土力学第3章- 土的本构关系

1、1. 1. 八面体应力的基本知识八面体应力的基本知识o边长为2的立方体，主应力1、2、3分别与x、y、z轴平行，a,b,c,d,e,f点为六个面的中心点。1.八面体及八面体应力的意义把立方体六个面的中心点连接起来，就成为八面体单元。o八面体应力和八面体应变：指八面体任意面上的法向应力0及剪应力0；相应的法向应变0及剪应变0。他们分别是三个主应力1、2、3和三个主应变的函数，能够综合反映空间应力状态。1.八面体及八面体应力的意义2.八面体应力与应变的计算公式可导出：)(31)(313210zyx222222213232231063131xyzxyzxzzyyxzyx313132102132322

2、21032 （21）八面体法向应力八面体剪应力八面体法向应变八面体剪应变八面体弹性模量：32111E31221E21331E（22）32132121E032132121312131EE0021E0021E（23）或（24）210EM0321213Ev03 1 2VE八面体弹性模量（25）（26）（27）213EKKM30)1 (200EG体积弹性模量（28）（29）（210）剪切模量3.强度理论 达到强度条件时的应力轨迹线称为强度包线。主要强度理论有三种。3.1 最大八面体剪应力强度理论，也叫V.Mises条件当八面体剪应力0达到极限值c0时，就是破坏条件。00c202132322219c或或

3、（211）( )213232231031强度包络面为一垂直于等倾斜面的圆柱面。3.强度理论如土的强度与八面体法向应力有关（扩展了的V.Mises条件）tg00000tgc 强度包络面为通过原点和不通过原点的圆锥面。（212）3.强度理论3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件 当最大剪应力max达到极限值ct时就是破坏条件，与中主应力无关。tc231max321 （213）tc232tc213tc231或（214）如果有一个式子为等号时，则材料进入塑性状态。或（215）02.2.2221322322221tttccc强度包络面是一个垂直于八面体平面的正六角柱体面，而屈服面在平面上的轨迹

4、是一个正六边形。3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件Tresca扩展情况：ttg0max0maxtttgc（216）相应的强度包络面为通过原点和不通过原点的正六角形锥面。3.3 散体极限平衡理论，也叫MohrCoulomb条件破坏时的最大与最小主应力之间的关系有minmaxPK31PK（）（217）KP按朗肯理论的被动土压力系数，2452tgKPsin1sin131sin2231310sinsinsin221321322322322221221（218） 强度包络面为通过原点的不等顶角的六边形锥面。3.3 散体极限平衡理论，也叫MohrCoulomb条件扩展了的MohrCoulom

5、b条件 cKKPP2minmaxcos2sin1sin131c或 强度包络面为不通过原点的不等顶角的六边形锥面。 三种破坏条件的比较 3.强度理论2. 2. 土的应力应变关系土的应力应变关系1材料的应力应变关系 材料的应力应变关系2土的三轴压缩试验应力应变曲线基本形态 o直剪仪o单向固结仪o常规三轴压缩（23）试验仪 o真三轴压缩（123）试验仪o平面应变试验仪o空心圆柱试验仪 常用土工试验仪 非常规试验仪 常规三轴压缩试验仪可进行试验 （1）三向等压固结试验P123的排水压缩试验e(e(v v) )p p曲线曲线 e elnplnp曲线曲线 （2）23不变，增加1直至破坏，可得一组应力应变曲

6、线超固结粘土和密实砂：加工软化型曲线超固结土的qa曲线正常固结粘土和松砂、中密砂：加工硬化型曲线 正常固结土的q曲线双曲线型：aabaq3.3.非线形弹性模型非线形弹性模型（1）E模型（DuncanChang）模型采用双曲线公式代表正常固结粘性土试验曲线：aaba31（1） a、b试验常数 （1）式改为： aaba31（2） 应力应变双曲线函数 双曲线函数坐标变换公式（1）还可以改成：baa131（3） aaba313.3.非线形弹性模型非线形弹性模型通过求a、b得到弹性模量E.求求b:b:当轴向应变a时，偏应力趋向一极限值（1 1-3 3）ultultbult1)(31（4） 若土样破坏时的

7、偏应力（即强度）为（13）f，令Rf等于破坏时的偏应力与极限值之比，称为破坏比：ultffR3131（5） （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：ffRb31（6） baa131求求a:a:将公式（1）式 求导，切线模量Et为：231aatbaaE（7） 令a0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：aEi1（8） 将（6）式 、（8）式 代入（1）、（7）式（消去a、b)，得到fafiaRE31311（9） 23111fafiitREEE（10） aaba31ffRb31Ei1a （9）式 代入（10） 式：iftESRE21（11） 其中fS3131称为应力水平。fafiaRE3131

8、1根据摩尔库仑破坏准则：sincos2121sin33131cffsin1sin2cos2331cf（12） 23111fafiitREEE（消去轴向应变 ）a代入（11）式iftEcRE2331sin2cos2sin11（13） 试验常数：Rf、c、EinaaiPkPE3（14） Lg Eilg 3为一直线，截距k，斜率nnaaftPkPcRE32331sin2cos2sin11（15） 弹性模量E与试验常数：Rf、c、k、n、（Rf对不同的3含有不同的值，取平均值）有关. iftESRE21消去S后t t推导推导 1与3的关系为双曲线：331df （16） f、d为两个待定常数。df113

9、121131dft（17） 过原点的初始切线泊桑比为fidf313初始切线泊桑比与3有如下关系aipFG3lg（18） G、F试验常数。2131lgdpFGat(19) 利用（1）式最后可得到：231lgApFGat（20） 式中 2331331sin2cos2sin11cRpkpdAfnaaif代入（17）式21131dftDuncanChang模型其有8个参数：c、Rf、k、n、d、F、G,试验为3组常规三轴压缩试验.DuncanChang模型试验常数上海粉质粘土cRfkndFG039.00.681250.528.48-0.127-0.16（2 2）K KG G模型模型用体积模量k与剪切模

10、量G代替E、。八面体应力的基本公式：213232221032121323222103210323131v应力与应变关系为：)1 (2)21 (3000EGEKGKv4 4弹塑性模型弹塑性模型（1）塑性增量理论土的应变分为弹性应变e eijij和塑性应变p pijij，pijeijij塑性增量理论包括三个部分 屈服面理论 流动规则理论 加工硬化规律理论即屈服面理论o在屈服面范围内，土体只发生弹性应变，超越屈服面则同时发生弹性和塑性应变。弹性变形与塑性变形o对于理想弹塑性材料，当应力的组合，使材料达到屈服状态时，就可以认为是破坏了，屈服面与破坏面重合，同是一个固定的面。o对于加工硬化材料，屈服应力

11、是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。屈服面的形式：无帽模型、帽子模型。无帽模型 帽子模型 带帽子的屈服线0,iHqpf 流动规则o流动规则也称正交定律，是确定塑性应变增量各分量间的相互关系，也即塑性应变增量方向的一条规定。o流动规则规定，塑性应变增量与该点处的应力存在正交关系：ijpijgd采用p、q以代ij，正交关系可写成：qgdpgdppvd确定塑性应变增量大小的函数。塑性应变增量各分量与塑性势面法线的方向余弦成正比塑性势线0,Hqpgo相适应的流动规则：塑性势线与屈服轨迹重合，即gf。o不相适应的流动规则：gf。 如果把应力

12、空间与应变空间重叠在一起，塑性应变增量的方向与塑性势面法线的方向一致，也就是说与塑性势面正交。 加工硬化规律理论o加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的塑性应变增量的一条准则。od可假定为11( 1)ijijggdddHAA H g塑性势函数A硬化参数H的函数不同的学者建议不同的硬化规律计算A的数值ppvHH,qHpgHHfAppvg1 弹塑性模量矩阵Dep 1epTTepgDdgfDDDDfgAD（2 2）剑桥模型（）剑桥模型（Cambridge ModelCambridge Model）o适应于正常固结粘土和弱超固结粘土o屈服轨迹：)()(fg pfddpv qfddp沿屈服轨迹有：

13、pfddpv 0dqqfdppfdf得 dpdqddppv修正剑桥模型的屈服轨迹 qfddp（2 2）剑桥模型（）剑桥模型（Cambridge ModelCambridge Model）屈服方程 0lnlnppMpq修正剑桥模型屈服方程： 02221pppMq屈服轨迹是椭圆曲线 修正剑桥模型的屈服轨迹假定变形消耗的功，即塑性功为pPMpdwd而塑性功的一般形式为ppvpqdpddwdpdqddppv代入（2 2）剑桥模型（）剑桥模型（Cambridge ModelCambridge Model）o屈服方程中含有变量p0，一个确定的p0值对应一条屈服轨迹。oP0增加，屈服轨迹由一条曲线扩展到另一

14、条曲线。oP0隐含了硬化的意义，与塑性应变有关。oP0与塑性应变的关系：（2）剑桥模型（Cambridge Model）ep关系A到E孔隙比变化aappeeelnln00aepppkeeelnln0akeppkeeelnln00弹性部分 塑性部分 avee1故 aapvppeklnln10得 pvakeaepp10aepppkeeelnln0修正剑桥模型最终屈服方程：pvakeaepppMq12221土体修正剑桥模型参数层号 土层eaMk（1）粘土0.7860.940.10660.022（2）淤质粉质粘土0.5621.120.0930.014（3）-1粉质粘土0.6751.060.0970.0

15、15（3）-3粘土0.4981.170.0760.016（4）-1粉砂0.9241.650.040.01有限元网格（2 2）剑桥模型（）剑桥模型（Cambridge ModelCambridge Model）联合预压阶段水平位移等值线（2 2）剑桥模型（）剑桥模型（Cambridge ModelCambridge Model）地基沉降等值线图（2 2）剑桥模型（）剑桥模型（Cambridge ModelCambridge Model）5 5流变模型流变模型基本流变元件有虎克弹簧，牛顿粘壶及圣维南刚塑性体三种。（1 1）基本流变元件）基本流变元件 虎克弹簧虎克弹簧反映材料的弹性，与时间无关。 E

16、（1） 土的有效应力应变E虎克弹簧常数牛顿粘壶牛顿粘壶反映材料的粘性，其应力与应变速率成线性关系。k（2） k粘滞系数 圣维南刚塑性体圣维南刚塑性体o由两块相互接触，在接触面上具有粘聚力和摩擦力的板组成，反映材料的刚塑性。o当应力小于流动极限0时，圣维南体没有变形；当0时，达到屈服状态，变形可无限增长。o三种基本元件按不同方式加以组合，可得到各种不同的组合模型。o由弹簧和粘壶组成的称为粘弹性模型，包括三种基本元件的称为粘弹塑性模型。（2 2）宾哈姆模型（）宾哈姆模型（BinghamBingham）由于并联，模型总应力等于各元件应力之和，各元件应变相等并等于总应变。k0000（3 3）弹塑性模型

17、）弹塑性模型E/00由于是串联，总应力即为各元件应力，总应变等于各元件应变之和。（4 4）马克斯威尔模型（）马克斯威尔模型（MaxwellMaxwell）流变方程：kE（1） 在不变应力作用下，初始应变0/E，求解（1）得tkE（2） 若在t1时刻初应力卸除，则tt1时刻的应变为1tk（3） 卸荷后蠕变变形完全不能恢复。若土体获得初始弹性应变0后，总应变保持不变，求解（1）得tkEeE（4） 在总应变不变条件下，应力随时间衰减（如应力不衰减，总应变要增加）。Maxwell模型又称松弛模型。tkE（5 5）伏埃脱模型（）伏埃脱模型（VoigtVoigt）伏埃脱模型又称开尔文（Kelvin）模型。流变方程： kE（1） 在常应力作用下，利用初始条件00（与串联不一样），解（1）得tkEeE1（2） 若在t1时刻初应力卸去，则tt1时刻应变为tkEttkEeeE1（3） tt时，时，00，即应变可完全恢复。若获得初