第二章_初等分析优化模型

1、运筹与优化模型运筹与优化模型第二章第二章 初等分析优化模型初等分析优化模型 设备更新问题的数学模型设备更新问题的数学模型 确定性存储问题数学模型确定性存储问题数学模型 随机性存储问题数学模型随机性存储问题数学模型第二章第二章 初等分析优化模型初等分析优化模型第第1节节 设备更新问题的优化模型设备更新问题的优化模型 设备更新设备更新 是指对在技术上或经济上不宜是指对在技术上或经济上不宜继续使用的设备，用新的设备更换或用继续使用的设备，用新的设备更换或用先进的技术对原有设备进行局部改造。先进的技术对原有设备进行局部改造。或者说是以结构先进、技术完善、效率或者说是以结构先进、技术完善、效率高、耗能少

2、的新设备，来代替物质上无高、耗能少的新设备，来代替物质上无法继续使用，或经济上不宜继续使用的法继续使用，或经济上不宜继续使用的陈旧设备。陈旧设备。 设备更新的两种形式 一种是设备的原型更新一种是设备的原型更新(叫简单更新叫简单更新)。 是指用同类型的新设备代替旧设备。它适用于设备的技术寿命尚可但物质寿命已尽，或设备制造厂受技术水平限制不能提供新的机型 二是设备的技术更新。二是设备的技术更新。 是指用技术上更加先进、效率更高的先进设备来代替技术寿命已尽、经济上不宜继续使用的陈旧设备。 设备更新应遵循的原则(1)(1)设备更新应当结合企业的经济条件，有计划、有重点、有设备更新应当结合企业的经济条件

3、，有计划、有重点、有步骤地进行。步骤地进行。 (2)(2)要做好调查摸底工作，根据企业的实际需要和可能，安要做好调查摸底工作，根据企业的实际需要和可能，安排设备的更新工作。注意克服生产薄弱环节，提高企业的综合生排设备的更新工作。注意克服生产薄弱环节，提高企业的综合生产能力。产能力。 (3)(3)有利于提高生产的安全程度，有利于减轻工人劳动强度有利于提高生产的安全程度，有利于减轻工人劳动强度，防止环境污染。，防止环境污染。 (4)(4)更新设备要同加强原有设备的维修和改造结合起来，如更新设备要同加强原有设备的维修和改造结合起来，如改造后能达到生产要求的，可暂不更新。改造后能达到生产要求的，可暂不

4、更新。 (5)(5)讲求经济效益，做好设备更新的技术经济分析工作。主讲求经济效益，做好设备更新的技术经济分析工作。主要包括确定设备的最佳更新周期、计算设备投资回收期等。要包括确定设备的最佳更新周期、计算设备投资回收期等。 设备的寿命设备的寿命 1 1、设备的自然寿命、设备的自然寿命 设备的自然寿命，又称物质寿命。它是指设备从投人使用开设备的自然寿命，又称物质寿命。它是指设备从投人使用开始，直到因物质磨损而不能继续使用、报废为止所经历的时间。始，直到因物质磨损而不能继续使用、报废为止所经历的时间。它主要是由设备的有形磨损所决定的。它主要是由设备的有形磨损所决定的。 2 2、设备的技术寿命、设备的

5、技术寿命 设备的技术寿命，又称有效寿命。它是指从设备开始使用到设备的技术寿命，又称有效寿命。它是指从设备开始使用到因技术落后而被淘汰所延续的时间，也即是指设备在市场上维持因技术落后而被淘汰所延续的时间，也即是指设备在市场上维持其价值的时期。技术寿命主要是由设备的无形磨损所决定的，它其价值的时期。技术寿命主要是由设备的无形磨损所决定的，它一般比自然寿命要短。科学技术进步越快，技术寿命越短。一般比自然寿命要短。科学技术进步越快，技术寿命越短。 3 3、设备的经济寿命、设备的经济寿命 设备的经济寿命，是从经济的角度来看设备最合理的使用期设备的经济寿命，是从经济的角度来看设备最合理的使用期限，具体言之

6、，是指设备从投入使用开始，到团继续使用经济上限，具体言之，是指设备从投入使用开始，到团继续使用经济上不合理而被更新所经历的时间。它是由维护费用的提高和使用价不合理而被更新所经历的时间。它是由维护费用的提高和使用价值的降低决定的。设备的经济寿命就是从经济观点值的降低决定的。设备的经济寿命就是从经济观点( (即成本观点即成本观点或收益观点或收益观点) )确定的设备更新的最佳时刻。确定的设备更新的最佳时刻。 港作拖轮最佳经济寿命研究设备更新问题的数学模型设备更新问题的数学模型 一、劣化数值法模型一、劣化数值法模型 设备在使用过程中，由于磨损使其性能不断下降，费用消耗上设备在使用过程中，由于磨损使其性

7、能不断下降，费用消耗上升，完全是一个低劣化的过程。因此采用低劣化数值法来确定升，完全是一个低劣化的过程。因此采用低劣化数值法来确定设备的经济使用寿命，基本上包含了影响其经济使用寿命的主设备的经济使用寿命，基本上包含了影响其经济使用寿命的主要因素，其公式为要因素，其公式为 其中其中T为经济使用寿命；为经济使用寿命；k0 为设备原值；为各种影响因素的费为设备原值；为各种影响因素的费用低劣化增长强度。用低劣化增长强度。 此模型来源于运筹学中存贮论的经济订购批量（此模型来源于运筹学中存贮论的经济订购批量（Economic ordering quantity）公式，简称）公式，简称EOQ 公式或平方根公

8、式。公式或平方根公式。 /20kT 实际上，若假定设备经过使用之后残值为零，则每年费用实际上，若假定设备经过使用之后残值为零，则每年费用为为k k0 / 0 / T T。随着。随着T T的增长，这种平均费用不断减少。但是随着的增长，这种平均费用不断减少。但是随着T T的增长，设备的磨损加剧，其维持费用又不断上升，这就叫的增长，设备的磨损加剧，其维持费用又不断上升，这就叫做机械设备低劣化。若这种低劣化每年以的数值增加，则第做机械设备低劣化。若这种低劣化每年以的数值增加，则第T T年的低劣化数为年的低劣化数为T T，T T年中的平均低劣化值为年中的平均低劣化值为T T / 2/ 2，据此，据此，平

9、均年费用效益损失平均年费用效益损失为求其最小值，令为求其最小值，令 ，即得前述平方根公式。，即得前述平方根公式。yTkT/20d yd T0二、二、 最小平均成本法更新模型最小平均成本法更新模型最小平均成本法，是求这样的设备使用年限最小平均成本法，是求这样的设备使用年限 T，使平均成本使平均成本 C (T ) 达到最小达到最小 其中其中 k 为设备原值，为设备原值，E(r) 为第为第 r 年维持费用，年维持费用，T 为使用年限。求为使用年限。求 。 由于由于 T 是离散的，不能求微分，可用差分逼近，记是离散的，不能求微分，可用差分逼近，记 C TkE rTrT( )( )01min()Tc T

10、 C TC TC T( )()()1 令令 ，可近似地求出稳定点，可近似地求出稳定点 T *，这样，得，这样，得 从这个方程中近似地解出从这个方程中近似地解出 T*，即为对应最小平均成本，即为对应最小平均成本的经济使用年限。的经济使用年限。 应指出，求应指出，求 ，相当于近似地求出。即，相当于近似地求出。即 在实际应用中，一般是采用这种求解算法来实在实际应用中，一般是采用这种求解算法来实现模型的求解。现模型的求解。 C T() 0TE TE rkrT()( )1010min( )TC T min|()( )|TrTT E TE rk101 考虑设备残值的计算方法设备年平均总成本等于设备的年平均

11、资产恢复成本与年度运营成本之和。设备年平均总成本等于设备的年平均资产恢复成本与年度运营成本之和。它的计算公式如下：它的计算公式如下：式中：式中：n设备使用期限，在设备经济寿命计算中，设备使用期限，在设备经济寿命计算中，n是一个自变量；是一个自变量；j设备使用年度，设备使用年度，j的取值范围为的取值范围为1到到n；ACnn年内设备的年平均总成本；年内设备的年平均总成本；K0购置成本；购置成本；Cj 在在n年使用期间的第年使用期间的第j年度设备的运营成本；年度设备的运营成本；Ln 设备在第设备在第n年的净残值。年的净残值。njjnnCnnLKAC101 如果设备的经济寿命为m年，则m应满足如下不等

12、式： ACm+1ACm ；ACm-1ACm 例例1：某型号轿车购置费为3万元，在使用中有如下表的统计资料，如果不考虑资金的时间价值，试计算其经济寿命。使用年度j1234567j年度运营成本5000600070009000115001400017000n年末残值15000750037501875100010001000使用期使用期限限n资产恢复资产恢复成本成本K0-Ln年等额资产年等额资产恢复成本恢复成本（K0-Ln)/n年度运年度运营成本营成本Cj使用期限使用期限内营运成内营运成本累计本累计年等额年等额营运成营运成本本年等额总年等额总成本成本= =+ +11500015000500050005

13、0002000022250011250600011000550016750326250875070001800060001475042812570319000270006750137815*2900058001150038500770013500*6290004833140005250087501358372900041431700069500992914072解解：该型轿车在不同使用期限的年等额总成本如下表所示： njjC1njjCn11 由计算结果可以看出，该型号轿车使用5年时，其年等额总成本最低（AC5=13500元），使用期限大于或小于5年时，其年等额总成本均大于13500元，故该汽车

14、的经济寿命为5年。在实际问题中，人们往往不只是考虑费用支出情况（即成本情在实际问题中，人们往往不只是考虑费用支出情况（即成本情况），也考虑收入情况，并且更重视的是经济效益。这样，我况），也考虑收入情况，并且更重视的是经济效益。这样，我们在构造模型时，应权衡费用支出与经济收入这两方面的状况们在构造模型时，应权衡费用支出与经济收入这两方面的状况做出综合分析。前述两种模型都只是着眼于一个方面。为此，做出综合分析。前述两种模型都只是着眼于一个方面。为此，我们考虑使用下面的模型来研究设备的更新，称为最大总收益我们考虑使用下面的模型来研究设备的更新，称为最大总收益法。考虑法。考虑 式中：式中： 设备设备t

15、年内的总收益函数；年内的总收益函数； 设备设备t年内的总收入函数；年内的总收入函数； 设备设备t年内的总维持费用函数；年内的总维持费用函数； 设备原值；设备原值； 三、最大总收益法三、最大总收益法 y tytytk( )( )( )120y t ( )y t1( )yt2( )k0k0对对y(t)求最大值，可令求最大值，可令解得的解得的T 就是最佳经济使用年限。其几何意义如就是最佳经济使用年限。其几何意义如图所示图所示 0/dTdy 当设备费用很大时，利率对设备更新所产生的影响是应当考虑的。为此，将当设备费用很大时，利率对设备更新所产生的影响是应当考虑的。为此，将上面的最大总收益法加以改进，成

16、为下面的效益分析法。考虑上面的最大总收益法加以改进，成为下面的效益分析法。考虑 式中：式中： T 设备使用年限；设备使用年限； B（T） T年内设备的总效益；年内设备的总效益； R（t ） 第第t年的收入函数；年的收入函数； P（t ） 第第t年的费用支出函数；年的费用支出函数； S（t ） 第第t年时的设备残值；年时的设备残值； i 年利率；年利率； K0 设备原值设备原值 四、效益分析法四、效益分析法 C TkE rTrT( )( )0100)()()()(KeTSdtetPtRTBiTTit该函数可称为效益函数，该函数可称为效益函数， 求其最大值点就求其最大值点就是最佳更新期。令是最佳更

17、新期。令得得 解该方程即可得最佳更新期解该方程即可得最佳更新期T。 dB TdT( ) 0R TP TiS TS T( )( )( )( ) 对设备来说，应考虑设备的长远使用费用。为此，需要建对设备来说，应考虑设备的长远使用费用。为此，需要建立设备的费用方程。立设备的费用方程。 设其装卸设备的原值为设其装卸设备的原值为 k0，第，第 t 年度的维持费用为年度的维持费用为 yt , 年年利率为利率为 r，第二年的费用换算成第一年时，费用的换算系数，第二年的费用换算成第一年时，费用的换算系数为为V=1 / (1r) = 即第二年的维持费用换算成第一年时应为即第二年的维持费用换算成第一年时应为y2V

18、，类似地，第，类似地，第n年年的维持费用换算成第一年时，其值为的维持费用换算成第一年时，其值为yn 。折算后的总费用为。折算后的总费用为 y(n)k0y1y2Vy3V 2yn (k0y1) y2 y3 yn k0y1y2Vyn (1 )五、费用方程法更新模型五、费用方程法更新模型 ()11rVn1Vn1VnVn1Vn2Vn21Vn1VnVn2因为因为|V| 1，所以据无穷递缩等比数列求和公式，应，所以据无穷递缩等比数列求和公式，应有有 1 = 1 / (1 )从而从而 当当 y(n) y(n1) 和和 y(n) k2 kn ， Q0 Q1 Q2 Qn ， Q0 是最小是最小订购数量，通常为订购

19、数量，通常为0； Qn 为最大批量，通常无限制。为最大批量，通常无限制。经济订货批量折扣模型（经济订货批量折扣模型（2 2）下图是下图是 n = 3时时 c(Q) 和和 TC 的图形表示：的图形表示：当订货当订货量为量为QQi -1 ， Qi ) 时，由于时，由于 c(Q)= ki ，则有则有由此可见，总费用由此可见，总费用 TC 也是也是 Q 的分段函数，具体表示如下：的分段函数，具体表示如下：OQQ1Q2k3k2c(Q)k1OQ1Q2QQ3TCTC1TC2TC3niDkcQDQcTCiii, 2, 1213)(1Q3经济订货批量折扣模型（经济订货批量折扣模型（3 3） TC(Q) = TC

20、i， QQi -1 ， Qi ) ， i = 1，2，n。 由微积分的有关知识可知，分段函数由微积分的有关知识可知，分段函数TC(Q)的最小值只的最小值只可能在函数导数不存在的点、区间的端点和驻点达到。为此可能在函数导数不存在的点、区间的端点和驻点达到。为此，我们需要先找出这些点。由于，我们需要先找出这些点。由于 TCi 中的中的 Dki 是常数，求导是常数，求导数为数为0，所以，类似于模型一，所以，类似于模型一，得得 TCi 的驻点的驻点 由由TC 的图形知，如果的图形知，如果 TCi 的驻点的驻点 满足满足 Qi-1 r 时不补充；当时不补充；当 H r 时进行补充，每次补充的数量时进行补

21、充，每次补充的数量为为Q 。二、二、 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型需求为随机变量的订货批量、再订货点模型 例例8 8. .某装修材料公司经营某品牌的地砖，公司直接从厂家进这种某装修材料公司经营某品牌的地砖，公司直接从厂家进这种产品。由于公司与厂家距离较远，双方合同规定，在公司填写订货单后产品。由于公司与厂家距离较远，双方合同规定，在公司填写订货单后一个星期厂家把地砖运到公司。公司根据以往的数据统计分析知道，在一个星期厂家把地砖运到公司。公司根据以往的数据统计分析知道，在一个星期里此种地砖的需求量服从以均值一个星期里此种地砖的需求量服从以均值 =850箱，方差箱，方差 =120箱的箱的

22、正态分布，又知道正态分布，又知道每次订货费为每次订货费为250元，每箱地砖的成本为元，每箱地砖的成本为48元，存贮元，存贮一年的存贮费用为成本的一年的存贮费用为成本的20%，即，即每箱地砖一年的存贮费用为每箱地砖一年的存贮费用为4820% = 9.6元。元。公司规定的服务水平为允许由于存贮量不够造成的缺货情况公司规定的服务水平为允许由于存贮量不够造成的缺货情况为为5%。公司应如何制定存贮策略，使得一年的订货费和存贮费的总和公司应如何制定存贮策略，使得一年的订货费和存贮费的总和为最少？为最少？ 解：首先按经济订货批量存贮模型求出最优订货批量解：首先按经济订货批量存贮模型求出最优订货批量Q 。已知

23、每已知每年的平均需求量年的平均需求量 D =8 50 52 = 44200 箱箱/年，年，c1 = 9.6 元元/箱年，箱年， c3 = 250元，得元，得需求为随机变量的订货批量、再订货点模型（需求为随机变量的订货批量、再订货点模型（2 2） 于是，每年平均约订货于是，每年平均约订货 44200/151729次。由服务水平，得次。由服务水平，得P (一个星期的需求量一个星期的需求量 r ) = 1 =1 0.05=0.95 进一步，有进一步，有 查标准正态分布表，得查标准正态分布表，得 进一步，有进一步，有 r = 1047，安全存贮量为安全存贮量为 r d m =1047 850 =197

24、箱箱。 在这样的存贮策略下，在订货期有在这样的存贮策略下，在订货期有95%的概率不会出现缺货，的概率不会出现缺货，有有5%的概率会出现缺货。的概率会出现缺货。箱)(15176 . 9250442002213cDcQ.95. 0r.645.1r需求为随机变量的订货批量、再订货点模型（需求为随机变量的订货批量、再订货点模型（3 3） 需求为随机变量的定期检查存贮量模型是另一种处理多周期的存贮问题需求为随机变量的定期检查存贮量模型是另一种处理多周期的存贮问题的模型。在这个模型里，管理者要定期例如每隔一周、一个月等检查产品的的模型。在这个模型里，管理者要定期例如每隔一周、一个月等检查产品的库存量，根据

25、现有的库存量来确定订货量，在这个模型中管理者所要做的决库存量，根据现有的库存量来确定订货量，在这个模型中管理者所要做的决策是：依照规定的服务水平制定出产品的存贮补充水平策是：依照规定的服务水平制定出产品的存贮补充水平M。一旦确定了一旦确定了M，也也就确定了订货量就确定了订货量Q 如下所示：如下所示：Q = M H，式中式中H 为检查时的库存量。为检查时的库存量。 这个模型很适合于经营多种产品并进行定期清盘的企业，公司只要制定这个模型很适合于经营多种产品并进行定期清盘的企业，公司只要制定了各种产品的存贮补充水平，根据清盘的各种产品的库存量，马上可以确定了各种产品的存贮补充水平，根据清盘的各种产品

26、的库存量，马上可以确定各产品的订货量，同时进行各种产品的订货。各产品的订货量，同时进行各种产品的订货。三、需求为随机变量的定期检查存贮量模型三、需求为随机变量的定期检查存贮量模型 需求为随机变量的定期检查库存量的存贮模型处理存贮问题的典需求为随机变量的定期检查库存量的存贮模型处理存贮问题的典型方式如图型方式如图12-1012-10所示。所示。需求为随机变量的定期检查存贮量模型（需求为随机变量的定期检查存贮量模型（2 2）存贮水平存贮水平0Q QQ QQ QQ Q时间时间检查检查周期周期检查检查周期周期订货期订货期订货期订货期缺货缺货M单位产品单位产品维持时间维持时间存货补充水平存货补充水平图图

27、 12-10 在图在图12-1012-10中，我们看到在检查了存贮水平中，我们看到在检查了存贮水平H H之后，我之后，我们立即订货们立即订货Q=M-HQ=M-H，这时库房里的实际库存量加上订货量，这时库房里的实际库存量加上订货量正好为存贮补充水平正好为存贮补充水平M M（订货的（订货的Q Q单位产品在过了订货期才单位产品在过了订货期才能到达）。从图上可知这能到达）。从图上可知这M M单位的产品要维持一个检查周单位的产品要维持一个检查周期再加上一个订货期的消耗，所以我们可以从一个检查周期再加上一个订货期的消耗，所以我们可以从一个检查周期加上一个订货期的需求的概率分布情况，结合规定的服期加上一个订

28、货期的需求的概率分布情况，结合规定的服务水平来制定存贮水平务水平来制定存贮水平M M，以下我们举例说明。，以下我们举例说明。需求为随机变量的定期检查存贮量模型（需求为随机变量的定期检查存贮量模型（3 3） 例例9 9 某百货商店经营几百种商品，该商店每隔两周清盘一次，根据清盘某百货商店经营几百种商品，该商店每隔两周清盘一次，根据清盘情况同时对几百种商品进行订货，这样便于管理。又因为其中很多商品可以情况同时对几百种商品进行订货，这样便于管理。又因为其中很多商品可以从同一个厂家或批发公司进货，这样也节约了订货费用。现在商店管理者要从同一个厂家或批发公司进货，这样也节约了订货费用。现在商店管理者要求

29、对这几百种商品根据各自的需求情况和服务水平制定出各自的存贮水平。求对这几百种商品根据各自的需求情况和服务水平制定出各自的存贮水平。现要求对其中两种商品制定出各自的存贮水平。现要求对其中两种商品制定出各自的存贮水平。 商品商品A A是一种名牌香烟。一旦缺货，顾客不会在商店里购买另一种品牌的是一种名牌香烟。一旦缺货，顾客不会在商店里购买另一种品牌的烟，而去另外的商店购买，故商店规定其缺货的概率为烟，而去另外的商店购买，故商店规定其缺货的概率为2.5%2.5%。商品。商品B B是一种普是一种普通品牌的饼干，一旦商店缺货，一般情况下，顾客会在商店里购买其他品牌通品牌的饼干，一旦商店缺货，一般情况下，顾

30、客会在商店里购买其他品牌的饼干或其他儿童食品，故商店规定其缺货概率为的饼干或其他儿童食品，故商店规定其缺货概率为15%15%。根据以往的数据，通。根据以往的数据，通过统计分析，商品过统计分析，商品A A每每1414天需求服从均值天需求服从均值A A=550=550条，均方差条，均方差A A=85=85条的正态分条的正态分布，商品布，商品B B每每1414天需求服从均值天需求服从均值B B=5300=5300包，均方差包，均方差B B=780=780包的正态分布。包的正态分布。需求为随机变量的定期检查存贮量模型（需求为随机变量的定期检查存贮量模型（4 4）需求为随机变量的定期检查存贮量模型（需求为随机变量的定期检查存贮量模型（5 5） ,97.5%.1.961.965501.9685717,85%.AAAAAAAAABBBBBBMMMMMABAABB解：设商品A的存贮补充水平为M ,商品B的存贮补充水平为M ，从统计知识可知：P(商品A的需求dM )=1-查标准正态分布表，得：，（条）P(商品