第六章 多元函数微分学 知识点

1、第六章第六章 多元函数微分学多元函数微分学 知知 识识 点点一：多元函数的极限、连续一：多元函数的极限、连续 极限存在： Ayxfyxyx),(lim),(),(00函数连续： ),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx计算上可以使用一元函数求极限的方法：例如：换元，重要极限，等价无穷小等等。例例4 4 证明：证明： 证证362( , )(0,0)limx yx yxy 极极限限不不存存在在。取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在例例5 5

2、 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 二、偏导数二、偏导数),(yxfz 定义定义Axyxfyxxfxzxyyxx),(),(lim|0000000 Byyxfyyxfyzxyyxx),(),(lim|0000

3、000计算：计算： A)对对x求偏导，求偏导，y 看作常数看作常数 B)在分段函数的分界点，不连续点在分段函数的分界点，不连续点的偏导数用定义求。的偏导数用定义求。22xz yxz2 C)高阶偏导数（纯偏导数高阶偏导数（纯偏导数，混合偏导数，混合偏导数例P69 2、3222222ln 1.,.yuuuuxzxy xz y 例例9 9设设求求),(yxfz ),(00yx三、全微分三、全微分在 可全微分； 注：可全微分、可偏导、连续的关系1)定义： )(oyBxAz22yx0000|,|yyxxyyxxyzBxzA 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数

4、连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 2)计算 dyyzdxxzdzyyxxyyxx0000|221.( , ),)() ,zf x yxy 若若可可微微 且且则则002.( , )(,)zf x yxy 函函数数在在点点处处连连续续和和存存在在偏偏导导数数是是00(,)xy它它在在处处可可微微的的 条条件件. .0lim.zdz 3.( , )( , ),( , )xyf x yfx yfx y函函数数的的偏偏导导数数连连续续是是函函数数( , ).f x y 可可微微的的条条件件0必必要要充充分分21sin()03.( , ),(0,1).00 xx yxyxyf x yfxy

5、 设设求求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx 解解 201sin()limxxxx 220sin()lim1.()xxx 例1 1） 222222,),2 ,(yzxzdzxyyxfz求2） 22),(xzyxxfz 3） yxzyxfu222),(四：复合函数的求导四：复合函数的求导(链式求导链式求导) 4） ;,),(2yxuxeuyxufzy 5） 222,),(),(yzyxzxyfyxxyfz五、五、隐函数求导：隐函数求导：1、两边同时对、两边同时对x 求导，注：隐含求导，注：隐含y=f(x) （可适用于任意阶数）（可适用于任意阶数）2、隐函数求导公式（仅适用于一阶

6、）、隐函数求导公式（仅适用于一阶）令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 222(1)()()(1)()d yyxyxyydxxy 2232()()xyxy 例221),.2)ln,3) (,)0( , ),.zzzxyzexx yxzdzzyF xy yz zxzz x yzzdzxy 求求确定求， 及六：方向导数与梯度方向导数与梯度0000(,)(,)(,)lxyxyfffelxy.),(kzfjyfixfzyxgradf2）梯度jyfixf ),(yxgradf2),(1,1)_xgra

7、dfy函数f(x,y)=arctan解解故故x轴到方向轴到方向l的转角的转角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数)22(2221 lz.22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,22(,)22PQe 21.3(1,2)zxxyMx函函数数在在点点处处沿沿 轴轴正正向向的的方方向向导导.Mzx 数数2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz 函函数数在在点点处处沿沿从从点点到到点点.的的方方向向的的方方向向导导数数为为3. ( , , )arctan,grad(1,1,1).xf x y zzf

8、y则则8981311( ,)22 4 七七.多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用1）空间曲线的切线与法平面）空间曲线的切线与法平面2）曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线A)设空间曲线的方程设空间曲线的方程)()()(tztytx一、空间曲线的切线与法平面在点 )(),(),(000tttT 000(,)xyz在000(,)M xyz切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的法平面点且与切线垂直的法平面.0)()()(000000

9、zztyytxxt 解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线

10、方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为000000()()()0.yzxyzxzxyzxyFFFFFFxxyyzzGGGGGGzyxzyxGGGFFFkjiT 注：切向量注：切向量解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 225.(1,1,2)0zxyMxyz 曲曲线线上上点点处处的的切切线线方方程程是是.法法平平面面方方程程为为.112110 xyz 0 xy设曲面方

11、程为设曲面方程为0),( zyxF二、曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 切平面的法向量：切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 特殊地：特殊地：1.空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(

12、),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令(, 1)xynff解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx7.(2,1,2)zxyM 曲曲面面上上点点处处的的切切平平面面方方程程是是;.法法线线方方程程为为212121xyz 220 xyz 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域

13、内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1)1)二元函数极值的定义二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .八、多元函数的极值、最值八、多元函数的极值、最值2)驻点：000000(,)0,(,)0,(,)xyfxyfxyxy则为驻点极值点驻点,驻点极值点(错)驻点驻点极值点极值点注意：注意：求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(0