信息技术与数学课程整合教学案例

1、.信息技术与数学课程整合教学案例借助几何画板对折纸中的数学问题的探究黄石三中郝海滨对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说， 形象思维是最早出现的， 并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象， 一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。 同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H. 柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展， 在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的

2、变革用计算机辅助教学，改善人们的认知环境越来越受到重视。 从国外引进的教育软件 几何画板 以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。下文是进行这种探索的一个案例 < 折纸中的数学问题 > 。敬请指正。【教学准备】（1）课前几何画板的操作培训：高二年级的学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件几何画板不够熟悉，还不能进行熟练操作，所以在上这节课之前要上预备课，主要学习几何画板软件的使用。目标使学生能使用几何画板制作简单的几何图形，能在老师的指

3、导下进行简单的操作。可编辑.（2 ）准备课件与讲义：校内文件服务器上事先准备好预先做好的几何画板课件“正方形的折纸 .gsp ”，事先印发学生预习讲义（主要供学生课前对折纸中的数学问题进行猜想）。（3）教学环境准备：多媒体教室；多媒体网络教学平台含internet与数学教学软件几何画板以及其它教学系统。【问题的背景】将边长为 a 的正方形纸 ABCD 的一个顶点 B“折”到它的对边AD 上。从操作过程发现“折”的过程其实就是数学中的“对称”，在几何画板软件中，可选取边 AD 上任意一点 B1，则线段 BB1 的中垂线 MN 就是“折线”。 如下图所示，拖动点 B1 ，观察图形动态的变化过程。可

4、以发现在这一简单的过程中蕴含着丰富的量的变化和形的运动，你能从中提出哪些数学问题？图1图2【问题的提出及探究】学生从各个不同的角度提出了自己的问题，现摘录几个典型问题如下：问题一探究所折部分图形BCNM 的面积的最值情况。直觉猜想： BCNM 的面积取到最值时， B1 的位置应在线段AD 的两端或中点。实验操作：可编辑.1.度量线段 AD 、AB1 的长度及多边形C/B1MN的面积，拖动点 B1 ，得到一组数据，并利用“制表”功能列成表格。（如图3 ）2.以 AB1 的长度为 x，以面积 C/B1MN为 y ，绘制点 P（ x， y），通过B1 在 AD 上的运动，可得到点P 的轨迹。（如图4

5、）图3图4观察分析：当 B1 在 AD 的中点位置时，面积取到最小值；当 B1 在线段 AD 的两端点时，面积取到最大值。数学论证：如图 5 所示，设 AB1=x ，四边形 C/B1MN的面积为 y，在 Rt BAB1中，由 MB=MB1 ，可求得过 N 作 NQ/BC ，则有NQM BAB1 ，所以可编辑.当，即当 B 点落在 AD 的中点位置时，使折起部分的面积最小，其最小值为。引申 1若将正方形改为矩形 (如图 6 ，设 BC=a ， AB=b 。 )呢?实验操作：1. 利用 < 几何画板 > 作出一个长和宽可以变化的矩形ABCD ，B1 是 AD 上的一动点， MN 是 B

6、B1 的中垂线。2. 当 a1MN 的面积随 AB1 变化的实验情况如下图所示。图 63. 当 a>b 时， 拖动点 B1，所折四边形 C/B1MN 形状随 AB1 变化（如图7，图 8，图 9）。图7图8图9图104. 以 AB1 的长度为 x，以所折的各多边形的面积为 y ，绘制点 P（x，y ），通过 B1 在 AD 上的运动，可得到点 P 的轨迹（如图 10 ）。观察分析：可编辑.当 a<B 时， B 点折到 AD 的中点位置时，所折部分的面积最小&NBSP;当 a>b 时，所折部分图形的形状随 B1 不同位置有较大的变化，面积的最小值并非是 B 点落在 AD

7、 的中点位置时取到。数学证明：(1) 当 a<B 时，可求得 < P>，C/N=，则当，即当 B 点落在 AD 的中点位置时，使折起部分的面积最小，其最小值为。(2) 当 a>b 时，可求得可求得当，使折起部分的面积最小，其最小值为。对于求高次函数的最小值，鼓励学生利用TI-92Plus 图形计算器的 fMin 命令或求导命令辅助完成。可编辑.问题二探究折线所形成的包络线。学生在折纸过程中发现留在纸上的众多折线看着杂乱无章，又似是有规可寻。将问题推广并加以数学化，即为探求一定点（B）与一直线（ AD ）上的动点（ B1）的连线段的中垂线 MN 的运动区域。实验操作：1.

8、 运动边 AD 上的点 B1 ，追踪中垂线 MN ，形成一个平面区域 （如图 11 ）;2. 运动直线 AD 上的点 B1 ，追踪中垂线 MN ，得到一个平面区域（如图 12 ）;3. 过 B1 作 AD 的垂线交直线 MN 于点 P，运动点 B1 得到点 P 的轨迹（如图 13）。4. 分别度量 PB 与 PB1 的距离（如图 13 ）。观察发现：（1）这些平面区域的轮廓 (包络线 )是抛物线，其中 B 为抛物线的焦点， AD为准线；（2） 所有的中垂线 MN 都抛物线相切，即抛物线的焦点与准线上的点的连线段的中垂线必与抛物线相切;（3） 切点 P 即为过 B1 与直线 AD 的垂线 B1P

9、 与中垂线 MN 的交点。（4） 当 B1 在 AD 上运动时，始终有PB=PB1 ，点 P 的轨迹为该抛物线。数学论证：可编辑.可以采用代数的方法求得中垂线MN 所经过的区域满足的条件：以 AD 所在直线为 x 轴，过 B 垂直于 AD 的直线为 y 轴建立直角坐标系。 设B（0 ，a）， B1（ t ，0 ），其中 a 为非零常数， t 为任意实数，则线段BB1 的中垂线 MN 方程为：因为 t 为任意实数，则必有：=显然中垂线 MN 上的任意一点（ x， y）都在抛物线上或其外部。引申 2将问题二中的直线AD 换成一个圆，探究定点B 与定圆 C 上一动点 B1 连线段 BB1 的中垂线

10、j 的包络线。实验：1. 运动圆上的点 B1，追踪中垂线， 观察中垂线扫过的平面区域 （如图 14 ）;2. 构造圆心 C 与点 B1 的直线交中垂线 j 的交点 P，运动点 B1，得到点 P的轨迹，观察轨迹的形状及其与区域的关系（如图15 ）。3. 移动定点 B 与定圆 C 的相对位置，再进行上述操作（如图16 ，图 17 ）。可编辑.发现：(1) 当定点 B 在定圆 C 外时，包络线是双曲线，点 B 和点 C 恰好是双曲线的两焦点 ;当点 B 在圆 C 内时，包络线是椭圆，点B 和点 C 恰好是椭圆的两焦点。(2) 线段 BB1 的中垂线 j 与双曲线 (或椭圆 )的切点即为中垂线 j 与直线 CB1的交点。上述结论得用双曲线及椭圆的定义容易得到证明。而且得到椭圆或双曲线共有的一个性质：【性质】以椭圆（或双曲线）的其中一个焦点为圆心，以长轴（或实轴）长为半径的圆上任一点与另一个焦点连线段的中垂线，必与该椭圆 （或双曲线） 相切。【反思与评价】通过 < 几何画板 > 以及图形计算器等信息技术工具，在教师适当的引导下，学生有条件和能力进行自主的探究和拓展，可以实现对一个