讨论应该导向关于灵敏度的考虑。第二个结果显示，有5名或是更多的乘客座位发生冲撞的