第二章_信号和系统的数学描述及性质

1、第二章第二章 信号和系统的数学描述及性质信号和系统的数学描述及性质1.信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类2.系统的数学描述和分类系统的数学描述和分类3.信号的基本运算信号的基本运算4.基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号5.信号的大小信号的大小6.信号的相关函数信号的相关函数7.系统的连接方式系统的连接方式8.系统的性质系统的性质1. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类信号的数学描述：信号的数学描述：信号是信息的表现形式或载体，在极为广泛信号是信息的表现形式或载体，在极为广泛的一类物理现象和事物运动过程中，它反映的是各种物理量或的一类物理现象和事物运动过程中，它反映的是

2、各种物理量或数量的变化。信号所包含的信息就蕴藏在这些数量的变化。信号所包含的信息就蕴藏在这些物理量或数量的物理量或数量的变化中。因此，信号变化中。因此，信号可用一个或多个自变量的函数来描述。可用一个或多个自变量的函数来描述。信号的分类：信号的分类：从信号的数学描述出发，信号包括从信号的数学描述出发，信号包括u连续信号和离散信号（模拟信号和数字信号）连续信号和离散信号（模拟信号和数字信号）u周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号u确定信号和随机信号确定信号和随机信号u一维信号和多维信号一维信号和多维信号u能量信号和功率信号能量信号和功率信号u连续信号：连续信号：信号的自变量是连续可变的，即信号

3、在其自变量的信号的自变量是连续可变的，即信号在其自变量的一个连续范围（实数区间上）都有定义。一个连续范围（实数区间上）都有定义。离散信号：离散信号：信号的自变量仅在一组离散值上取值，即信号仅在信号的自变量仅在一组离散值上取值，即信号仅在离散的时刻上有定义。离散的时刻上有定义。1. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类连续信号连续信号 离散信号离散信号1. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类模拟信号：模拟信号：自变量和信号值均连续。自变量和信号值均连续。数字信号：数字信号：自变量和信号值均离散。自变量和信号值均离散。 156 159 158 155 158 160 154 157 15

4、8 157 156 159 158 155 158 160 154 157 158 157 156 153 155 159 159 . . .2562561. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类周期信号：周期信号：信号值随自变量重复变化的信号。信号值随自变量重复变化的信号。非周期信号：非周期信号：不满足周期信号定义的信号。不满足周期信号定义的信号。T1. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类确定信号：确定信号：信号在任意时刻的值能够被精确地确定。信号在任意时刻的值能够被精确地确定。随机信号：随机信号：不满足确定性信号定义的信号。随机信号又可分为不满足确定性信号定义的信号。随机信号又可

5、分为平稳随机信号和非平稳随机信号，平稳随机信号又可分为各态平稳随机信号和非平稳随机信号，平稳随机信号又可分为各态遍历信号和非各态遍历信号。遍历信号和非各态遍历信号。确定信号确定信号 随机信号随机信号1. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类一维信号：一维信号：用一个自变量的函数表示的信号称为一维信号。用一个自变量的函数表示的信号称为一维信号。多维信号：多维信号：用多个自变量的函数表示的信号称为多维信号。用多个自变量的函数表示的信号称为多维信号。1. 信号的数学描述和分类信号的数学描述和分类信号信号 x(t) 和和 x(n) 的能量分别定义为：的能量分别定义为：如果如果 E，则称，则称 x(

6、t) 和和 x(n)为能量信号。为能量信号。功率信号：功率信号：信号信号 x(t) 和和 x(n) 的功率分别定义为：的功率分别定义为：如果如果 P0 和和 n0 均为单位值，因此利用它们均为单位值，因此利用它们可以表示许多有始信号，以及把一些用分段表达式表示的信号可以表示许多有始信号，以及把一些用分段表达式表示的信号归纳成一个闭合表达式。用归纳成一个闭合表达式。用u(t) 或或 u(n)表示下列信号：表示下列信号： 4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号n x1(t) 1-/20t-/2x2(t) 10t1N2N1 0 x3(n) 1 )2/()2/()(1tututx)1(

7、)()(2tututtx) 1()()(213NnuNnunx连续时间单位冲激信号连续时间单位冲激信号 (t) 的两种定义的两种定义:1.极限形式定义极限形式定义2.狄拉克函数定义狄拉克函数定义)(lim)(0tt0 , 0)( ; 1)(ttdtt 0 , 00 , 1)(nnn4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号离散时间单位冲激序列离散时间单位冲激序列 (n) :(t) 1/ /2 /20t(t) 0t又称为单位抽样序列。又称为单位抽样序列。单位冲激信号和序列的性质：单位冲激信号和序列的性质：1.具有单位面积，即具有单位面积，即2.均为偶信号，即均为偶信号，即3.筛分性质

8、筛分性质这表明任何这表明任何 x(n) 与与 (n-n0) 相乘，所产生的仍是一个冲激序列，相乘，所产生的仍是一个冲激序列，不过此冲激序列在不过此冲激序列在 n=n0 处的值为处的值为 x(n0)。连续情况下：。连续情况下：1)(t4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号1)(nn)()()()(000nnnxnnnx)()()(00nxnnnxn)()()()(000tttxtttx)()()(00txdttttx)()(tt)()(nn考察单位冲激与单位阶跃之间的关系。离散情况下有：考察单位冲激与单位阶跃之间的关系。离散情况下有：这表明这表明 (n) 是是 u(n) 的一阶差

9、分，的一阶差分， u(n) 是是 (n) 的一次累加。的一次累加。连续情况下：连续情况下：这表明这表明 u(t) 是是 (t) 的滑动积分，的滑动积分， (t)是是 u(t) 的一阶导函数。的一阶导函数。4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号( )( )(1)nu nu n( )( )dtu tdt0)()(kknnu0)()(dttuCz znx Cs etxnst)()(复指数信号复指数信号:1.实指数信号：实指数信号： Rs4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号 Rzx(t) = ests = 0s 0Cz znx Cs etxnst)()(复指数信号复指

10、数信号:2. 复正弦信号：复正弦信号：4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号 js jez )sin()cos()(tjtetxtj )sin()cos()(njnenxnjejt 和和 ejn 的区别的区别:n对于任何的对于任何的， ejt 都是周期信号，周期为都是周期信号，周期为2/|； ejn 则则不然，只有当不然，只有当/2为有理数时，为有理数时， ejn才是周期序列。才是周期序列。解释：解释：若若 ejn 是周期序列，必须存在一个正整数是周期序列，必须存在一个正整数N，使得下式成立：，使得下式成立： eeeenjNjnjNnj)(必须有必须有ejN= 1，则则 N必须

11、是必须是2的整数倍，即必须有一个正整的整数倍，即必须有一个正整m 满足：满足：考察考察：cos(n/6)、cos(2n/31)、cos(n/6)是否为周期序列？是否为周期序列？4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号 mN2 /Mm2/或或n对于每一个不同的对于每一个不同的 ， ejt 都是不相同的周期信号，而且都是不相同的周期信号，而且 越大，越大， ejt 的振荡频率越高；但的振荡频率越高；但 ejn 并非如此，因为有：并非如此，因为有：因此，在任何因此，在任何 2 区间内的区间内的 ejn就包含所有不同的复正弦序列，就包含所有不同的复正弦序列，在研究这种复正弦序列时，只要在

12、在研究这种复正弦序列时，只要在 的某个的某个 2 区间内考察即区间内考察即可，一般选这个区间为可，一般选这个区间为 - 或者或者 0 2，称为主值，称为主值区间。区间。 2, 1, 02)2(k eeeenjknjnjnkj难点：难点： T、f、 和和 的区别和联系。的区别和联系。4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号T 周期周期 s T = 1/f f 物理频率物理频率 Hz f = 1/T 角频率角频率 rad/s = 2/T = 2f 圆周频率圆周频率 rad = 2f/fs名称名称 单位单位 变换关系变换关系 Cz znx Cs etxnst)()(复指数信号复指数信号

13、:3. 一般复指数信号：一般复指数信号：4. 基本的连续信号和离散信号基本的连续信号和离散信号 jsjrez tjtetxt)sin()cos()( )sin()cos()(njnrnxn 05. 信号的大小信号的大小常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，即所谓信号常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，即所谓信号的范数。若信号的范数。若信号 x(t) 和和 x(n) 分别满足：分别满足：则它们是模可积的及模可和的，其一阶范数定义为：则它们是模可积的及模可和的，其一阶范数定义为：然而，若然而，若 x(t) 和和 x(n) 是有界的非模可积与模可和信号，其一阶是有界的非模可积与模可和信

14、号，其一阶范数定义为如下极限：范数定义为如下极限：| ( )|x tdt | ( )|nx n dttxtx| )(|)(|1nnxnx| )(|)(|111| ( )|lim| ( )|2TTTx tx tdtT11| ( )|lim| ( )|21MNnNx nx nN5. 信号的大小信号的大小若信号若信号 x(t) 和和 x(n) 分别满足：分别满足：则它们是模平方可积的及模平方可和的，其二阶范数定义为：则它们是模平方可积的及模平方可和的，其二阶范数定义为：然而，若然而，若 x(t) 和和 x(n) 不满足模平方可积与模平方可和，二阶范不满足模平方可积与模平方可和，二阶范数也需要极限形式

15、来定义：数也需要极限形式来定义：2| ( )|x tdt 2| ( )|nx n 22| ( )| ( )|x tx tdt22| ( )| ( )|nx nx n221| ( )|lim| ( )|2TTTx tx tdtT221| ( )|lim| ( )|21MNnNx nx nN5. 信号的大小信号的大小信号信号 x(t) 和和 x(n) 的无穷范数定义为：的无穷范数定义为：ttxtx |:)(|max|)(|nnxnx |:)(|max|)(|5. 信号的大小信号的大小根据能量、功率和二阶范数的定义可知，对于模平方可积与模根据能量、功率和二阶范数的定义可知，对于模平方可积与模平方可和

16、的信号平方可和的信号x(t) 和和 x(n)而言，能量等于二阶范数的平方，即：而言，能量等于二阶范数的平方，即：对于不满足模平方可积与模平方可和的信号对于不满足模平方可积与模平方可和的信号x(t) 和和 x(n)而言，功而言，功率等于二阶范数的平方，即：率等于二阶范数的平方，即：222( )| ( )|nEx nx n222( )| ( )|Ex tdtx t2221lim| ( )| ( )|2TTTPx tdtx tT2221lim| ( )| ( )|21MNnNPx nx nN6. 信号的相关函数信号的相关函数如果如果 x(t) 与与 y(t)、 x(n) 与与 y(n) 分别是连续时

17、间和离散时间的能分别是连续时间和离散时间的能量信号，则它们的互相关函数、互相关序列分别定义为：量信号，则它们的互相关函数、互相关序列分别定义为：*( )()( )( )()xyrx ty t dtx t y tdt*( )()( )( )()xynnrmx nm y nx n y nm x(t) 和和 x(n) 与与 其自身的互相关函数和序列分别称为其自身的互相关函数和序列分别称为 x(t) 和和 x(n)的自相关函数：的自相关函数：*( )()( )( )()xrx tx t dtx t x tdt*( )()( )( )()xnnr mx nm x nx n x nm6. 信号的相关函数信

18、号的相关函数如果如果 x(t) 与与 y(t)、 x(n) 与与 y(n) 分别是连续时间和离散时间的功分别是连续时间和离散时间的功率信号，则它们的互相关函数、互相关序列分别定义为：率信号，则它们的互相关函数、互相关序列分别定义为：*11( )lim()( )lim( )()22TTxyTTTTrx ty t dtx t y tdtTT*11( )lim()( )lim( )()2121NNxyNNnNnNrmx nm y nx n y nmNN x(t) 和和 x(n) 与与 其自身的互相关函数和序列分别称为其自身的互相关函数和序列分别称为 x(t) 和和 x(n)的自相关函数：的自相关函数

19、：*11( )lim()( )lim( )()22TTxTTTTrx tx t dtx t x tdtTT*11( )lim()( )lim( )()2121NNxNNnNnNr mx nm x nx n x nmNN6. 信号的相关函数信号的相关函数对于周期分别为对于周期分别为 T 和和 N 的周期信号的周期信号 x(t) 与与 x(n)而言，它们的自而言，它们的自相关函数和序列分别为：相关函数和序列分别为：它们分别仍是周期它们分别仍是周期 T 和和 N 的周期信号。的周期信号。 *11( )()( )( )()xTTrx tx t dtx t x tdtTT *11( )()( )( )(

20、)xnNnNr mx nm x nx n x nmNN相关函数的计算方法。相关函数的计算方法。n图解法图解法n解析法解析法习题：习题：试求序列试求序列的自相关序列的自相关序列rx(m)。, 04( )0, 4nnx nnn6. 信号的相关函数信号的相关函数*( )()( ) ( )()xnnr mx nm x nx n x nmn -121 0 x(n) 345-2-3-4n -121 0 x(n+1) 345-2-3-4n -121 0 x(n-1) 345-2-3-4m -121 0rx(m) 345-2-3-430201143421 6. 信号的相关函数信号的相关函数自相关函数的性质：自

21、相关函数的性质：性质性质1 若若 x(t)、 x(n) 是复信号，则是复信号，则rx () 、rx (m) 共轭偶对称：共轭偶对称： 若若 x(t)、 x(n) 是实信号，则是实信号，则rx () 、rx (m) 偶对称，即：偶对称，即：性质性质2 rx ()、rx (m) 在在 = 0、 m = 0时取得最大值：时取得最大值：性质性质3 若若 x(t)、 x(n) 是能量信号，则有：是能量信号，则有： )()(xxrr)()(mrmrxx)()(*xxrr)()(*mrmrxx)()0(xxrr)()0(mrrxxlim( )0 xrlim( )0 xmr m6. 信号的相关函数信号的相关函

22、数互相关函数的性质：互相关函数的性质：性质性质1 rxy () 、ryx (m) 不是偶函数，但有不是偶函数，但有:性质性质2 rxy () 、ryx (m) 满足：满足：性质性质3 若若 x(t) 、 x(n) 是能量信号，则有：是能量信号，则有： )()(yxxyrr)()(mrmryxxylim( )0 xyrlim( )0 xymrmyxyxxyEErrr)0()0(| )(|yxyxxyEErrmr)0()0(| )(|6. 信号的相关函数信号的相关函数利用自相关函数检测信号中隐含的周期性：利用自相关函数检测信号中隐含的周期性：设记录到的信号设记录到的信号x(n)由真正的信号由真正的

23、信号s(n)和白噪声和白噪声u(n)组成，即有组成，即有x(n)=s(n)+u(n)。假定。假定s(n)是周期的，周期为是周期的，周期为M，x(n)的长度为的长度为N，且，且NM，那么，那么x(n)的自相关的自相关式中式中rus(m)和和rsu(m)是是s(n)和和x(n)的互相关，一般噪声是随机的，的互相关，一般噪声是随机的，和信号和信号s(n)无相关性，因此这两项很小。式中无相关性，因此这两项很小。式中ru(m)是噪声的自相是噪声的自相关函数，主要集中关函数，主要集中m=0在处有值，当在处有值，当|m|0时衰减很快。因此，时衰减很快。因此，若若s(n)是以为是以为M周期的，那么周期的，那么

24、rs(m)也应该是周期的，且周期为也应该是周期的，且周期为M 。这样，。这样，rx(m)也将呈现周期变换，且在也将呈现周期变换，且在m=0,M,2M,处呈现峰处呈现峰值，从而揭示隐含在值，从而揭示隐含在x(n)中的周期性。由于中的周期性。由于x(n)总为有限长，所总为有限长，所以这些峰值是逐渐衰减的。以这些峰值是逐渐衰减的。)()()()()(mrmrmrmrmrusuussx6. 信号的相关函数信号的相关函数利用互相关函数检测信号的相关性：利用互相关函数检测信号的相关性： 7. 系统的连接方式与系统的等价和等效系统的连接方式与系统的等价和等效系统的连接方式：系统的连接方式：u级联级联u并联并

25、联x1(n) 系统系统T1y(n) x(n) 系统系统T2x2(n) y1(n) y2(n) u反馈反馈x1(n) 系统系统T1y(n) x(n) 系统系统T2y1(n) y2(n) x2(n) + +x1(n) 系统系统T1y(n) x(n) 系统系统T2y1(n) x2(n) y2(n) + + +-8. 系统的性质系统的性质系统的主要性质：系统的主要性质：无记忆性和无记忆性和记忆性记忆性：对于任意的输入信号，如果每一时刻系统对于任意的输入信号，如果每一时刻系统的输出信号值只取决于同一时刻的输入信号值，则该系统就具的输出信号值只取决于同一时刻的输入信号值，则该系统就具有无记忆性，有无记忆性

26、，称为称为无记忆系统，否则称为有记忆系统。例如，无记忆系统，否则称为有记忆系统。例如，数乘器、相乘器、相加器是无记忆系统，而积分器、累加器等数乘器、相乘器、相加器是无记忆系统，而积分器、累加器等是有记忆系统。是有记忆系统。因果性和非因果性：因果性和非因果性：对于任意的输入信号，如果系统在任何时对于任意的输入信号，如果系统在任何时刻的输出信号值，只取决于该时刻和该时刻以前时刻的输入信刻的输出信号值，只取决于该时刻和该时刻以前时刻的输入信号值，而与将来时刻的输入信号值无关，该系统就具有因果性，号值，而与将来时刻的输入信号值无关，该系统就具有因果性，称为因果系统，否则该系统就是非因果的。例如，称为因

27、果系统，否则该系统就是非因果的。例如，积分器、累积分器、累加器、一阶后向差分器是因果性系统，而一阶前向差分器是非加器、一阶后向差分器是因果性系统，而一阶前向差分器是非因果系统。因果系统。8. 系统的性质系统的性质关于因果性的讨论：关于因果性的讨论：1.因果性体现了现实世界的因果原则，即在任何现象中，总因果性体现了现实世界的因果原则，即在任何现象中，总是原因在前，结果在后。在真实时间变量的系统中，因果是原因在前，结果在后。在真实时间变量的系统中，因果性是系统设计和实现的一个关键特性。性是系统设计和实现的一个关键特性。2.研究非因果系统并非没有意义。一方面，如果自变量不是研究非因果系统并非没有意义

28、。一方面，如果自变量不是真实的时间变量，上述限制就失去了作用；另一方面，就真实的时间变量，上述限制就失去了作用；另一方面，就算自变量是真实的时间变量，也可以采用非因果处理。算自变量是真实的时间变量，也可以采用非因果处理。3.无记忆系统一定是因果系统，但有记忆性系统未必都是非无记忆系统一定是因果系统，但有记忆性系统未必都是非因果系统，也可能是因果系统。因果系统，也可能是因果系统。8. 系统的性质系统的性质可逆性：可逆性：如果一个系统对每一个不同的输入信号都产生不同的如果一个系统对每一个不同的输入信号都产生不同的输出信号，换言之，根据系统的输出信号可以唯一地确定它的输出信号，换言之，根据系统的输出

29、信号可以唯一地确定它的输入信号，这样的系统称为可逆系统。输入信号，这样的系统称为可逆系统。稳定性：稳定性：当系统的输入为有界信号时，输出也是有界的，则该当系统的输入为有界信号时，输出也是有界的，则该系统是稳定的，称为稳定系统，否则为不稳定系统。例如，数系统是稳定的，称为稳定系统，否则为不稳定系统。例如，数乘器、相乘器、相加器是稳定系统，而积分器、累加器是不稳乘器、相乘器、相加器是稳定系统，而积分器、累加器是不稳定系统。定系统。8. 系统的性质系统的性质时不变性：时不变性：在一个系统中，如果任何输入信号在时间上任意的在一个系统中，如果任何输入信号在时间上任意的时移，都导致其输出信号产生相同的时移

30、，即满足时移，都导致其输出信号产生相同的时移，即满足则这样的系统具有时不变性，称为时不变系统。则这样的系统具有时不变性，称为时不变系统。)()( )( )(knxTknynxTny线性：线性：如果系统满足可加性和齐次性：如果系统满足可加性和齐次性：则这样的系统称为线性系统。则这样的系统称为线性系统。)( )( ,)( )(2211nxTnynxTny)()()()()()( )(212121nynynxTnxTnxnxTny8. 系统的性质系统的性质线性系统一个重要的性质：线性系统一个重要的性质：零输入信号必然产生零输出信号。零输入信号必然产生零输出信号。例如，一个离散时间系统例如，一个离散时间系统 x(n) y(n) ，根据比例性有：，根据比例性有：但反之则不然，即但反之则不然，即零输入产生零输出的系统，不一定是线性系零输入产生零输出的系统，不一定是线性系统。因此不能用零输入产生零输出来判断系统的线性，倒可以统。因此不能用零输入产生零输出来判断系统的线性，倒可以用零输入不产生零输出来否定系统的线性。用零输入不产生零输出来否定系统的线性。增量线性系统：增量线性系统：不能认为输入输出信号变换关系是线性方程描不能认